帶有多項分數階導數的微分方程邊值問題解的存在性

李建利, 陳麗珍, 李 剛

(1. 太原學院數學系，太原 030032; 2. 山西財經大學應用數學學院，太原 030006;3. 揚州大學數學科學學院，揚州 225002)

0 引言

分數階微分方程是經典整數階微分方程的推廣，它是將整數階的導數替換為分數階導數，這類方程已在物理、工程、金融、環境問題等領域得到了廣泛的運用。因此，對它的研究也引起了學者們廣泛的關注[1–2]。另一方面，非線性分數階微分方程的邊值問題也受到了中外許多學者的廣泛關注，已取得了很多研究成果[3–4]。例如，利用非緊測度和M¨onch 不動點定理，Zhou 和Peng 在文獻[3]中證明了如下邊值問題解的存在性

1 預備知識

首先，我們給出一些必要的分數階計算的定義和結論[2]。設(X,//·//)是實Banach 空間，C([0,b],X)表示定義在區間[0,b]上取值于X的連續函數全體，其范數定義為//x//=sup{//x(t)//,t ∈[0,b]}；L1([0,b],X)表示定義在區間[0,b]上的Bochner 可積函數全體，其范數定義為

注2 由格林函數G1(t,s)和G2(t,s)的定義，可知G2(t,s)在[0,1]×[0,1]上連續

2 主要結果

在這節中，我們將給出問題(1)解的存在性和唯一性的一些結果。首先，我們利用壓縮映像原理研究邊值問題(1)解的存在唯一性。

因此，對任意的有界集B ?C[0,1]，T(B)是一致有界的。由Ascoli-Arzella 定理知T:Wr →Wr是全連續的。根據定理2 可知，邊值問題(1)至少存在一個解。

本節最后，我們將利用Kuratowski 非緊性測度證明邊值問題(1)解的存在性。首先，我們給出Kuratowski 非緊性測度的定義。有關Kuratowski 非緊性測度的性質可參見文獻[8–9]。

定義4 設X是Banach 空間，B是X中的有界集，則Kuratowski 非緊性測度χ:B →[0,∞)定義為

如果N1+N2//p//L1<1，則邊值問題(1)在C([0,1],R)中至少存在一個解。

即AWR ?WR。

下證A(WR)為C([0,1],R)中等度連續集。對任意的x ∈WR及t1,t2∈[0,1]且0≤t1

注意到N1+N2//p//L1< 1，所以對一切t ∈[0,1], d(t) = 0。根據Ascoli-Arzela 定理知D是C([0,1],R)中的相對緊集。結合引理2，A在WR中有不動點x，即x是邊值問題(1)的解。