關(guān)注“平均變化率”速解函數(shù)應(yīng)用問題

摘要：“平均變化率”是一個(gè)容易被忽略的知識(shí)點(diǎn)，其在有關(guān)函數(shù)單調(diào)性、圓錐曲線、直線斜率等方面有著重要的應(yīng)用，在有關(guān)函數(shù)問題中滲透“平均變化率”知識(shí)，能夠化繁為簡，更好地解決一些復(fù)雜的函數(shù)問題，助力學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探究的效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合水平的提升.本文對(duì)“平均變化率”在高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題中的應(yīng)用進(jìn)行分析，并提出一些常用的解題方法.

關(guān)鍵詞：平均變化率；函數(shù)應(yīng)用；圓錐曲線

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）28-0071-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：劉瑛（1981.2-），女，甘肅省隴南禮縣人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

隨著核心素養(yǎng)的提出，與圖象有關(guān)的函數(shù)應(yīng)用問題是近年高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，這類問題往往考查學(xué)生對(duì)函數(shù)自變量和因變量變化情況的分析能力，在解題中借助“平均變化率”達(dá)到簡潔求解之目的，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力以及數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí).

1 理論闡述

我們必須熟練掌握關(guān)于“平均變化率”的幾個(gè)具體類型及其特點(diǎn).如圖1，結(jié)合兩個(gè)直角三角形，易得隨著自變量的增大，因?yàn)閳D中水平虛線段長相等時(shí)，對(duì)應(yīng)豎虛線段長越來越短，所以當(dāng)自變量的增量（Δx）相同時(shí)，因變量的增量（Δy）越來越小.這時(shí)，我們就稱“平均變化率”（ΔyΔx）越來越小.圖1圖2圖3

類似分析可得，圖2對(duì)應(yīng)“平均變化率”越來越??；圖3、圖4對(duì)應(yīng)“平均變化率”越來越大；圖5、圖6對(duì)應(yīng)“平均變化率”不變.

2 應(yīng)用舉例

“平均變化率”的特征比較明顯，學(xué)生易于掌握，教師引導(dǎo)學(xué)圖7生明確上述圖形及其相關(guān)特點(diǎn)，在具體問題中應(yīng)該結(jié)合“平均變化率”的實(shí)際特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為“平均變化率”問題，則求解此類相關(guān)問題即可達(dá)“事半功倍”之效.

2.1 具體求解，不涉及分類討論

例1如圖7所示，現(xiàn)有一個(gè)計(jì)時(shí)漏斗，開始時(shí)盛滿沙子，沙子從上部均勻漏下，經(jīng)過5分鐘漏完，h（厘米）是該沙漏中沙面下降的高度，則h與下漏時(shí)間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系式用圖象表示應(yīng)該是（ ）.

解析開始時(shí)沙子的高度變化很緩慢，隨著沙面的下降，高度變化越來越快，即隨時(shí)間t的增大，下降高度的平均變化率（ΔhΔt）越來越大，故易知應(yīng)選B.

評(píng)注結(jié)合所給實(shí)物圖形，理清整個(gè)實(shí)際變化過程是準(zhǔn)確求解的切入點(diǎn)；其次，要注意學(xué)會(huì)觀察、分析給定的函數(shù)圖象.

牛刀小試1某學(xué)生離家去學(xué)校，為了鍛煉身體，一開始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路程，現(xiàn)用縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則下列四個(gè)圖形中較符合該學(xué)生的走法的是（ ）.

解析由于學(xué)生離家去學(xué)校，且縱軸表示離學(xué)校的距離，所以選項(xiàng)A，C顯然錯(cuò)誤.再看選項(xiàng)B，D，由于一開始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路程，所以跑步時(shí)的“平均變化率”（ΔdΔt）較大，而走時(shí)的“平均變化率”（ΔdΔt）較小，據(jù)此結(jié)合圖形即知應(yīng)選B.

牛刀小試2已知

（x，y）是圓（x-2）2+（y-1）2=3上的動(dòng)點(diǎn)，試求：y-1x+1的范圍是多少？

解析y-1x+1的范圍從曲線方程中不容易直接求得，這就可以運(yùn)用平均變化率相關(guān)內(nèi)容，將所求問題轉(zhuǎn)化為斜率問題，則y-1x+1的范圍可以看作是（x-2）2+（y-1）2=3上的點(diǎn)與點(diǎn)（-1，1）連線的斜率，于是可以令這條直線的斜率為k，那么圓上的點(diǎn)與點(diǎn)（-1，1）所確定直線方程為y-1=k（x+1）.

化簡，得kx-y+k+1=0.

因?yàn)?k-1+k+1k2+1≤3，

所以（x-2）2+（y-1）2=3上的點(diǎn)與點(diǎn)

（-1，1）連線的斜率范圍為-22≤k≤22.

即y-1x+1的范圍是-22，22.

2.2 具體求解，涉及分類討論

例2如圖10所示，直角梯形ABCO中，AB∥OC，BC⊥OC，AB=1，OC=BC=2，直線l：x=t截此梯形所得位于l左方圖形的面積為S，則函數(shù)S=

ft的圖象大致為（ ） .

解析當(dāng)0≤t≤1時(shí)，隨著直線l向右勻速運(yùn)動(dòng)，圖形面積的增加量是越來越大的，即圖形面積的平均變化率（ΔSΔt）越來越大.

當(dāng)1

綜上，易知選項(xiàng)C正確.

評(píng)注本題靈活運(yùn)用“平均變化率”進(jìn)行分析，是最為簡單的求解方法.一般解題思路：先結(jié)合圖形，根據(jù)題意求得S=ft=t2，0≤t≤1，2t-1，1

圖12牛刀小試3如圖12所示，單位圓中AB的長為x，fx表示AB與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，則函數(shù)y=fx的圖象是（ ）.

解析當(dāng)0≤x≤π時(shí)，隨著x的增大，fx的值也越來越大，且滿足平均變化率Δf（x）Δx越來越大.

當(dāng)π

綜上，易知選項(xiàng)D正確.

牛刀小試4x1，x2是函數(shù)f（x）上不重合的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)x1≥1，x2≥1并且x1≠x2的時(shí)候，不等式f（x2）-f（x1）x2-x1>0恒成立，則使得不等式f（2a-3）

解析由于x1≥1，x2≥1，且x1≠x2，f（x2）-f（x1）x2-x1>0，即可以得出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，）上是單調(diào)遞增函數(shù)，使得不等式f（2a-3）

因此，使得不等式f（2a-3）

總之，從數(shù)形結(jié)合的角度，準(zhǔn)確理解、掌握描述兩個(gè)變量之間的變化關(guān)系的量——“平均變化率”，可幫助我們順利求解以圖形為載體，考查有關(guān)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生的識(shí)圖、用圖能力，有利于較好地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力以及推理、判斷能力.

參考文獻(xiàn)：

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