巧用數(shù)學(xué)建模滲透思想方法

張海文

［摘 要］ 為了巧用數(shù)學(xué)建模，滲透思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的模型意識，教師可借助加法故事、減法故事、乘法故事引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)的知識，幫助他們建立加法、減法、乘法模型。這樣，為學(xué)生跨學(xué)科學(xué)習(xí)和再創(chuàng)造提供活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與解決問題的思路，讓他們學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生活實(shí)際問題，提高學(xué)生解決問題的能力。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)建模；思想方法；模型意識；數(shù)與代數(shù)；人教版

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）33-0007-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022版新課標(biāo)”）中指出：“模型意識主要是指對數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑；能夠認(rèn)識到現(xiàn)實(shí)生活中大量的問題都與數(shù)學(xué)有關(guān)，有意識地用數(shù)學(xué)的概念與方法予以解釋。模型意識有助于開展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，是形成模型觀念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。”從廣義的角度來講，數(shù)學(xué)的概念、定律、法則、公式、數(shù)量關(guān)系、統(tǒng)計(jì)圖表等屬于數(shù)學(xué)模型。

同時(shí)，2022版新課標(biāo)對模型意識在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的落實(shí)提出兩個(gè)要求：一是滲透模型思想，二是教會(huì)學(xué)生如何建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模對學(xué)生來說是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，需要經(jīng)過以下幾個(gè)步驟：第一，明確要解決的問題是什么，這個(gè)問題是什么模型系統(tǒng)；第二，把復(fù)雜的情境和數(shù)字化繁為簡，從較多信息中篩選出有用的信息，并確定有用的數(shù)據(jù)；第三，根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)量關(guān)系式或圖形模型；第四，通過模型解決實(shí)際問題，并拓展模型的應(yīng)用價(jià)值。經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，是讓學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣經(jīng)歷探索和再創(chuàng)造的過程。雖然在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)不斷遇到挫折和困難，但這有利于他們朝著解決問題的正確方向不斷前進(jìn)。那么，作為數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)當(dāng)怎樣在數(shù)學(xué)課堂上引導(dǎo)學(xué)生有效建立數(shù)學(xué)模型，并讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決生活中的實(shí)際問題呢？

一、借助加法故事，建立加法模型

學(xué)生學(xué)習(xí)加法運(yùn)算時(shí)需要掌握三種語言之間的轉(zhuǎn)化：先呈現(xiàn)圓片等模型，再借助文字呈現(xiàn)問題，最后用算式表示模型的計(jì)算方法。如教學(xué)加法運(yùn)算4+3=7時(shí)，教師出示4個(gè)圓片和3個(gè)圓片，讓學(xué)生結(jié)合模型來講一講4+3=7的加法故事以及用圓片說明等式的含義。

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，加法運(yùn)算包括四種不同的模型：一是“添加型”，即知道起始量和改變量，計(jì)算結(jié)果量的問題；二是“拿走型”，即知道改變量和結(jié)果量，計(jì)算起始量的問題；三是“組合型”，即知道部分量和另一個(gè)部分量，計(jì)算整體量的問題；四是“比較型”，即知道小的集合和差異量，計(jì)算大的集合的問題。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材二年級上冊《100以內(nèi)的加法和減法（三）》一課后，教師在教材情境的基礎(chǔ)上增加了其他加法運(yùn)算模型，讓學(xué)生對加法運(yùn)算模型有更加全面、深刻的理解。

活動(dòng)1：學(xué)習(xí)“添加型”加法運(yùn)算模型

出示題目：公共汽車上原來有5人，到站后又上來3人，現(xiàn)在一共有多少人？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計(jì)算現(xiàn)在一共有多少人。

生1：5+3=8（人）。

師：為什么用加法計(jì)算？

生2：因?yàn)椤肮财嚿显瓉碛?人，到站后又上來3人”，這時(shí)候公共汽車上的人變多了，所以要用加法計(jì)算。

師：用1個(gè)圓片表示1人，原來有5個(gè)圓片，后來增加了3個(gè)圓片，我們一起來數(shù)一數(shù)現(xiàn)在有多少個(gè)圓片。

……

活動(dòng)2：學(xué)習(xí)“拿走型”加法運(yùn)算模型

出示題目：鉛筆盒里有一些鉛筆，明明拿走4支鉛筆后，還剩2支鉛筆，鉛筆盒里原來有多少支鉛筆？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計(jì)算鉛筆盒里原來有多少支鉛筆。

生3：4-2=2（支）。

生4：4+2=6（支）。

師：要計(jì)算鉛筆盒里原來有多少支鉛筆，到底用加法還是減法呢？誰能說明理由？

生5：（邊說邊操作）我認(rèn)為這道題目要用加法計(jì)算。看，這是明明拿走的4支鉛筆，這是剩下的2支鉛筆，計(jì)算原來鉛筆的支數(shù)，就是把拿走的和剩下的合起來。

