一類帶時滯的Holling II 型功能反應的隨機捕食系統的穩定性

郗麗莎 羅 東

（1、西安財經大學行知學院 通識部，陜西 西安710038 2、陜西服裝工程學院 基礎部，陜西 咸陽712046）

生物數學是生物與數學結合的一門交叉學科，并在發展和應用中建立和完善了自己的一套理論體系。它是通過構建數學模型的思想建立了生物種群模型，以此來研究生物種群之間的相互作用關系。然而生物種群之間的關系錯綜復雜但又非常重要，是我們研究生態學發展必不可少的一個環節。它們之間充滿著相互捕食、競爭、依存和寄生等關系，捕食關系就是其中重要的關系之一，也是研究比較廣泛、經驗比較豐富的。那么在捕食系統中，庇護效應、年齡階段、時滯效應，功能反應等都值得深入研究。我們本文重點研究的是時滯效應對系統的影響，考慮到生物種群密度的改變對增長率的影響存在時間滯后，比如，食餌與捕食者的妊娠期、哺乳期等。從而在對具有時滯等現實因素的系統進行研究時，主要討論系統是否處于穩定狀態并給出證明。因此時間滯后效應與種群系統的生存發展的狀態息息相關。更全面的了解種群的生存發展狀況，是目前許多學者關注的問題之一。

但是，在生物界中，無論大小生物都或多或少的受到內在或外在因素的影響。比如內在因素有：種內競爭、生老病死、遷入或者遷出以及性別比例不均衡等。外在因素有：人類對于動物的獵殺、或者保護的行為、大自然的氣候、動物入侵，食物供應等。有利條件下生物的種群密度增大，不利條件下生物的種群密度下降。比如：陽光充足、雨水充沛，植物就會枝繁葉茂，食草動物就會糧食富足，物種數量就會隨之增加；否則，就會減少。所以，為了更全面的了解生態系統的發展狀態，我們在以往的確定性模型中加入隨機因素得到隨機系統模型，以此來分析種群的性態。終于在各位學者的不斷努力、大膽嘗試中總結收獲了現有的寶貴經驗和有效方法。在文獻[1-4]中，作者們主要研究了在隨機因素的干擾下的具有時滯因素的Lotka-Volterra 模型，分析其解具有的特殊性質，從而得到模型符合的生物學特性。其中文獻[3]和[4]都分析了具有時滯的隨機Lotka-Volterra 模型，前者加入了可變時滯，后者加入了無限時滯，分別討論得到其解的全局漸進穩定性。文獻[5,6]研究了隨機時滯Logistic 系統模型的持久性和滅絕性。文獻[8]和[11]分析了具有時滯和隨機項的捕食系統，得到解的一系列特性。文獻[9]討論了具有時滯和擴散效應的隨機捕食系統模型，得到系統全局正解存在并且唯一，以及當系統滅絕或者平穩生存時解所滿足的條件。本文將研究具有時滯的HollingII 型的隨機捕食系統，對于確定性捕食系統表示如下：

考慮隨機因素的干擾，研究捕食者具有時滯的Holling II 型功能反應的捕食系統，對上述確定性系統做變換a→a+σ（1x（t）-x*t），-d→-d+σ（2y（t）-y）*（t），得到如下隨機系統：

方程中，x（t），y（t）分別指t 時間，被捕食者的種群的數量，捕食者種群的數量，x*，y*為不含隨機干擾時系統的正平衡點，a，b，c，d，e，α 均為常數，α 表示被捕食者在不受外界干擾下自身的一個增長比率，b 表示被捕食者的種內之間的一種競爭制約常數，c，e 分別是指被捕食者和捕食者這兩個種群之間的約束比率，d 表示捕食者的一個自然死亡比率。

τ 表示時間滯后效應，表示在這一時刻之前，對于捕食者而言，才具有能夠捕獵和覓食的能力。

1 系統正解的存在唯一性

證明t≥0時，設初值函數u（0）=lnx0，v（0）=lny0，得到方程

定理1 對任意給定初值（x0，y）0∈R，系統（1）具有唯一解(x(t) ,y(t)),t≥0, 并且此解依概率1 停留在R中。

證明 由引理1，只需要證明τe=∞，a.s.即可。

設n0＞0 足夠大，使（x0，y0）的每一個分量都落在[1/n0，n0]中，定義停時τk=inf {t∈[ 0 , τe) :x(t) ?( 1 /n,n)或y(t) ?(1 /n,n)},其中。令 inf?=∞，顯然，當n→∞時，τk單調遞增，令則 τ∞≤τe,a.s.。若能證明τ∞=∞，a.s.，則τe=∞，a.s.. 也就證明了 (x(t) ,y(t)) ∈. 即，對于該定理只需要證明 τ∞= ∞,a.s.。假設存在常數T＞0 和ε∈（0，1），使P＞ε，則存在當時有

定義一個C2函數V：R→R+，V（x，y）=（x-1-lnx）+（y-1-lny），由于當u＞0 時，u-1-lnu≥0，因此V（x，y）是一個非負函數。

其中

則有

顯然F（x，y）有上界，設其上界為K＞0 則

2 解的隨機最終有界性

定義1 模型（1）的解是隨機最終有界的，若有對所有的ε∈（0，1）只要有大于0 的數δ=δ（ε）＞0 使得對所有的初始解（x0，y）0∈R模型（1）的解符合以下條件：

引理2 對所有的θ∈（0，1）只要有大于0 的數H=H（θ）和初始解（x0，y0）∈R2+無關，使得模型（1）的解（x（t），y（t））符合以下條件：

3 解的全局隨機漸近穩定性

定理3 如果A＜0，4AB-C2＞0 且e（1+αx*）-c（t-τ）＞0 則系統（1）的正平衡點（x*，y*）是全局隨機漸近穩定的。

所以，若A＜0，4AB-C2＞0，滿足e-αd＞0，0＜m＜1-bd/[α（e-αd）]成立，則LV（x，y）＜0。 因此沿著第一象限中除了（x*，y*）以外的任何軌線的正向都有LV（x，y）＜0 成立。

因此，考慮到時間滯后的影響構建HollingII 型功能反應模型，深入探討該模型在噪聲干擾作用下的系統種群是否趨于穩定，若時間滯后效應影響較小時，即e（1+αx*）-c（t-τ）＞0 時系統處于全局穩定狀態，對保護生物多樣性以及維持生態平衡起著重要作用。