非局部功能梯度梁結構振動與波傳播特性研究

何東澤， 史冬巖， 王青山， 馬春龍,4

(1. 哈爾濱工程大學 機電工程學院，哈爾濱 150001； 2. 中南大學 機電工程學院，長沙 410083；3. 中南大學 高性能復雜制造國家重點實驗室，長沙 410083； 4. 哈爾濱職業技術學院 汽車學院，哈爾濱 150001)

隨著眾多科研人員對納米材料的研究探索，微納米電子機械系統的設計開發的研究逐漸深入。納米梁結構作為具有良好力學性能的工程結構，其結構簡單，在納米線、微型開關以及微型驅動器等中作為基本的微小型元器件被廣泛應用[1]。納米結構的振動特性研究對于微納米電子機械系統有著重要的工程意義，對納米傳感器以及某些納米機械器件的設計具有廣泛的應用背景。同時，納米結構波傳播的特性也是較為熱點的研究問題。對于納米結構的力學理論，目前主要包括修正耦合理論[2-3]、應變梯度理論[4]以及非局部理論[5-6]。其中，非局部理論是目前微納米結構以及微納米電子機械系統應用研究中應用最廣泛的理論。

目前對于微納米梁結構的研究具有較大的進展，存在較多研究成果。主要包括：Li等[7]開展承受軸向張力以及軸向壓縮力作用下非局部納米梁的橫向振動研究，對其固有頻率，穩態響應以及穩定性進行分析研究；Li等[8]基于非局部應變梯度理論，采用廣義微分求解法對軸向功能梯度納米梁進行研究，分析其彎曲、屈曲及振動相關問題；張大鵬等[9]基于非局部黏彈性理論，采用傳遞函數法開展黏彈性地基上歐拉梁的自由振動分析研究；劉燦昌等[10]對考慮非局部效應和軸向非線性伸長下的歐拉納米梁模型進行建立，分析非局部相應對梁模型固有頻率的影響。

波傳播問題是目前一個重點研究問題，國內外眾多學者對其進行了研究并取得了豐碩的成果。Narendar等[11]根據歐拉-伯努利梁理論，結合非局部彈性理論，對梁結構中非局部參數與逃逸頻率之間的關系進行了研究；王碧蓉等[12]基于非局部彈性理論與鐵摩辛科梁理論，對應力梯度和應變梯度修正的梁模型進行研究，證明非局部因子對彎曲波頻散特性有著一定的影響；余陽等[13]基于流體滑移邊界理論，將非局部理論與應變梯度理論結合，建立充流單壁碳納米管結構分析模型，對非局部效應、應變梯度效應以及流體滑移邊界效應進行分析研究；Li等[14]結合非局部彈性理論以及歐拉伯努利梁理論，對磁場條件下的單壁層的碳納米管結構的波傳播特性進行分析研究。

本文基于非局部彈性理論，給出非局部功能梯度鐵摩辛科梁的控制微分方程。結合本文提出的半解析求解方法，建立非局部功能梯度梁的數值分析模型。同時，開展非局部參數以及功能梯度指數對非局部功能梯度梁的自由振動特性以及波傳播特性進行研究，比較分析頻率參數、波傳播頻率以及波傳播速度的變化情況，得出各個參數對非局部功能梯度梁的振動特性以及波傳播特性的影響規律。

1 非局部理論與功能梯度材料

非局部理論是目前微納米結構中應用較為廣泛的一種理論。該理論認為，任意一點的應力不只與該點的應變有關，而是與總體結構的應變狀態迭加之和相關。和傳統的彈性理論理論不同，非局部理論考慮某點對某個作用區域的影響。Eringen[15]將傳統的積分型本構關系轉化為微分型本構關系，可以直接應用于控制方程之中。非局部本構關系方程可以表示為

(1)

式中：E為彈性模量；G為剪切模量；σxx為軸向正應力；σxz為剪應力；εxx為軸向應變；γxz為剪切應變； (e0a)2為非局部參數，e0為材料參數，a為非局部空間大小的材料內部的特征長度，當e0a趨于無窮大時，非局部理論將會近似于晶格理論。

功能梯度材料為兩種或多種材料復合而成，是一種新型的復合材料。對于一維梁結構，定義其體積分數函數V為

(2)