……

活動(dòng)3：學(xué)習(xí)“組合型”加法運(yùn)算模型

出示題目：媽媽買了3個(gè)蘋果和4個(gè)梨，一共有多少個(gè)水果？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計(jì)算一共有多少個(gè)水果。

生6：3+4=7（個(gè)）。

師：為什么用加法計(jì)算？

生7：因?yàn)樘O果和梨都屬于水果，要算一共有多少個(gè)水果，就要把3個(gè)蘋果和4個(gè)梨合起來，所以要用加法來計(jì)算。

……

活動(dòng)4：學(xué)習(xí)“比較型”加法運(yùn)算模型

出示題目：迪迪有7元，佳佳比迪迪多1元，佳佳有多少元？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計(jì)算佳佳有多少元。

生8：題目告訴我們“迪迪有7元，佳佳比迪迪多1元”，由此知道佳佳多、迪迪少，而要算佳佳有多少元，就是算多的，所以用加法計(jì)算。

師：（邊講邊畫線段圖）如果我們用這樣一條線段表示迪迪的7元，那么表示佳佳的線段就要畫得長一些，這是多出來的1元……

上述教學(xué)，教師將生活中的情景轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過圓片、鉛筆、線段圖等模型幫助學(xué)生理解題意，最終抽象出用算式和符號表示結(jié)果。同時(shí)，教師借助問題串聯(lián)起加法運(yùn)算中的四個(gè)模型，有利于學(xué)生對加法運(yùn)算的解決問題形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)化地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。

二、借助減法故事，建立減法模型

減法運(yùn)算模型和加法運(yùn)算模型一樣，也有四種基本運(yùn)算模型：一是“添加型”，即知道結(jié)果量和起始量，計(jì)算改變量的問題，或知道結(jié)果量和改變量，計(jì)算起始量的問題；二是“拿走型”，即知道起始量和結(jié)果量，計(jì)算改變量的問題，或知道起始量和改變量，計(jì)算結(jié)果量的問題；三是“組合型”，即知道整體量和部分量，計(jì)算部分量的問題；四是“比較型”，即知道大的集合和小的集合，計(jì)算差異量的問題，或知道大的集合和差異量，計(jì)算小的集合的問題。運(yùn)用哪個(gè)模型，主要看哪個(gè)量是由未知量來決定的。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材二年級下冊《兩、三位數(shù)的加法和減法》后，教師設(shè)計(jì)了一節(jié)有關(guān)減法運(yùn)算模型的數(shù)學(xué)課，讓學(xué)生對減法運(yùn)算的四種模型有更加系統(tǒng)、全面的理解。

活動(dòng)1：學(xué)習(xí)“添加型”減法運(yùn)算模型

出示題目：樹上現(xiàn)在有16只小鳥，原來有10只小鳥，多了多少只小鳥？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計(jì)算多了多少只小鳥。

生1：16-10=6（只）。因?yàn)椤皹渖犀F(xiàn)在有16只小鳥，原來有10只小鳥”，要計(jì)算多了多少只小鳥，就是計(jì)算現(xiàn)在和原來相差多少只小鳥，所以要用減法計(jì)算。

師：小朋友們，請你們想一想，能用這道題中的信息編一道減法題嗎？同時(shí)寫出減法算式。

生2：樹上飛來了6只小鳥，現(xiàn)在有16只小鳥，樹上原來有多少只小鳥？算式是16-6=10（只）。

……

活動(dòng)2：學(xué)習(xí)“拿走型”減法運(yùn)算模型

出示題目：粉筆盒里有36支粉筆，聰聰拿走了11支，還剩多少支粉筆？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計(jì)算還剩多少支粉筆。

生3：36-11=25（支）。因?yàn)槁斅斈米?1支粉筆，粉筆盒里的粉筆變少了，所以用減法計(jì)算。

師：小朋友們，請你們想一想，能用這道題中的信息編一道減法題嗎？同時(shí)寫出減法算式。

生4：粉筆盒里有36支粉筆，聰聰拿走一些粉筆后，盒子里還有25支粉筆，聰聰拿走了多少支粉筆？算式是36-25=11（支）。

……

活動(dòng)3：學(xué)習(xí)“組合型”減法運(yùn)算模型

出示題目：小華和小軍一共跳了86下，小華跳了45下，小軍跳了多少下？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計(jì)算小軍跳了多少下。

