正、反比例教學的情境設置應向數學知識轉移

蔡益磊

［摘 要］正比例和反比例是小學數學中比較重要的概念，同時也是較為復雜的概念，需要學生具備很強的理解能力和抽象能力。正比例和反比例涉及定量和變量的動態關系，教學時，盡管教師憑借直觀演示或者聯系學生的生活經驗教學，但學生依然很難理解。因此，要想學生真正深入領會正比例和反比例的內涵，還需用大量的數學實例去驗證和揭示。

［關鍵詞］正比例；反比例；情境設置；幾何

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）32-0043-03

關于比和比例的論述，最早可以追溯到古希臘的科學著作《原本》的第五卷，這也是人類歷史上有據可查的最早的關于比和比例的詳細記載。《原本》中對比和比例的介紹，多數與代數和幾何圖形有關，這對整個數學發展史都起著推動作用，具有里程碑式的意義，甚至可以說加速了整個數學發展的進程。正是由于這樣的特殊地位，比和比例在數學教育中風靡了兩千年，代代相傳，經久不衰。下面，筆者就正、反比例的教學，談談如何設置情境。

一、不能拘泥于生活情境

小學數學教材中有關正比例和反比例的課程，蘇教版與人教版都編排在了第十二冊。以蘇教版教材為例，有關正比例的知識介紹，教材采用汽車在公路上行駛的情境作載體（如圖1）。通過借助生活情境，讓學生切實體驗到當汽車行駛的速度一定時，汽車行駛的時間與行駛的路程是兩個相關聯的量：其中一個量變化，另一個量也隨之變化，而且變化方向相同，即對應的兩個量的商相同。于是可以說這兩個量成正比例關系。

教學反比例時，蘇教版教材采用了購物的生活情境（如圖2），讓學生切實體驗到在筆記本的總價不變的前提下，筆記本的單價和購買的本數是兩個相關聯的量：其中一個量變化，另一個量也隨之變化，但是變化方向相反，即對應的兩個量的積相同。于是可以說這兩個量成反比例關系。

這樣的情境設計充分考慮了學生的生活經驗，最大限度地在學生熟悉的事物和現象中找到契合比例規律的情境，有利于學生從感性上理解比例。兩本教材在小學階段的最后一個學期編排比例，具有承前啟后的意義，一方面是對整個小學所學相關內容的梳理、融通與總結，另一方面可以有效地與初中知識銜接并做好鋪墊。因此，教學時，教師如果將比和比例的知識拘泥于生活情境，那對學生后續學習比例知識的理論是極為不利的，會阻礙學生的學科發展和認知升華。情境設計應考慮數學知識本身，如圓的周長與直徑（或半徑），就是典型的正比例關系。另外，正比例和反比例不是彼此孤立的概念，而是一種數量的相對關系。在同一個代數式中，由于研究對象的不同和角色轉換，正、反比例可以互換身份。比如，在行程問題中，如果將速度設為定值，那么路程和時間就構成正比例關系；如果將時間設為定值，那么路程和速度就構成正比例關系；如果將路程設為定值，那么速度和時間就構成反比例關系。事實上，所有的正比例和反比例關系的落腳點都可以抽象成一個簡單的代數模型“a×b=c”，如果一個因數（a或b）為定值，那么另外兩個數就是變量，且構成正比例關系；如果積c為定值，那么兩個因數就是變量，且構成反比例關系。因此，凡是具有乘法或者除法算式形式特征的式子都可以視為正、反比例的混合體。

二、幾何中的正、反比例

1.以長方形為例

所有長方形的面積都可以歸納為“長×寬=長方形的面積”這個公式。假設面積為常量，那么長和寬就是變量，因為乘積一定，所以可以判定長和寬構成反比例關系；假設長為定值，那么寬和面積就是變量，因為它們的商一定，所以可以判定寬和面積構成正比例關系。

在圖3的長方形中，長為定值，用 A1，A2分別指代兩塊區域的面積，寬a1，a2和對應面積的正比例關系可以這樣表示：A1∶A2=a1∶a2。換成分數符號就是[A1A2]=[a1a2]。繼續推進，在圖4的長方形中，如果用 A1，A2，B1，B2分別指代四塊區域的面積，那么根據前述理由，就有[A1A2]=[a1a2]和[B1B2]=[a1a2]，進行等量代換后得出[A1A2]=[B1B2]。長方形的面積與長（或寬）的正比例關系還可以通過等量代換的轉移和傳遞來推廣，如圖5，如果每個大寫字母各自代表所在區域的面積，那么面積之間就有如下比例關系：[A1B1]=[A2B2]=…=[AnBn]。

長方形中的這種面積比例關系有很大的應用價值，如在圖4中，四塊區域已知其中三塊的面積，那么就可以利用[A1A2]=[B1B2]快速求出未知區域的面積。

2.以三角形為例

任意三角形的面積與其底和高都存在這樣的關系：底×高=三角形面積的2倍。如果將三角形面積設為定值，那么面積的2倍毫無疑問也是定值，此時三角形的底和高就可以判定為反比例關系。反之，如果高（或底）一定，那么三角形面積的2倍和底（或高）就可以判定為正比例關系。

