一類導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法

摘要：一類同時含有xex和lnx的求參數(shù)取值范圍的函數(shù)題可以有多種解法，但是最簡潔的解法是借助對數(shù)恒等式xex=ex+lnx和不等式ex≥x+1，采取切線放縮求解.題目往往形式隱蔽，對數(shù)變形和運算較抽象，不經(jīng)深入研究，不強化訓(xùn)練，難以應(yīng)對異形同質(zhì)的題目.

關(guān)鍵詞：對數(shù)恒等式；切線放縮；導(dǎo)數(shù)

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0013-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：李昌成（1977-），男，四川省資陽人，本科，中學(xué)正高級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

1 發(fā)現(xiàn)問題

近期在研究全國各地模擬考試或統(tǒng)考題目發(fā)現(xiàn)，一類同時含有xex和lnx的求參數(shù)取值范圍的函數(shù)題目，它們可以用分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)等常規(guī)解法作答，但解答過程繁雜.仔細(xì)研究，這類題有其自身的結(jié)構(gòu)特征，宜使用切線放縮法解答.

2 典例研究

例1（湖北省部分重點中學(xué)2022屆高三第二次聯(lián)考第22題）已知函數(shù)f（x）=xex+12ax2+ax（x∈R）.若關(guān)于x的不等式f（x）≥12ax2+4ax+lnx+1在（0，+）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

分析本題通常可以采取分離參數(shù)求最值得參數(shù)范圍，但計算量較大.本題中有特征項“xex”，因此可以將f（x）=xex+12ax2+ax代入f（x）≥12ax2+4ax+lnx+1，得xex+12ax2+ax≥12ax2+4ax+lnx+1.整理，得xex-3ax-lnx-1≥0.結(jié)合xex=ex+lnx及ex≥x+1，可以通過切線放縮求解.

解析將f（x）=xex+12ax2+ax代入f（x）≥12ax2+4ax+lnx+1，得

xex+12ax2+ax≥12ax2+4ax+lnx+1.

整理，得xex-3ax-lnx-1≥0.

令h（x）=xex-3ax-lnx-1，

則h（x）≥0恒成立.

因為xex=elnx·ex=ex+lnx，

所以h（x）=ex+lnx-3ax-lnx-1.

因為ex≥x+1，

所以h（x）≥（x+lnx+1）-3ax-lnx-1.

即h（x）≥x-3ax.

所以x-3ax≥0恒成立 .

解得a≤13.

例2（重慶市一中2022屆高三上學(xué)期期中考試第16題）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f ′（x）滿足

f ′（x）-f（x）=e2x，且f（0）=1，當(dāng)x∈（0，+）時，x［f（x）-a］≥1+lnx恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

分析由f ′（x）-f（x）=e2x知f（x）=e2x，根據(jù)條件“x［f（x）-a］≥1+lnx”可以導(dǎo)出特征項“xe2x”，所以適合用切線放縮法解答.

解析因為（enx）′=nenx，

所以f ′（x）-f（x）=e2x=2e2x-e2x.

由同構(gòu)原理，得f（x）=e2x.

所以x［f（x）-a］=x（e2x-a）=xe2x-ax.

結(jié)合x［f（x）-a］≥1+lnx，得

xe2x-ax≥1+lnx.

因為xe2x=elnx·e2x=e2x+lnx，

所以e2x+lnx-ax-lnx-1≥0.

因為e2x+lnx≥2x+lnx+1，

所以（2x+lnx+1）-ax-lnx-1≥0.

即2x-ax≥0.

所以a≤2.

例3（西南大學(xué)附屬中學(xué)2022屆高三第一學(xué)期期末考試?yán)砜频?2題）對于任意的x∈（0，+∞），lnx+2ax+1≤xe3x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

分析本題易于分離參數(shù)，然后利用xex=ex+lnx及ex≥x+1，放縮的同時構(gòu)造新函數(shù)，可求得參數(shù)的取值范圍.

解析由lnx+2ax+1≤xe3x，x∈（0，+∞），

所以a≤xe3x-lnx-12x.

因為xe3x=elnx·e3x=e3x+lnx，

所以xe3x-lnx-1=e3x+lnx-lnx-1

≥（3x+lnx+1）-lnx-1

=3x.

則xe3x-lnx-12x≥3x2x=32.

所以a≤32.

評析以上三例均含有（或變形得）xex和lnx+1，處理的辦法雷同，恒等變形、放縮、求最值，套路明顯.其本質(zhì)特征是若xex和lnx+1在不等式的異側(cè)，則xex的系數(shù)與lnx的真數(shù)的系數(shù)相反，當(dāng)不具有這種特征時，解法失效.理由為：λxex=elnλx·ex=ex+lnλx≥x+lnλx+1，所以λxex-lnλx-1=λex+lnx-lnλx-1=λex+lnx才能整體消元.一般取λ=1.這樣題目顯得簡潔明了，也不影響問題的本質(zhì).下面舉一個形似質(zhì)異的題目，以示區(qū)別.

例4（河南省洛陽市2022屆高三第一次統(tǒng)一考試?yán)砜频?2題）已知函數(shù)f（x）=xa-alnx（a>0），g（x）=ex-x，若x∈（1，e2）時，f（x）≤g（x）成立，則實數(shù)a的最大值是（）.

