小半徑曲線中低速磁浮車輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析

王相平， 李國芳， 慕顯龍， 王紅兵， 靳忠淵， 丁旺才

(1. 蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070； 2. 太原鐵路局集團(tuán)公司 太原車輛段，太原 030012)

曲線線路是中低速磁浮交通主要的線路類型之一，當(dāng)車輛通過小半徑高架曲線線路時(shí)，車軌耦合振動(dòng)以及車輛橫向動(dòng)力失穩(wěn)問題將會(huì)愈加突出，嚴(yán)重影響車輛運(yùn)行品質(zhì)，甚至危及車輛運(yùn)行安全[1]。

磁浮列車是一個(gè)集車輛系統(tǒng)、軌道系統(tǒng)、懸浮控制系統(tǒng)于一體的復(fù)雜大系統(tǒng)[2-5]。磁軌關(guān)系從本質(zhì)上決定了磁浮列車的動(dòng)力特性，曲線段上磁鐵相對于軌道的運(yùn)動(dòng)關(guān)系更為復(fù)雜，且橫向欠阻尼特性使中低速磁浮車輛橫向動(dòng)力失穩(wěn)的潛在可能急劇增加。趙春發(fā)等[6]指出，低速EMS磁浮車輛沒有專門的導(dǎo)向電磁鐵，這將對車輛的動(dòng)態(tài)曲線通過性能產(chǎn)生嚴(yán)峻考驗(yàn)，同時(shí)，二維磁軌關(guān)系也難以準(zhǔn)確反映曲線線路上電磁鐵相對于軌道的三維運(yùn)動(dòng)特性。近年來，電磁力-氣隙模型[7]、基于虛擬位移法建立的三維電磁鐵分析模型[8]、采用有限元法建立的線圈磁力分析模型[9]、單自由度廣義Bouc-Wen磁滯模型[10]等逐漸被用于磁軌關(guān)系計(jì)算。控制系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)磁軌關(guān)系分析中也必不可少[11-13]。懸浮控制系統(tǒng)的穩(wěn)定并不能保證磁浮列車的動(dòng)力穩(wěn)定，靜懸或低速通過彈性高架橋梁時(shí)的車軌耦合振動(dòng)給磁浮車輛的安全運(yùn)營造成了嚴(yán)峻挑戰(zhàn)[14]。Hu等[15]研究表明彈性橋梁低階頻率對車橋耦合振動(dòng)影響較為顯著；Zhou等[16]研究發(fā)現(xiàn)主梁扭轉(zhuǎn)共振是車橋耦合振動(dòng)的主要原因；王連春等[17]指出懸浮系統(tǒng)的有源功率是自激振動(dòng)產(chǎn)生的主要原因；王黨雄等[18]研究表明，橋梁結(jié)構(gòu)變形引起懸浮間隙改變，影響電磁力，導(dǎo)致磁浮車橋耦合共振發(fā)生；Liang等[19]、李小珍等[20]、汪科任等[21]、Wang等[22]研究表明橋梁結(jié)構(gòu)型式、軌道梁跨距、橋梁豎向撓跨比等均會(huì)對車橋耦合振動(dòng)產(chǎn)生影響。

綜上可知，當(dāng)前有關(guān)曲線段磁浮車輛動(dòng)力學(xué)的研究主要以大半徑曲線上的高速車輛為主，中低速磁浮小半徑曲線上的動(dòng)力特性鮮有研究；中低速磁浮車輛磁軌動(dòng)力學(xué)依舊以二維電磁力模型為主，空間三維動(dòng)態(tài)磁軌關(guān)系尚未充分體現(xiàn)；軌道模型的精細(xì)化對車橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)計(jì)算精度影響較大[23]，但當(dāng)前研究基本只考慮了軌道梁的柔性，對與懸浮電磁鐵直接作用的F軌、軌枕等關(guān)鍵部件的參振作用尚未考慮。