在圖6的三角形中，A1，A2指代所在區域的面積，a1，a2則分別指代所標記的底。由于兩個三角形等高，所以可以將高視為定值，則面積（或面積的2倍）和底成正比例關系，于是可以列出基礎的比例關系式：A1∶a1=A2∶a2（或[A1a1]=[A2a2]）。這樣的關系還可以無限推廣（如圖7），類似的正比例關系為A1∶a1=A2∶a2=…=An∶an（或[A1a1]=[A2a2]=…=[Anan]）。這樣的正比例關系只要略微變形就可以體現出面積之比與底之比的對等關系，如[A1A2]=[a1a2]。

將面積之比轉化成長度之比，這一點在今后的應用將非常廣泛，如確定三角形的重心就可以運用這種比例關系。

在圖8的△ABC中，D，E兩點分別是所在邊的中點，AD和BE都是△ABC的中線。△ABC的重心就在中線的交點O處。下面需要計算重心O的坐標。首先，因為△ADC和△BCE的面積都只有△ABC的一半，所以它們面積相等。然后，同時挖去重合區域（四邊形OECD），就能推斷△AOE和△OBD面積相等。同理還可以推知△ABO和四邊形OECD面積相等。再來分析△OBD與其相鄰的四邊形OECD的面積關系，連接O，C兩點作輔助線，把四邊形一分為二，得到△ODC和△OEC（見圖9）。由于D點是BC邊的中點，因此△ODC與△OBD面積相等，△OEC與△AOE面積相等。聯系前后邏輯可以推知，△ABO的面積等于2個△AOE的面積，也等于2個△OBD的面積。再運用前面所說的面積與底的正比例關系，就可以推知，線段BO之長等于線段OE之長的2倍，同理，線段AO之長等于線段OD之長的2倍。現在O點的坐標就可以確定，即位于任意一條中線靠近對應底邊的三等分點處。

三、教學情境改進

綜上所述，關于正比例和反比例的教學理應形成三大觀點：第一，正比例和反比例其實就是對舊知的一種新提法，本質上具有“兩個量之積等于第三個量”這種數量關系的式子（含變量），都可以稱之為正（反）比例；第二，正比例和反比例可以兼容到一個表達式里，在教學時，教師可以一體呈現，便于對比辨析，讓學生同時掌握；第三，正比例和反比例具有承前啟后的功用。因此，選用的情境不應拘泥于生活情境，還應回歸數學學科。

“變教為學”教學模式中，呈現知識應當“突出本質、滲透文化、實現關聯”。我國的成語典故中也會涉及正、反比例的意識形態。如成語“半斤八兩”，古代的1斤=16兩，“斤”與“兩”就是典型的正比例關系。事實上，所有度量單位的進率換算也都是在應用正比例知識。又如成語“事半功倍”，大意是付出少，收獲大。若將“事”定義為工作時間，“功”定義為工作效率，那么整個成語就可以理解為工作總量恒定，工作時間與工作效率是反比例關系，換言之，就是用時越短效率越高。基于這些理論，學習目標就不言自明：先總結具有乘法或者除法算式形式的數量關系，再識別其中正、反比例的關系。按照這個目標，教師不妨設計如下任務。

【任務1】寫出你學過或見過的形如“□×□=□”的公式，如“長×寬=長方形的面積”。然后組內交流，集體評議。

完成這樣的任務，學生的原始經驗就會被激活，他們需要不斷搜羅、回憶自己學過的類似的公式，這樣的回顧可以對相關知識進行梳理和提煉，以發現共性，為歸納正、反比例的概念做好知識儲備。

【任務2】在形如“□×□=□”的三個量中，如果其中一個量為定值，那么另外兩個量存在何種關系？試著舉例說明。

這個任務主要是為了突出常量和變量的區別，讓學生認識常量和變量的概念，同時明確二者的依存與制約關系。

【任務3】自己回想，何為“兩個量成正比例關系”，何為“兩個量成反比例關系”？組內交流評價。

通過完成這三個任務，學生就可以在比較中進行概括。在此基礎上，教師要再次引導學生閱讀教材，確認和揣摩正比例和反比例的概念。最后，運用成語典故中涉及正、反比例的知識設計問題，以滲透和鞏固正、反比例的概念。

正、反比例看似為一個簡單的數學概念，三言兩語就可以闡述清楚。教材上也有詳細而準確的文字描述，對正、反比例做出了確切精準的定義，還附錄了表達式。但是，學生要想真正掌握并內化正、反比例的概念，且做到靈活運用，僅僅靠對這些文字的揣摩和理解還遠遠不夠，還需要通過大量的實例和具象知識來堆積，建立穩固的表象，將抽象的比例概念分解，轉化成一個個具體而細微的數學模型，最后共同組建完整的正、反比例知識框架。

（責編 李琪琦）