一個新的涉及高階導函數的半離散Hilbert型不等式

王愛珍, 楊必成

(廣東第二師范學院 數學系, 廣州 510303)

0 引 言

(1)

文獻[2]通過引入參數λi∈(0,2](i=1,2),λ1+λ2=λ∈(0,4], 并應用Euler-Maclaurin求和公式, 建立了式(1)的如下推廣式:

(2)

這里常數因子B(λ1,λ2)是最佳值, 且

為Beta函數.當p=q=2,λ1=λ2=λ/2時, 由式(2)可推導出文獻[3]的一個結果.利用式(2)及Abel部分求和公式, Adiyasuren等[4]給出了核為(m+n)-λ涉及兩個部分和的Hilbert型不等式.不等式(1)及其積分形式在分析學中應用廣泛[5-15].

(3)

文獻[16-20]給出了式(3)的應用.利用實分析技巧, 洪勇等[21]給出了式(1)推廣式中最佳常數因子聯系多參數的一個等價陳述; 其他類似研究結果可參見文獻[22-28].文獻[29]給出了逆向半離散Hilbert型不等式的一些新成果.

本文基于文獻[4,21], 用權函數方法及實分析技巧, 求出一個新的核(x+nα)-(λ+m)的涉及高階導函數的半離散Hilbert型不等式.作為應用, 討論了不等式中最佳常數因子聯系多參數的等價條件及一些特殊不等式.

1 引 理

為方便, 本文設p>1, 1/p+1/q=1,m∈∶={0,1,…},α,λ>0,λ1∈(0,λ),λ2∈(0,1/α]∩(0,λ),

kλ(λi)∶=B(λi,λ-λi) (i=1,2),

(4)

引理1定義權函數:

(5)

則有如下不等式成立:

(6)

(7)

故式(6)成立.證畢.

引理2如下推廣的半離散Hardy-Hilbert不等式成立:

證明: 做變換u=x/nα, 可得如下另一個權函數表達式:

(9)

由H?lder不等式[30], 有

若式(10)中間取等號, 則存在不全為0的常數A,B, 使得

不妨設A≠0, 則存在n∈, 使得

(11)

引理3對于t>0, 如下不等式成立:

(12)

證明: 因為f(k-1)(0+)=0(k=1,2，…,m), 故由部分積分法有

迭代后可求出式(12).證畢.

注1若m=0, 則由于f(0)(x)=f(x), 式(12)取等號.

2 主要結果

定理1如下涉及一個高階導函數的半離散Hilbert型不等式成立:

證明: 因為有

故由L逐項積分定理[31]及式(11), 有如下不等式:

再由式(8)有式(13).證畢.

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