鑒于此，建立考慮F軌、鋼軌枕、承軌臺、軌道梁多層柔性體的精細(xì)化小半徑曲線軌道模型；運(yùn)用Ansys APDL-UM-Maxwell進(jìn)行車輛-橋梁-電磁場全耦合仿真，模擬了小半徑曲線上的空間動(dòng)態(tài)磁軌關(guān)系；結(jié)合實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性，分析了鋼構(gòu)小半徑曲線上中低速磁浮車輛-高架軌道系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，研究結(jié)論以期為曲線段中低速磁浮高架軌道設(shè)計(jì)、車輛安全運(yùn)營提供理論基礎(chǔ)和技術(shù)保障。

1 數(shù)值計(jì)算模型

1.1 中低速磁浮車輛模型

車輛主要由車體、走行部和懸浮系統(tǒng)組成，走行部主要包括懸浮架、二次系與迫導(dǎo)向機(jī)構(gòu)，每輛車有五個(gè)懸浮架均布于車下，每個(gè)懸浮架由抗側(cè)滾梁將左右模塊連接起來，整車模型共有154個(gè)自由度，車輛總體結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 車輛系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Diagram of overall structure of vehicle system

迫導(dǎo)向機(jī)構(gòu)示意圖(見圖1(e))。車輛通過曲線線路時(shí)，前端懸浮模塊隨軌道偏轉(zhuǎn)，車體和懸浮架之間發(fā)生相對橫移，帶動(dòng)長T型臂轉(zhuǎn)動(dòng)，長T型臂通過轉(zhuǎn)向拉桿帶動(dòng)短T型臂轉(zhuǎn)動(dòng)，使第二懸浮架擬合曲線運(yùn)動(dòng)，第三懸浮架自由隨動(dòng)。

1.2 空間動(dòng)態(tài)磁軌關(guān)系模型

當(dāng)前廣泛用于中低速磁浮車輛的電磁力模型大多是基于虛功法、保角變換法或磁通管法分解轉(zhuǎn)化為單極電磁鐵模型計(jì)算求解。當(dāng)F軌與U型電磁鐵極面正對且平行時(shí)，懸浮氣隙磁場中的能量為

Wm=μ0H2AS

(1)

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；H為氣隙內(nèi)的磁場強(qiáng)度；A為磁極面積；S為氣隙。

若忽略導(dǎo)磁介質(zhì)內(nèi)部磁阻，則

(2)

式中：N為電磁鐵線圈匝數(shù)；I為通過線圈的電流。

依據(jù)虛功原理，則電磁力可表示為

(3)

進(jìn)一步采用保角變換和四角幾何法對電磁力進(jìn)行分極計(jì)算，則懸浮力FZ和導(dǎo)向力FY可表示為

(4)

(5)

式中：wmag為磁極寬度；y為電磁鐵相對橫移量。

式(1)～式(5)有關(guān)電磁力的計(jì)算是在忽略磁阻并假定F軌與U型電磁鐵極面正對且平行為基礎(chǔ)的，而當(dāng)車輛在曲線線路上運(yùn)行時(shí)，線路曲率變化導(dǎo)致電磁鐵縱向中心線與F軌縱向中心線不再平行，懸浮電磁鐵相對F軌發(fā)生橫擺、搖頭、點(diǎn)頭、浮沉運(yùn)動(dòng)，此時(shí)懸浮電磁鐵與F軌的幾何關(guān)系示意圖，如圖2所示。

圖2 平曲線上懸浮電磁鐵與F軌幾何關(guān)系示意圖Fig.2 Diagram of the geometrical relationship between the suspension magnet and F rail on the horizontal curve

依據(jù)圖2(a)所示幾何關(guān)系，軌道曲率變化引起的懸浮電磁鐵端部與F軌之間的橫向錯(cuò)位可表示為

(6)

式中：R為曲線半徑；Lmag為懸浮電磁鐵長度。

記懸浮模塊搖頭角為φ，電磁鐵質(zhì)心相對于F軌中心線的橫向偏移量為Δyy，則懸浮電磁鐵首、尾兩端的橫移量為

(7)

(8)

每個(gè)懸浮電磁鐵由四個(gè)線圈沿縱向排列封裝而成，而每一處橫移量均不相同。在圖2(a)所示電磁鐵坐標(biāo)系xoy上，任一點(diǎn)A(lx,0)對應(yīng)的橫移量為