生5：86-45=41（下）。因?yàn)轭}目告訴我們“小華和小軍一共跳了86下，小華跳了45下”，算部分量——小軍跳了多少下，所以用減法計(jì)算。

師：小朋友們，請你們想一想，能用這道題中的信息編一道減法題嗎？同時(shí)寫出減法算式。

生6：小華和小軍一共跳了86下，小軍跳了41下，小華跳了多少下？算式是86-41=45（下）。

……

活動(dòng)4：學(xué)習(xí)“比較型”減法運(yùn)算模型

出示題目：小明有56枚郵票，小芳比小明少24枚郵票，小芳有多少枚郵票？

師：小朋友們，我們一起來讀一讀題目，邊讀邊想怎么計(jì)算小芳有多少枚郵票。

生7：題目中說“小芳比小明少24枚郵票”，由此知道小芳的郵票少、小明的郵票多，所以計(jì)算小芳的郵票數(shù)量要用減法，算式是56-24=32（枚）。

師：小朋友們，請你們想一想，能用這道題中的信息編一道減法題嗎？同時(shí)寫出減法算式。

生8：小明有56枚郵票，小芳有32枚郵票，小芳比小明少多少枚郵票？算式是56-32=24（枚）。

……

上述教學(xué)，教師先讓學(xué)生根據(jù)已有的數(shù)學(xué)信息編寫減法運(yùn)算的問題，再讓學(xué)生自己解決這些減法問題。在分析和解決減法問題時(shí)，學(xué)生需要提取題目中的有用信息，利用已有的數(shù)學(xué)知識建立模型，從而解決新的減法問題。

三、借助乘法故事，建立乘法模型

乘法運(yùn)算也包括四種不同的模型：一是“等值群組型”，即求若干個(gè)相等集合的和的問題；二是“倍數(shù)比較型”，即每一個(gè)相等的子集合對應(yīng)參考集合，求子集合的幾倍是多少的問題；三是“搭配組合型”，即計(jì)算出兩種集合之間可以制造出的搭配種數(shù)的問題；四是“面積測量型”，如長乘寬求面積的問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，學(xué)生經(jīng)常遇到的是“等值群組型”和“倍數(shù)比較型”的問題。

例如，教學(xué)人教版數(shù)學(xué)教材三年級上冊《兩、三位數(shù)乘一位數(shù)》后，教師設(shè)計(jì)了一節(jié)有關(guān)乘法運(yùn)算模型的數(shù)學(xué)課，幫助學(xué)生梳理哪些情況下要用乘法計(jì)算，解決問題。

活動(dòng)1：學(xué)習(xí)“等值群組型”乘法運(yùn)算模型

出示題目：杰克有4袋蘋果，每袋有7個(gè)蘋果，杰克一共有多少個(gè)蘋果？

師：同學(xué)們，先讀一讀題目，再在學(xué)習(xí)單上列式計(jì)算。

生1：4×7=28（個(gè)）。題目告訴我們“杰克有4袋蘋果，每袋有7個(gè)蘋果”，就是求4個(gè)7是多少，用乘法計(jì)算。

師：同學(xué)們，求幾個(gè)相同加數(shù)的和用乘法計(jì)算。想一想，還有哪些題目也是用乘法計(jì)算的？你能編道題目嗎？

生2：知道速度和時(shí)間，計(jì)算路程用乘法。比如：客車的速度是80千米/時(shí)，4小時(shí)行駛多少千米？

生3：知道單價(jià)和數(shù)量，計(jì)算總價(jià)用乘法。比如：一條毛巾的價(jià)格是8元，10條毛巾要多少元？

……

活動(dòng)2：學(xué)習(xí)“倍數(shù)比較型”乘法運(yùn)算模型

師：你還能想到哪些乘法運(yùn)算模型呢？

生4：求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少。

師：那你能編一道有關(guān)倍的問題的題目嗎？

生5：紅花有8朵，藍(lán)花的朵數(shù)是紅花的3倍，藍(lán)花有多少朵？

……

活動(dòng)3：學(xué)習(xí)“搭配組合型”乘法運(yùn)算模型

生6：我還想到了上衣和褲子的搭配問題，求搭配種數(shù)也是用乘法計(jì)算的。

師：那你能編一道有關(guān)搭配問題的題目嗎？

生7：上衣有5件，褲子有3條，能搭配出多少套不同的衣服？

師：請你試著通過畫圖解決問題。

……

活動(dòng)4：學(xué)習(xí)“面積測量型”乘法運(yùn)算模型

生8：知道長方形的長和寬，求長方形的面積用乘法；知道正方形的邊長，求正方形的面積也是用乘法。

師：那你能編一道有關(guān)面積計(jì)算問題的題目嗎？

生9：長方形的長是6厘米，寬是4厘米，它的面積是多少平方厘米？

……

上述教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶乘法運(yùn)算模型，共同總結(jié)出“等值群組型”“倍數(shù)比較型”“搭配組合型”“面積測量型”等乘法運(yùn)算模型，有利于學(xué)生整體把握乘法學(xué)習(xí)的規(guī)律。

總之，教師要精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，并且利用模型解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)課堂中，教師滲透模型意識，能為學(xué)生跨學(xué)科學(xué)習(xí)和再創(chuàng)造提供活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與解決問題的思路，讓他們學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際生活的問題。

（責(zé)編 杜 華）