弱冪等Quantale范疇與相關范疇的關系

劉 敏, 杜佳慧

(長安大學 理學院, 西安 710064)

Quantale概念的提出為研究非交換C*-代數提供了新的刻畫格式, 并為量子力學提供了新的數學模型[1-2]. Quantale理論也是理論計算機科學的數學基礎之一, 應用廣泛[3-6].

對不同類型的Quantale結構及其范疇之間關系的研究可促進Quantale理論的應用研究, 有助于研究基于Quantale建立的強化范疇之間的關系[7]. Quantale范疇與可換Quantale范疇、 右側Quantale范疇、 冪等Quantale范疇、 Locale范疇之間的關系是Quantale理論中經典結論, 文獻[8-9]進一步研究了Quantale范疇與左半可換Quantale范疇、 可除Quantale范疇之間的關系. 冪等Quantale是一類重要的Quantale, 如冪等Quantale在C*-代數的研究中具有重要作用[6], 文獻[10-11]將冪等Quantale理論應用到了非交換C*-代數中. 但冪等Quantale條件較苛刻, 許多具有廣泛應用的Quantale結構都不完全滿足冪等性的條件, 如t模中的Lukasiewicz三角模和Goguen(乘積)三角模等. 本文通過引入弱冪等Quantale的概念, 考慮如何刻畫Quantale的最大弱冪等商, 并進一步建立弱冪等Quantale范疇、 冪等Quantale范疇和Quantale范疇之間的關系.

1 預備知識

本文未注明的Quantale的一些基本概念可參見文獻[6,12].

定義1[1,6]設Q是完備格,&是Q上的二元運算, 且滿足：

1) ?a,b,c∈Q, (a&b)&c=a&(b&c);

則稱(Q,&)是Quantale, 簡稱Q是Quantale.

由Quantale的定義知, _&a和a&_是Q上的保并映射, 因此其均有右伴隨, 分別用a→l_和a→r_表示.于是a&c≤b?c≤a→rb?a≤c→lb.

設Q是Quantale,a∈Q, 1為Q中的最大元.若a&a=a, 則稱a是Q的冪等元.若Q中的每個元素都是冪等元, 則稱Q是冪等Quantale.若a&1≤a, 則稱a是Q的右側元.若Q中每個元素都是右側元, 則稱Q是右側Quantale.若1&a≤a, 則稱a是Q的左側元.若Q中每個元素都是左側元, 則稱Q是左側Quantale.若?b∈Q,b&b≤a?b≤a, 則稱a是半素元[6,13].

定義2[6,13]設P和Q是Quantale,f:P→Q是映射, 如果f保任意并和&運算, 則稱f是P和Q之間的Quantale同態; 如……