(9)

結(jié)合圖2(b)，進(jìn)一步考慮電磁鐵相對于F軌的浮沉和點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)，記考慮浮沉后的懸浮間隙為Sδ，點(diǎn)頭角度為θm。將電磁鐵沿長度方向離散，則點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng)在離散后的任意一點(diǎn)均可由該點(diǎn)懸浮間隙SδAi表示，基于此可將懸浮力和導(dǎo)向力表示為

(10)

(11)

懸浮力矩和導(dǎo)向力矩為

(12)

(13)

式中：lxi為離散點(diǎn)Ai(lxi,0)距電磁鐵中心的縱向距離；SδAi， Δylxi為圖2所示電磁鐵坐標(biāo)系內(nèi)任一離散點(diǎn)Ai對應(yīng)的懸浮間隙和橫移量；fZAi(SδAi,Δylxi,I)，fYAi(SδAi,Δylxi,I)分別為Ai點(diǎn)處對應(yīng)的懸浮力、導(dǎo)向力大小，其理論解為橢圓域內(nèi)的積分，計(jì)算極為復(fù)雜，故綜合考慮導(dǎo)磁介質(zhì)的磁飽和效應(yīng)，采用Maxwell對其進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算過程中，部分關(guān)鍵參數(shù)取值如表1所示。

表1 懸浮電磁鐵部分關(guān)鍵計(jì)算參數(shù)Tab.1 Some key calculation parameters of suspension magnet

懸浮控制方式對車輛-軌道系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)具有較大影響，為減小控制策略對主要研究對象的影響，采用了當(dāng)前廣泛使用的PID(proportional integral derivative)控制方式。懸浮系統(tǒng)控制方程為

(14)

1.3 車輛-曲線段柔性高架軌道耦合系統(tǒng)模型

中低速磁浮車輛正線線路最小曲線半徑為100 m，結(jié)合實(shí)際工程背景，建立跨度20 m半徑R=100 m的某五跨連續(xù)梁鋼構(gòu)高架軌道模型。軌道材料Q235-B，建模過程中，F(xiàn)軌、鋼軌枕、承軌臺、軌道梁均采用solid185單元模擬，F(xiàn)軌與鋼軌枕固結(jié)，鋼軌枕與承軌臺之間的扣件用bushing力元模擬，車輛與軌道之間依據(jù)磁軌關(guān)系耦合。軌距1.86 m，軌枕間距1.20 m，緩和曲線長54 m，線形為三次拋物線，圓曲線長18 m，曲線段前后均設(shè)置50 m直線線路，超高根據(jù)式(15)設(shè)置，最大超高處左右軌面與水平夾角小于6°,最大通過速度40 km/h。車輛-曲線段高架軌道耦合系統(tǒng)示意圖如圖3所示。

(15)

圖3 中低速磁浮車輛-曲線段柔性高架軌道耦合系統(tǒng)示意圖Fig.3 Schematic diagram of the coupling system of low-medium speed maglev vehicle-curved section flexible elevated track

由于當(dāng)前中低速磁浮運(yùn)營里程相對較短，軌道不平順實(shí)測數(shù)據(jù)較少，故基于柔性高架線路隨機(jī)不平順譜理論，結(jié)合CJJ/T 262—2017《中低速磁浮交通設(shè)計(jì)規(guī)范》[24]中對軌道精度的要求，反演出軌道不平順如圖4所示。

圖4 軌道不平順Fig.4 Track irregularity

計(jì)算流程如圖5所示。

圖5 車輛-橋梁-電磁場多場耦合計(jì)算流程Fig.5 Multi-field coupling calculation flow of vehicle-bridge-electromagnetic field

在動(dòng)力學(xué)計(jì)算中，車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(16)

式中：MV，CV，KV為車輛系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；XV，XC為車輛系統(tǒng)和控制系統(tǒng)狀態(tài)矢量；Q為軌道梁廣義位移矢量；FM為車輛系統(tǒng)外力矢量，考慮動(dòng)態(tài)磁軌作用，其可表示為

FM=(fm1,fm2,…,fmn)

(17)

(18)