A.eB.2eC.12eD.-e

分析表面上題設(shè)中也含有ex，lnx等，但不具有上述特征，需用其他辦法解答.觀察兩函數(shù)的結(jié)構(gòu)，非常相似，比較其差異可以發(fā)現(xiàn)alnx在f（x）中的“角色”與x在g（x）中“角色”一致，因此要在f（x）的函數(shù)形式上下功夫，結(jié)合對數(shù)恒等式是可以實現(xiàn)形式統(tǒng)一的.

解析因為x=elnx，

所以xa=（elnx）a=ealnx.

因此f（x）=ealnx-alnx=g（alnx）.

因為f（x）≤g（x），

所以g（alnx）≤g（x）.

因為g′（x）=ex-1，

當(dāng)x∈（1，e2）時，g′（x）=ex-1>0，

所以g（x）在（1，e2）上單調(diào)遞增.

所以alnx≤x.

當(dāng)x∈（1，e2）時，lnx>0，

所以a≤xlnx.

令h（x）=xlnx，

則h′（x）=lnx-1ln2x.

當(dāng)x∈（1，e）時，h′（x）<0；

當(dāng)x∈（e，e2）時，h′（x）>0.

所以h（x）=xlnx在（1，e）上單調(diào)遞減，在（e，e2）上單調(diào)遞增.

因此h（x）min=e.所以a≤e.

故選A.

3 理論溯源

在人教A版（2005年版）普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書選修2-2第32頁B組第1題的第3小題：證明ex>1+x（x≠0），并通過函數(shù)圖象直觀驗證結(jié)論.

事實上，本題通過圖象可得函數(shù)f（x）=ex與h（x）=1+x恰好相切于點（0，1），當(dāng)x≠0時，f（x）的圖象始終在h（x）的圖象之上.俗稱切線放縮.它的另一功能是實現(xiàn)了函數(shù)變換，減少或統(tǒng)一函數(shù)類型，方便于解題.

4 教學(xué)思考

4.1 教學(xué)應(yīng)在公式的證明上下功夫?qū)τ趚=elnx，教材是沒有提及的，甚至恒等式alogax=x也沒有提到.這需要教師在教學(xué)中進行嚴(yán)格認(rèn)真地證明，而不是直接告訴學(xué)生結(jié)果，直接刷題“硬”用.這樣不僅應(yīng)用別扭，而且容易遺忘.素不知，這是定義的抽象應(yīng)用，等式左邊是以logax為指數(shù)，a為底數(shù)的指數(shù)式，右端可以看作冪，依據(jù)對數(shù)的定義可得alogax=xlogax=logax，并且對x的范圍也沒有限制，所以此式叫恒等式.僅需將a換成e，等式x=elnx就成立了.在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生對此不熟悉，更談不上靈活應(yīng)用，對xex=ex+lnx就更加陌生了.所以我們應(yīng)在公式證明上下功夫.

4.2 教學(xué)應(yīng)在公式的理解上下功夫?qū)τ趀x≥1+x，我們應(yīng)從形式和幾何意義兩方面進行深刻理解.這里的x可以換成任意的符號，均不影響不等式的正確性，例如en≥1+n將指數(shù)問題轉(zhuǎn)換成數(shù)列了；esinx≥1+sinx將指數(shù)問題轉(zhuǎn)換成三角函數(shù)了；elogax≥1+logax將指數(shù)問題轉(zhuǎn)換成對數(shù)了.另外，從函數(shù)觀點看，左端是曲線，右端是直線，并且二者具有相切關(guān)系，數(shù)形結(jié)合可以解決很多復(fù)雜的問題，尤其是與函數(shù)凸凹性相結(jié)合，是突破難題的一個殺手锏.例如2017年全國課標(biāo)Ⅱ卷第21題：設(shè)函數(shù)f（x）=（1-x2）ex.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≤ax+1，求實數(shù)a的取值范圍．

對于（1）易得f（x）在（-∞，-1-2）上單調(diào)遞減，在（-1-2，-1+2）上單調(diào)遞增，在（-1+2，+∞）上單調(diào)遞減.對于（2），f（x）顯然在（0，+∞）上是凸函數(shù)，僅需求得f（x）在x=0處的切線斜率k，即為a的邊界值，數(shù)形結(jié)合得a≥k.

4.3 教學(xué)應(yīng)在變式教學(xué)上下功夫

變式教學(xué)有利于提高學(xué)生對知識的掌握與應(yīng)用，達(dá)到觸類旁通的水平，若就題講題，將會把學(xué)生拖入無窮無盡的題海之中.本文研究了xex與lnx+x的轉(zhuǎn)化問題，我們還可以思考exx能轉(zhuǎn)換成什么.實際上exx=x-1ex=elnx-1ex=e-lnxex=ex-lnx.上述參數(shù)問題均可變式訓(xùn)練一下，有利于學(xué)生真正掌握本類問題.

參考文獻(xiàn)：

［1］李昌成，林娜娜.找準(zhǔn)切入點突破壓軸題[J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2022（01）：13-14.

[2] 李昌成.一類參數(shù)取值范圍問題的求解策略及思考[J].理科考試研究，2020，27（20）：20-22.