一類多項式系統的中心條件

諸慧

（溫州科技職業學院 公共教學部，浙江 溫州325000）

1 概述

微分方程模型是反映變量之間變化率的關系式，它可以幫助人們精準地刻畫宏觀和微觀世界，已廣泛應用到各個領域。因此，微分方程的定性理論和應用成為眾多學者關注的熱點問題之一，而中心焦點判定就是微分方程中極為重要的一塊內容，它與Arnold 問題和Hilbert第16 問題的解決聯系密切。考慮平面多項式微分方程系統，當線性部分為中心型時，可寫成如下形式：

其中P(x,y)和Q(x,y)是多項式，原點可能為系統（1）的中心焦點判定問題，目前主要的研究方法有形式級數法、后續函數法、形式積分因子法、不變曲線法、奇點量法、V 函數法等[1]。這些研究結果為中心焦點的探索提供了重要判斷方法。但是當P(x,y)和Q(x,y)的次數增多時，焦點量的階數也隨之增加，無論用何種方法約化焦點量都會產生巨大的計算量，從而使中心焦點的判定及其不易，因此如何讓運算效率提高是一個非常關鍵的問題。隨著計算機的發展，不少研究者借助符號計算軟件Maple 輔助證明微分系統的中心焦點問題，涌現出不少高效通用的焦點量計算算法[2-3]。因而微分方法的定性理論研究取得不少重要的成果，且發表在國際主流數學期刊上。本文考慮系統（1）的一個特例，即如下系統：

當n=3 時，Gine 和Santallusia[4]得到了原點是系統（2）中心的充要條件。

定理1.1[4]如下系統

原點是系統（3）的中心充要條件是以下之一條件成立

本文繼續考慮系統（2）的中心焦點判定問題，借助符號計算軟件Maple 給出了n=4 時，原點為系統（2）中心的充要條件及細焦點的階數，根據同一算法，陸續演算了當n = 5，6，7 時，原點為系統（2）中心的充分條件。

2 預備知識

本文利用二維微分系統的焦點量算法[4]——形式級數法，這里設Li為系統（2）的第i 階焦點量，按照Hilbert 基定理，存在唯一的正整數N，使得結式消元后的新焦點量Li=0（i=1，2，…，N），就可保證原點是中心。因此只要具體分析前N 個Li，我們就可得到原點為系統（2）中心的充要條件，同時得到系統（2）的至多小擾動極限環個數。通閱文獻，Hilbert 基定理并沒給出N 的具體計算方法，一般情況下，我們先計算前一個低階焦點量，并不斷約化高階焦點量，從而得到原點為中心的必要條件，再通過其它途徑證明這些條件是充分的，從而得到充要條件[5]。

引理2.1[3]（Poincaré 對稱原理）如果系統（2）

右側的向量場關于x 軸或y 軸對稱，即函數P(x,y)，Q(x,y)滿足P(x, -y) =-P(x,y)，Q(x, -y) =Q(x,y)或P(-x,y) =P(x,y),Q(-x,y) =-Q(x,y)，因此原點必為系統（2）的中心。

3 主要結果及證明

首先考慮系統（2）n = 4 時的情形，系統（2）轉化為

定理3.1 原點為系統（4）的中心，充要條件是下述四組條件之一成立

證明：（充分性）

其中

雖然P(u,v)和Q(u,v)項數比較多，借助Maple 比較容易判斷出新系統滿足P(u, -v) =-P(u,v)，Q(u,-v)=Q(u,v)。根據Poincare 對稱原理，原點為中心。

其中P(m,n)和Q(m,n)都是含36 個單項式的多項式，同理利用Maple 驗證系統滿足P(m,-n) =-P(m,n)，Q(m,-n)=Q(m,n)。根據Poincare 對稱原理，原點為中心。

（必要性）

利用Maple 計算出系統（4）的前8 個焦點量。

另外L3，L4，…，L8是含有8 個變量{ai，bi，i=1，2，3，4}的多項式，它們所含的單項式個數分別為26，73，166，340，651，1176。只要一直對低階焦點量進行結式消元來約化高階焦點量，最終我們就可得到原點為系統（4）中心的條件。

Step 1：令L1=0，即b2=-a2，借助Maple 將b2=-a2迭代到上述的焦點量L2，L3，…，L8中，L2則約化為

其他約化后的高階焦點量L3，L4，…，L8所含有的單項式項數減少為15，44，90，175，307，524，跟原先的焦點量相比，多項式的增長速度減緩不少，說明這種計算方法是有效的。

Step 3：令L3=0，觀察這個多項式，a3和b3的最高次為一次，同理，利用Maple 計算得

Step 4：令L4=0，繼續利用Maple 輔助證明，這里分類討論：

(A) 若80a+ 57a2b1- 36a1b≠0

再分3 種情況討論：

(1)a1-b1=0時，迭代到高階的焦點量，得L5=L6=L7=L8= 0，繼續將a1-b1=0代入到前面所求的條件式b3、b4中，即可得a1-b1=a2+b2=a3-b3=a4+b4=0條件（1）證畢。

(2)a1+b1=0時，迭代到高階的焦點量，得L5=L6=L7=L8=0，繼續將a1+b1=0代入到前面所求的條件式b3、b4中，即可得

a1+b1=a2+b2=a3+b3=a4+b4=0. 條件（2）證畢。

(B)若80a+ 57a2b1- 36a1b=0

將上述多項式分類討論：

(1) 若b1=0 時，則a1=0

(2) 若b1≠0時，解得

ii)若a2≠0，則

這時將L3，L4，…，L8做結式運算，最終得只含系數b1的單項式，因b1≠0，故焦點量L3，L4，…，L8之間沒公共解，這是說明系統了（4）具有4 階細焦點，證明完畢。

4 討論

當n=5，6，7 時，本文繼續對系統（4）進行研究，發現這類系統以原點為中心的充要條件有著以下的規律，結果的形式與定理1.1 和定理3.1 相似，于是有下述的猜想：

猜想:原點為系統（4）的中心的充要條件為以下條件之一成立