式中：ik為第k個(gè)線圈的電流； 其余符號意義同上。

對軌道梁系統(tǒng)的求解采用模態(tài)疊加法，軌道系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(19)

式中：qj為第j階廣義位移；ξj，ωj，φj為第j階的阻尼、固有頻率和振動(dòng)模態(tài)；Fj為第j階的廣義力。

1.4 模型驗(yàn)證

1.4.1 電磁力

采用常用二維解析模型與本文計(jì)算結(jié)果的對比來驗(yàn)證電磁力模型的正確性。

選取左側(cè)電磁鐵，以車輛運(yùn)行方向自前向后標(biāo)記該電磁鐵上四個(gè)線圈分別為LF1、LF2、LR1、LR2，由式(6)～式(9)，結(jié)合車輛多體動(dòng)力學(xué)模型可計(jì)算得到曲線線路上電磁鐵任意位置橫向位移及懸浮間隙，再將計(jì)算結(jié)果代入式(4)和式(5)即可求得任意位置的電磁力。本文所用電磁力模型是在有限元仿真基礎(chǔ)上采用數(shù)值擬合手段對電磁力進(jìn)行表示。車輛20 km/h運(yùn)行時(shí)，兩者計(jì)算結(jié)果對比如圖6所示。

圖6 線圈LF1處電磁力計(jì)算結(jié)果對比Fig.6 Comparison of electromagnetic force at coil LF1

由圖6可知，兩者計(jì)算結(jié)果變化趨勢基本一致，但本文計(jì)算結(jié)果普遍小于解析解，在直緩點(diǎn)、緩圓點(diǎn)、圓緩點(diǎn)、緩直點(diǎn)等表現(xiàn)更為顯著。這是因?yàn)橛邢拊抡孢^程中還進(jìn)一步考慮了導(dǎo)磁介質(zhì)中磁阻的變化，在軌道不平順以及線路曲率等多重激勵(lì)聯(lián)合作用下，導(dǎo)磁介質(zhì)工作點(diǎn)極易轉(zhuǎn)移到磁飽和區(qū)，從而引起磁動(dòng)勢下降，故其對應(yīng)數(shù)值解要小于不考慮磁阻的二維解析解。

1.4.2 車輛-高架軌道耦合系統(tǒng)

李小珍等對長沙中低速磁浮運(yùn)營線中10～80 km/h運(yùn)行速度下某連續(xù)梁中跨跨中動(dòng)撓度進(jìn)行了現(xiàn)場測量并進(jìn)行了數(shù)據(jù)擬合，由于本文所選取曲線線路車輛最大可通過速度為40 km/h，故將其實(shí)測結(jié)果重新截取擬合后與本文計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，如圖7所示。

圖7 不同車速下橋梁跨中豎向動(dòng)撓度對比Fig.7 Comparison of vertical dynamic deflections in the middle span of bridges at different speeds

由圖7可知，車輛10～40 km/h運(yùn)行時(shí)，橋梁跨中豎向動(dòng)撓度計(jì)算值與實(shí)測值變化趨勢基本一致，計(jì)算值略小于實(shí)測值，這主要是由橋梁跨度、車輛類型等的差異而引起。需要說明的是：李小珍等對10～80 km/h速度下橋梁跨中動(dòng)撓度擬合結(jié)果為y=0.000 54x+1.485，擬合度R2=0.188，與截取10～40 km/h重新擬合的結(jié)果基本一致，這說明本文用于模型驗(yàn)證所選取的數(shù)據(jù)是合理的。

2 中低速磁浮車輛系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析

本節(jié)從頻域方面對小半徑曲線上車輛關(guān)鍵部件的振動(dòng)特性進(jìn)行分析說明。車輛20 km/h通過曲線段時(shí)車體、第一位懸浮架振動(dòng)加速度功率譜密度，如圖8所示。

圖8 車體、第一位懸浮架振動(dòng)加速度功率譜密度圖Fig.8 Vehicle body, first suspension vibration acc.PSD diagram