式中：p為功能梯度指數，決定梁結構在厚度方向上的材料變化趨勢；h為梁的厚度。因此，可以定義功能梯度梁結構的彈性模量E(z)，剪切模量G(z)以及體密度ρ(z)為

E(z)=(E1-E2)V+E2,
G(z)=(G1-G2)V+G2,
ρ(z)=(ρ1-ρ2)V+ρ2

(3)

式中， 下標1和2分別為材料1(鋼)和材料2(氧化鋁)的物理參數。

2 模型建立

本文所建立的非局部功能梯度納米梁結構，如圖1所示。圖1中：L為梁的長度；h為梁的厚度；b為梁的寬度。定義梁的軸向方向為x軸方向，厚度方向為z軸方向。

圖1 功能梯度納米梁結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of FGM nanobeam

功能梯度納米梁由鋼(上表面)和氧化鋁(下表面)組成，其材料參數如表1所示。

表1 功能梯度組成材料屬性Tab.1 The material properties of FGM constituents

3 數值模型建立

根據鐵摩辛科梁理論，任意一點的軸向位移u(x,z,t)以及橫向位移w(x,z,t)可以表示為[16]

u(x,z,t)=u0(x,t)+zθ(x,t),
w(x,z,t)=w0(x,t)

(4)

式中：u0(x,t)，w0(x,t)分別為梁結構中性軸上任意一點的軸向位移與橫向位移；θ(x,t)為梁橫截面中性軸上任意一點的旋轉位移。相應的應變可以表示為

(5)

相應的，對軸向力N、剪力Q以及彎矩M進行定義，可以表示為

(6)

根據非局部本構關系，結合式(6)，可以得到非局部廣義力為

(7)

根據哈密爾頓原理，可得鐵摩辛科梁的平衡方程為[17]

(8)

式中，I1，I2，I3為慣性質量，定義為

(9)

根據非局部關系，結合式(8)，可得非局部軸向力N、剪力Q以及彎矩M的表達式為

(10)

式中，Ks為剪切修正系數。將非局部軸向力N，剪力Q以及彎矩M代入式(8)中，可得

(11)

將位移變量量u0(x,t)，w0(x,t)以及旋轉變量θ(x,t)轉化為波動解，具體表示為[18]

u0(x,t)=U0eikxe-iωt,
w0(x,t)=W0eikxe-iωt,
θ0(x,t)=Φ0eikxe-iωt

(12)

式中：U0，W0，Φ0為位移以及轉角幅值變量；k為軸向波數；ω為角速度；t為時間變量。將位移變量以及旋轉變量代入式(11)，得

(13)

式中，各個變量的具體表達式見附錄。為了保證系數存在非零解，其行列式必為零，可以得到關于k的六次多項式方程，為

a6k6+a4k4+a2k2+a0=0

(14)

式中，a0,2,4,6為相應的多項式系數，由式(13)決定。根據多項式方程的特征根，將位移變量以及旋轉變量進行轉化，表示為

(15)

式中，ns為軸向波的個數，具體數值由式(14)決定。將位移變量以及旋轉變量繼續變化，可以得到

(16)

式中，ξi，ηi為位移變量的比例參數，具體可定義為

(17)

式中，ki為式(14)的特征根。根據鐵摩辛科梁理論，對邊界條件進行分析。本文主要考慮簡支、固支以及自由邊界條件，具體定義為[19]：

自由邊界條件

N(x,t)=Q(x,t)=M(x,t)=0

(18)

簡支邊界條件

N(x,t)=w0(x,t)=M(x,t)=0

(19)

固支邊界條件

u0(x,t)=w0(x,t)=θ0(x,t)=0

(20)

將位移變量與旋轉變量進一步轉化，可以表示為

(21)

式中，ui(x)，wi(x)，θi(x)為位移與轉角分量，分別定義為

ui(x)=ξieikix,vi(x)=ηieikix,θi(x)=eikix

(22)

根據非局部軸向力，剪力以及彎矩的表達式，幾何位移變量與旋轉變梁的波動解形式，可以得到

(23)

式中，Ni(x)，Qi(x)，Mi(x)分別為軸向力、剪力以及彎矩分量，具體表示為

(24)

(25)

(26)

根據前文所介紹的位移、旋轉位移分量，對矩陣位移D進行定義，表示為

(27)

進一步，對力矩陣F進行定義，表示為

(28)

根據前文所介紹的邊界條件，結合力矩陣以及位移矩陣的表達式，可以得到非局部功能梯度梁的總體矩陣方程為

[K]{Φ}={F}

(29)

