部分線性變量含誤差的網格數據模型的估計

馬俊玲, 王立春

(1. 上海財經大學統計與管理學院，上海 200433; 2. 北京交通大學數學與統計學院，北京 100044)

0 引言

部分線性變量含誤差的網格數據模型可表示如下

模型(1)稱為網格數據模型。當變量需要從兩個不同維度觀測時可能形成網格數據，常見于氣象學、地質學、地理學等領域，如地理學上常常需要設定經度ξi(1≤i ≤n)和緯度tj(1≤j ≤m)形成網格點對變量進行觀測，得到網格數據。

1 模型估計和主要定理

Q1在式(4)中可以表示為(1,?βτ)S(1,?βτ)τ/[(1,?βτ)(1,?βτ)τ]。令λp+1為矩陣S的最小特征值，γm=(γm1,γm2,··· ,γm,p+1)τ △=(γm1,γ(2)τm)τ為相應的標準化特征向量。由于對充分大的n，γm1?=0(證明可見第4 節)，β的估計?β可以通過最小化

定理4 若假定(A1)～(A4)成立，對α ∈(1/2,1]，當n和m充分大時，有：

1) 對連續函數g(t)且{t1,t2,··· ,tm}在g(t)定義域T(T為開集)是稠的，則對任意的t ∈T，?g(t)是強相合的；

2 需要的引理

其中L(Rn)為n×n實矩陣集，//E//2=max//a//2=1//Ea//2和向量范數為Euclid 范數。

引理5 設矩陣A和A+E在L(Rn)對稱，其特征值分別為λ1≥λ2≥··· ≥λn和μ1≥μ2≥··· ≥μn。如果|λi ?λj|≥ζ>//E//2，對任何i ?=j，則對應特征值λj和μj，存在標準化特征向量ωj和vj，使得

3 定理證明

定理1 的證明 記

因此，由式(14)、(17)和?σ2的定義，可得

結合式(14)，可得定理結論3)。

定理2 的證明 當n和m同時趨于無窮，由式(17)可得

結論1)得證。

2) 顯然有結論2)得證。

注1 本文對定理的證明顯示?β和?σ2的收斂速度關于m是一致的，收斂速度只取決于n。?g(t)的收斂速度取決于n和m。在ˉx有界的條件下，如果sd ≥α且m=O(n)，則?g(t)的收斂速度可達到O(n?α/2(ln lnn)1/2)。

注2 模型(1)可直接應用于地理學、地質學領域的網格數據。另外，模型還可以被擴展應用于其它領域。例如在金融學領域，注意到股票收益是在股票市場指數和股票業績形成的網格處觀測從而形成網格數據，模型(1)可以用來探究股票指數和股票業績對股票收益的潛在影響。當然，在股票收益的相依性不可忽略時，模型(1)還需要考慮模型誤差的相依性來進行擴展。這也是該模型未來需要研究的擴展性問題。