由圖8可知，0～1 Hz內(nèi)懸浮架橫向振動(dòng)加速度功率譜密度顯著大于垂向，大于1 Hz時(shí)垂向振動(dòng)加速度功率譜密度大于橫向。車體振動(dòng)加速度功率譜密度主要集中在0～2 Hz，懸浮架優(yōu)勢振動(dòng)頻率主要在0～2 Hz，3～5 Hz以及更高頻段范圍內(nèi)。車體振動(dòng)加速度優(yōu)勢頻段范圍之所以低于懸浮架，主要是由于空氣彈簧的隔振作用，且頻率越高隔振效果越明顯，即懸浮架3～5 Hz以及更高頻段范圍內(nèi)的振動(dòng)幾乎不會(huì)對車體振動(dòng)產(chǎn)生影響。

作為與F軌直接作用的懸浮模塊，進(jìn)一步考慮懸浮電磁鐵細(xì)觀機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性對整車系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的影響不容忽視。車輛20 km/h運(yùn)行速度下第一位懸浮架左側(cè)電磁鐵L上各線圈振動(dòng)加速度功率譜密度圖，如圖9所示。由圖9可知，懸浮電磁鐵各線圈處垂向振動(dòng)加速度功率譜密度顯著大于橫向，線圈的振動(dòng)主要為40 Hz以上的高頻振動(dòng)。無論橫向振動(dòng)抑或垂向振動(dòng)，電磁鐵首末位置(即LF1，LR2)振動(dòng)加速度功率譜密度均大于中間位置(即LF2，LR1)，且存在著明顯的主頻偏移現(xiàn)象，即首末位置振動(dòng)頻率主要在100 Hz附近，而中間位置振動(dòng)主頻在115 Hz附近。

圖9 懸浮電磁鐵L各線圈振動(dòng)加速度功率譜密度圖Fig.9 Solenoid L vibration acc.PSD diagram of each coil

采用Sperling指數(shù)對車輛5～40 km/h通過該曲線段高架線路時(shí)的車輛平穩(wěn)性變化進(jìn)行評估，如圖10所示。

圖10 車輛不同速度通過曲線線路時(shí)的平穩(wěn)性指標(biāo)Fig.10 The stability index of a vehicle passing through a curved line at different speeds

由圖10可知，隨著車輛運(yùn)行速度逐漸增大，橫向、垂向Sperling指數(shù)均對應(yīng)增大，但橫向Sperling指數(shù)變化要大于垂向，車輛速度不超過16 km/h時(shí)垂向Sperling指數(shù)大于橫向，超過16 km/h時(shí)反之。橫向Sperling指數(shù)之所以變化較為劇烈，這主要是由曲線線路類型和車輛結(jié)構(gòu)所引起。當(dāng)車輛以較高速度通過該曲線線路時(shí)，導(dǎo)向力由U型電磁鐵復(fù)原力和迫導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的機(jī)械力共同提供，迫導(dǎo)向機(jī)構(gòu)長、短T形臂中部直接與車體相連，從而對車體振動(dòng)加速度產(chǎn)生影響，表現(xiàn)為車輛橫向振動(dòng)加速度對速度變化更為敏感，即速度引起的橫向Sperling指數(shù)變化更為顯著。車輛以40 km/h通過該曲線線路時(shí)，垂向Sperling指數(shù)為1.14，橫向Sperling指數(shù)為1.90，均小于2.50，平穩(wěn)性為優(yōu)。

3 柔性高架軌道系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)分析

車輛20 km/h通過該曲線段高架軌道時(shí)，橋梁橫向變形及跨中豎向位移如圖11所示。由圖11可知，梁體水平撓度為0.39 mm，豎向撓度為1.44 mm，均在CJJ/T 262—2017《中低速磁浮交通設(shè)計(jì)規(guī)范》規(guī)定的L/2 000和L/4 600(L為梁體計(jì)算跨度)的限值之內(nèi)。由豎向位移時(shí)程曲線可知，車輛在橋梁中部時(shí)梁體豎向變形最大。由橫向位移時(shí)程曲線可知，車輛在緩和曲線段運(yùn)行時(shí)梁體橫向變形速率顯著增大，圓曲線段的橫向變形不及緩和曲線與圓曲線過渡處，在直緩點(diǎn)、緩圓點(diǎn)、圓緩點(diǎn)、緩直點(diǎn)過渡區(qū)上橫向位移會(huì)有明顯的擾動(dòng)，這主要是因?yàn)椴煌€形之間的過渡區(qū)上線路曲率變化較為顯著，從而引起導(dǎo)向力劇烈變化，導(dǎo)向力的劇烈變化引起軌道梁橫向變形速率加快。