式中：Φ為總體轉角向量；F為外界力向量，與非局部功能梯度梁所受到的外力相關；K為總體矩陣，具體可以表示為

(30)

式中，B1和B2為邊界條件矩陣，由非局部功能梯度梁兩端的具體邊界情況所決定。對于不同的邊界條件，可表述如下：

自由邊界條件

(31)

固支邊界條件

(32)

簡支邊界條件

(33)

為了求解非局部功能梯度梁的自由振動特性，外力源向量F可以忽略。采用二分法對總體矩陣進行在一定頻率范圍內進行零點搜索，得到非局部功能梯度梁的固有頻率。將所計算得到的固有頻率代入到總體矩陣之中，可以得到非局部功能梯度梁振型等相關信息。

為了求解非局部功能梯度梁的波傳播特性，根據控制微分方程，得到關于位移以及轉角幅值變量U0，W0，Φ0的代數方程，具體表示為

(34)

式中，T(k,ω)為非對稱矩陣，具體表達式由式(13)決定，若齊次方程組存在非零解，其系數行列式必為零，因此可以得到非局部功能梯度梁的頻散方程為

detT(k,ω)3×3=0

(35)

通過求解不同波數k對應的波傳播頻率ω，可以得到波傳播頻率隨著軸向波數的頻散曲線，分析其波傳播規律。同時，根據波傳播頻率以及軸線波數，對波傳播速度c進行定義，具體表示為

(36)

4 數值結果與討論

4.1 結果對比驗證

表2 文獻數據對比(p=0.2)Tab.2 The comparison of the results with literature (p=0.2)

表3 文獻數據對比(p=0.5)Tab.3 The comparison of the results with literature (p=0.5)

4.2 非局部參數對固有頻率的影響

為了比較分析非局部參數對非局部功能梯度納米梁自由振動的影響規律，對不同非局部參數下的固有頻率進行計算，對頻率參數進行比較，總結出非局部參數對固有頻率的影響。設置非局部參數(e0a)2變化范圍為0～5×10-12，設置功能梯度指數p的變化范圍為0.2～5.0，設置長厚比變化L/h為20～100。材料組成以及物理參數設置與表2中的算例相同，邊界條件設置為兩端簡支。非局部參數的影響規律，如圖2所示。

圖2 非局部參數的影響規律Fig.2 The effect of nonlocal parameter

通過圖2可知，對比不同的功能梯度指數以及長厚比，隨著非局部參數的變化，非局部功能梯度納米梁的頻率參數呈現衰減的趨勢。因此可以說明，在功能梯度指數一定時，非局部參數的變化對固有頻率具有較為明顯的影響，隨著非局部參數的增大，系統的整體剛度逐漸減小。

4.3 功能梯度指數對固有頻率的影響

為研究功能梯度指數p對非局部功能梯度納米梁自由振動的影響，對不同功能梯度指數對應的固有頻率進行計算，通過比較分析，總結歸納功能梯度指數的影響規律。功能梯度指數p分別設置為0.2，0.5，1.0，5.0和10.0，如圖3所示。

圖3 功能梯度指數的影響規律Fig.3 The effect of power law exponent

從圖3可知，對于不同非局部參數以及長厚比對應的頻率參數而言，隨著功能梯度指數的逐漸增大，頻率參數呈現衰減的趨勢。因此，當非局部參數一定時，功能梯度指數對非局部功能梯度納米梁的固有頻率存在較明顯的影響。

為進一步分析比較分析功能梯度指數對固有頻率的影響，選取功能梯度指數p為0.2和10.0狀態下的前三階陣型圖進行，如圖4所示。同時，展示固支—自由以及自由—簡支邊界條件下的前三階振型圖，如圖5所示。通過比較可知，不同邊界條件對非局部梯度納米梁的振型影響較為明顯。

圖4 簡支邊界條件下的模態圖Fig.4 The mode shapes of the beam with simply supported boundary condition