圖11 曲線段高架橋梁跨中位移時(shí)程曲線Fig.11 Curved section viaduct mid-span displacement time history curve

車輛以不同速度通過該曲線線路時(shí)，梁體橫向、豎向位移幅值變化，如圖12所示。

圖12 不同速度下曲線段橋梁動(dòng)位移Fig.12 Dynamic displacements of curved bridges at different velocities

圖12中，采用四次多項(xiàng)式對不同速度下梁體橫向、豎向位移進(jìn)行了擬合，擬合函數(shù)分別為

yV=-2.40×10-11·v4-5.27×10-10·v3+2.95×
10-7·v2-9.15×10-6·v-0.002 54

(20)

yL=-5.09×10-11·v4+6.08×10-9·v3-1.82×
10-7·v2+2.21×10-6·v+5.73×10-5

(21)

式中：yV為梁體豎向位移；yL為梁體橫向位移；v為車輛通過速度，v∈[5,40]。式(20)擬合度R2=0.998 81，式(21)擬合度R2=0.999 36，兩者均極接近1，這表示擬合函數(shù)可較為準(zhǔn)確的反映車輛通過速度與梁體變形的關(guān)系。

由圖12可知，當(dāng)車輛通過速度大于15 km/h時(shí)，隨著車速增加橋梁豎向、橫向位移均對應(yīng)增大，且增大程度基本相同，而當(dāng)車輛運(yùn)行速度小于15 km/h時(shí)，隨著速度增加，梁體橫向位移略有增加而豎向位移不斷減小。在5～40 km/h速度范圍內(nèi)，可近似認(rèn)為速度越大梁體變形越大，這與圖7一致，但就細(xì)觀變化而言，由于圖7擬合度較差，因此式(20)更能準(zhǔn)確描述不同速度下梁體豎向位移變化情況。在車輛速度小于15 km/h時(shí)橋梁豎向位移隨車速增大而減小，這極有可能是較低速度范圍內(nèi)的車軌耦合振動(dòng)引起梁體豎向變形增大，而速度增大時(shí)車軌耦合振動(dòng)減弱，從而梁體變形對應(yīng)減小。

車速20 km/h通過該曲線軌道時(shí)，軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)加速度功率譜密度，如圖13所示。橋梁-軌道系統(tǒng)典型自振模態(tài)如圖14所示。

圖13 高架橋梁-軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)加速度功率譜密度圖Fig.13 Viaduct bridge-track structure vibration acc.PSD

圖14 橋梁-軌道系統(tǒng)典型自振模態(tài)Fig.14 Typical vibration modes of bridge-track systems

由圖13可知，該曲線段高架軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率主要集中在0～20 Hz和80～100 Hz內(nèi)，其中0～20 Hz內(nèi)垂向振動(dòng)加速度功率譜密度大于橫向， 80～100 Hz及更高頻段范圍內(nèi)橫向振動(dòng)加速度功率譜密度顯著大于垂向。0～20 Hz為軌道結(jié)構(gòu)的整體振動(dòng)變形頻段，該頻段內(nèi)垂向振動(dòng)加速度功率譜密度最大值對應(yīng)頻率為4.34 Hz，次大值對應(yīng)頻率為17.08 Hz，橫向振動(dòng)加速度功率譜密度最大值對應(yīng)頻率為4.34 Hz，次大值對應(yīng)頻率為16.20 Hz。對軌道結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，上述典型頻段范圍對應(yīng)模態(tài)振型見圖14。軌道結(jié)構(gòu)橫向和垂向振動(dòng)加速度功率譜密度最大時(shí)對應(yīng)頻率為4.34 Hz，與圖14(a)對應(yīng)頻率極為接近。圖14(a)的模態(tài)振型為軌道結(jié)構(gòu)彎扭變形，此時(shí)軌道在橫向和垂向上均會(huì)發(fā)生變形且其自振頻率較低，故對應(yīng)振動(dòng)加速度功率譜密度較大；橫向振動(dòng)加速度功率譜密度次大值對應(yīng)頻率為16.20 Hz，與圖14(b)自振頻率極為接近，此時(shí)對應(yīng)于軌道結(jié)構(gòu)的橫向彎曲變形；垂向振動(dòng)加速度功率譜密度次大值為17.08 Hz，與圖14(c)自振頻率極為接近，主要為軌道扭轉(zhuǎn)和垂向彎曲變形，故以垂向振動(dòng)為主，同時(shí)也會(huì)伴隨有一定的橫向振動(dòng)。結(jié)合圖13中橫向和垂向功率譜密度數(shù)值，對比同為軌道彎扭變形的圖14(a)和圖14(c)可知，軌道彎扭變形會(huì)同時(shí)引起垂向、橫向振動(dòng)加速度變化，但最終決定橫向或垂向振動(dòng)加速度功率譜密度大小的是彎曲變形方向。

80～100 Hz為軌道結(jié)構(gòu)中F軌局部變形頻段，該頻段內(nèi)橫向振動(dòng)加速度功率譜密度最大值對應(yīng)頻率為83.13 Hz，垂向振動(dòng)加速度功率譜密度最大值對應(yīng)頻率為91.25 Hz，與上述典型頻率接近頻段范圍對應(yīng)振型如圖15所示。與83.13 Hz接近的F軌自振頻率有83.001 9 Hz和83.700 0 Hz，其對應(yīng)振型見圖15(a)和圖15(b)。圖15(a)中F軌兩側(cè)發(fā)生垂向彎曲和扭轉(zhuǎn)變形，中間部位為橫向彎曲變形，圖15(b)為F軌的橫向彎曲變形。與91.25 Hz接近的F軌自振頻率為91.138 2 Hz，對應(yīng)振型見圖15(c)。兩側(cè)以F軌橫向彎曲變形為主，中間部位主要為F軌的垂向彎曲和扭轉(zhuǎn)變形。

圖15 F軌典型自振模態(tài)Fig.15 Typical natural modes of F rail

綜上可見，在低于20 Hz的頻段范圍內(nèi)，軌道結(jié)構(gòu)彎扭變形是下部結(jié)構(gòu)振動(dòng)的主要原因，而軌道結(jié)構(gòu)的高頻振動(dòng)主要是由于F軌的局部彎扭變形引起。

為進(jìn)一步探究不同車輛運(yùn)行速度下曲線段軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性，采用振動(dòng)加速度有效值對其進(jìn)行描述。不同速度下軌道結(jié)構(gòu)垂向振動(dòng)加速有效值變化，如圖16所示。由圖16可知，隨著車輛通過速度增大，緩和曲線和圓曲線上垂向振動(dòng)加速度均對應(yīng)增大，但圓曲線段軌道垂向振動(dòng)加速度數(shù)值大小不及緩和曲線。在同一曲線線路上，由于車輛進(jìn)出緩和曲線時(shí)線路曲率變化在時(shí)空上呈軸對稱而非同步變化，進(jìn)一步考慮車輛迫導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的特殊性和軌道振動(dòng)加速度的瞬時(shí)變化特性，對進(jìn)出緩和曲線段獨(dú)立分析。

圖16 不同速度下曲線段軌道垂向振動(dòng)加速度有效值Fig.16 Effective value of vertical vibration acceleration of curved track at different velocities