圖5 不同邊界條件下的振型圖Fig.5 The mode shapes for various boundary conditions

4.4 非局部參數對波數以及波速的影響

根據前文所提到的非局部功能梯度梁的動力學控制微分方程，研究分析非局部參數對其波傳播頻率以及波速的影響效果，其中非局部參數(e0a)2設置為0，1×10-12和2×10-12。不同功能梯度指數條件下，非局部功能梯度梁前三階波傳播頻率的變化曲線，如圖6所示。從圖6可知，當非局部參數取值不同時，功能梯度梁的波傳播頻率變化規律也不同。當非局部參數為零時，即在經典鐵摩辛科梁理論性，波傳播頻率隨著軸向波數的增大而逐漸增大。對于非局部彈性理論而言，在不同功能梯度指數下，當非局部參數分別取不同數值時，波傳播頻率的變化總體一致；對于第一階和第二階傳播頻率而言，波傳播頻率逐漸增大并趨于穩定；對于第三階頻率而言，頻率逐漸減小并趨于穩定。通過比較可以看出，在非局部彈性理論下，隨著非局部參數的增大，波傳播頻率逐漸減小，并伴有相似的變化趨勢。

不同非局部參數下的波傳播速度隨著波數的變化情況，如圖7所示。通過比較可知，當非局部參數為零時，前一階波傳播頻率對應的波速逐漸增大，第二階基本保持穩定，第三階逐漸減小。同時，前三階波傳播頻率對應的波傳播速度隨著軸向波數的增大逐漸趨于穩定。當非局部參數取不同數值時，波傳播速度隨著波數的變化曲線基本類似，第一階波傳播頻率對應的波傳播速度逐漸增大后趨于穩定，第二階、第三階波傳播頻率對應的波速逐漸減小并趨于穩定。同時，隨著非局部參數的增大，波傳播速度逐漸變小。

圖6 非局部參數對于波傳播頻率的影響Fig.6 The effect of nonlocal parameter on the wave frequency

圖7 非局部參數對于波傳播速度的影響Fig.7 The effect of nonlocal parameter on the phase velocity

4.5 功能梯度指數對波數以及波速的影響

本節主要開展功能梯度指數對非局部梯度梁波傳播頻率以及波傳播速度的影響進行分析研究。通過設置不同的功能梯度指數，比較分析不同情況下波傳播頻率以及波傳播速度隨著波數的變化情況，本節所設置的功能梯度指數p分別為0.5，1.0，5.0，10.0。不同功能梯度指數下，波傳播速度隨著軸向波數的變化情況，如圖8所示。從圖8可知，當非局部參數為零時，即經典鐵摩辛科梁理論下，前三階波傳播頻率隨著軸向波數的變化逐漸增大。同時，隨著功能梯度指數的增大，波傳播頻率逐漸減小。當非局部參數(e0a)2分別取值1×10-12，2×10-12，3×10-12時，前三階波傳播頻率隨著軸向波數的變化規律相似。通過比較可以看出，在相同條件下，隨著功能梯度指數的增加，波傳播頻率逐漸減小。

圖8 非局部參數對于波傳播頻率的影響Fig.8 The effect of power law exponent on the wave frequency

不同功能梯度指數下對應的波傳播速度曲線，如圖9所示。通過比較可知，對于經典鐵摩辛科梁理論以及非局部彈性理論而言，前三階波傳播頻率對應的波傳播速度隨著軸向波數的變化規律類似。同時可以發現，在相同的條件下，隨著功能梯度指數的逐漸增大，波傳播速度逐漸減小。

圖9 非局部參數對于波傳播頻率的影響Fig.9 The effect of power law exponent on the phase velocity

5 結 論

基于非局部彈性理論，建立了非局部功能梯度鐵摩辛科梁的控制微分方程。同時，開展了非局部功能梯度梁固有頻率以及波傳播特性研究。通過與現有文獻簡支梁的頻率結果對比，驗證了本文計算方法的正確性。同時，通過比較分析不同非局部參數以及功能梯度指數對非局部功能梯度梁的固有頻率變化情況進行對比，得出相應的結論。最后，開展不同參數對非局部功能梯度梁的波傳播頻率以及波傳播速度的影響規律，比較分析不同情況下波傳播頻率以及波傳播速度隨著軸向波數的變化曲線，得出相應的結論。

(1) 通過選取算例，與現有文獻結果的固有頻率參數進行對比，分析與本文結果的誤差，驗證本文計算方法的正確性，為后續參數化研究奠定基礎。

(2) 比較分析非局部參數以及功能梯度參數對非局部功能梯度梁自由振動特性的影響，可以看出，隨著非局部參數以及功能梯度參數的增大，對應的頻率參數逐漸減小。

(3) 開展非局部功能梯度梁波傳播特性的研究，對非局部參數以及功能梯度參數對波傳播頻率以及波傳播速度的影響，分析變化規律，為后續的研究提供一定的理論基礎。

附錄A

(A.1)

(A.2)

(A.3)

(A.4)

(A.5)