車輛駛出緩和曲線段對應(yīng)的垂向加速度大于駛?cè)刖徍颓€(見圖16)，這主要是因?yàn)轳偝鼍徍颓€時(shí)車輛是從圓曲線向直線段的過渡，圓曲線上線形變化引起的加速度變化本身極為劇烈，即相當(dāng)于緩和曲線上初始振動(dòng)加速度就較大，而駛?cè)霑r(shí)是直線段與圓曲線之間的過渡，直線段上加速度本身較小，即相當(dāng)于進(jìn)入緩和曲線時(shí)初始加速度較小，故在低速時(shí)表現(xiàn)為駛出時(shí)垂向振動(dòng)加速度大于駛?cè)霑r(shí)，但駛?cè)攵问蔷€形變化速率逐漸增大的過程，車輛速度越高時(shí)車軌作用力越顯著，其引起的軌道振動(dòng)也就越大，在車輛速度大于35 km/h時(shí)駛?cè)刖徍颓€時(shí)的振動(dòng)加速度大于駛出時(shí)也驗(yàn)證了上述分析的準(zhǔn)確性。

不同速度下軌道結(jié)構(gòu)橫向振動(dòng)加速度有效值變化，如圖17所示。由圖17可知，隨著車輛運(yùn)行速度增大，車輛進(jìn)出緩和曲線時(shí)軌道橫向振動(dòng)加速度均對應(yīng)增大；速度不超過35 km/h時(shí)駛出段橫向振動(dòng)加速度大于駛?cè)攵危凰俣却笥?5 km/h時(shí)駛?cè)攵未笥隈偝龆危@與前文圖16垂向振動(dòng)加速度變化一致。對不同速度下圓曲線段橫向振動(dòng)加速度進(jìn)行線性擬合，其斜率為k=1.123×10-7，可見車輛速度對圓曲線段橫向振動(dòng)加速度影響極為微弱，主要是因?yàn)閳A曲線上曲率恒定，車軌橫向相互作用力瞬時(shí)變化較為穩(wěn)定。

圖17 不同速度下曲線段軌道橫向振動(dòng)加速度有效值Fig.17 Effective value of lateral vibration acceleration of curved track at different velocities

對比圖16、圖17可見，R=100 m的高架曲線線路上，垂向振動(dòng)加速度緩和曲線段大于圓曲線段；橫向振動(dòng)加速度圓曲線段大于緩和曲線段；無論橫向抑或垂向，緩和曲線段振動(dòng)加速度對車速變化更敏感。

4 結(jié) 論

基于車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)基本理論，建立了可靠的中低速磁浮車輛-曲線段連續(xù)梁高架軌道耦合模型，考慮了動(dòng)態(tài)磁軌作用以及軌道關(guān)鍵部件的參振作用，分析了小半徑曲線上車輛-軌道系統(tǒng)的耦合振動(dòng)特性，主要結(jié)論如下：

(1) 現(xiàn)有二維動(dòng)態(tài)磁軌關(guān)系會(huì)過大的估算曲線段磁軌作用力，小半徑曲線段動(dòng)態(tài)磁軌作用力計(jì)算時(shí)導(dǎo)磁介質(zhì)內(nèi)部的磁阻變化不容忽視。

(2) 小半徑曲線段車體橫向振動(dòng)加速度大于垂向；曲線段磁浮車輛車體主要為2 Hz以下的低頻振動(dòng)；懸浮架優(yōu)勢振動(dòng)頻率主要集中在0～2 Hz和3～5 Hz；懸浮電磁鐵上的各線圈主要為100 Hz左右的高頻振動(dòng)。曲線段車輛速度對橫向Sperling指數(shù)的影響遠(yuǎn)大于垂向。

(3) 該連續(xù)梁鋼構(gòu)高架軌道的振動(dòng)頻率主要集中在0～20 Hz和80～100 Hz，0～20 Hz的振動(dòng)主要由軌道結(jié)構(gòu)的彎曲和扭轉(zhuǎn)變形引起，80～100 Hz的振動(dòng)主要是F軌的局部彎扭變形所致。

(4) 低速時(shí)的車軌耦合振動(dòng)會(huì)對橋梁豎向變形造成一定影響，具體表現(xiàn)為：隨著車輛速度增大，曲線段高架橋梁橫向變形逐漸增大，豎向變形先減小后增大。

(5) 曲線段高架軌道線路上，垂向振動(dòng)加速度緩和曲線段大于圓曲線段；橫向振動(dòng)加速度圓曲線段大于緩和曲線段；無論橫向抑或垂向，緩和曲線段振動(dòng)加速度對車速變化的敏感程度均要大于圓曲線段。