數(shù)字趣談：道生一，一生二

劉瑞祥

1是自然數(shù)的單位。經(jīng)常有人問(wèn)，0是不是自然數(shù)？答案是，你可以認(rèn)為它是，也可以認(rèn)為它不是。按現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)，“自然數(shù)”就是符合“皮亞諾公理”的數(shù)。根據(jù)該公理的表述“要有一個(gè)自然數(shù)，每個(gè)自然數(shù)要有一個(gè)后繼，不同的自然數(shù)的后繼不一樣”，你可以把最開(kāi)始的那個(gè)自然數(shù)定為1或者0，這對(duì)后面的研究沒(méi)有什么影響。如果怕產(chǎn)生歧義，可以進(jìn)行說(shuō)明，例如“本書(shū)（或本文）所講的自然數(shù)，包括（或者不包括）零”。

1看似簡(jiǎn)單，在英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素和懷特海的巨著《數(shù)學(xué)原理》里直到第363頁(yè)才有了一個(gè)關(guān)于1的定義，而1+1（就是小學(xué)算術(shù)里的1+1，不是哥德巴赫猜想）則是在第379頁(yè)才有了答案。即使在數(shù)學(xué)外行能理解的范圍里，1的內(nèi)容也很豐富，比如1是乘法的單位元，即任何數(shù)和1相乘結(jié)果不變。再比如，前文說(shuō)的“后繼”，就是指每個(gè)自然數(shù)后面有唯一的一個(gè)數(shù)，也就是說(shuō)每個(gè)自然數(shù)加上1就得到下一個(gè)自然數(shù)。

在解析幾何里，一次方程是最簡(jiǎn)單的直線或者平面，也叫作線性方程。行列式、矩陣這些更復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念都和一次方程有著密切的聯(lián)系，而微積分的基本思路就是以直代曲。

萬(wàn)丈高樓平地起，再偉大的事業(yè)也要從“一”開(kāi)始，萬(wàn)里長(zhǎng)征是一步步走出來(lái)的，誰(shuí)也不能一口吃成胖子。

有時(shí)候，老師會(huì)對(duì)學(xué)生說(shuō)：“有一就有二，你這次忘寫(xiě)作業(yè)，下次還會(huì)忘。”的確，很多人第一次做了錯(cuò)事后又做了第二次，于是陷入泥潭不能自拔。

在哲學(xué)上，到底應(yīng)該“一分為二”還是“合二為一”是個(gè)問(wèn)題。《易經(jīng)》上說(shuō)“無(wú)極生太極，太極生兩儀”，于是有了萬(wàn)物。

“兩點(diǎn)確定一條直線”是最簡(jiǎn)單的幾何公理。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，公理是指一種約定，或者說(shuō)是對(duì)基本概念的定義。這條公理是說(shuō)，如果有兩個(gè)“東西”，“東西A”能決定另外一種“東西B”，那不妨就把A看作點(diǎn)，把B看作直線。你可以把球隊(duì)看作點(diǎn)，把比賽看作直線，在計(jì)算10支球隊(duì)能打多少場(chǎng)不同比賽的時(shí)候，是不是和計(jì)算10個(gè)點(diǎn)能形成多少直線的方法一樣？

牛頓的力學(xué)體系中，只要談到“力”，一定涉及兩個(gè)物體——施力物體和受力物體。但牛頓力學(xué)只適用于“慣性系”，如果在非慣性系里應(yīng)用牛頓定律，就要加上“慣性力”。這其實(shí)是個(gè)假想出來(lái)的力，只有受力物體沒(méi)有施力物體。愛(ài)因斯坦看到了慣性力和萬(wàn)有引力之間的聯(lián)系，建立了廣義相對(duì)論。

根據(jù)開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律，行星軌道為橢圓，而橢圓有兩個(gè)焦點(diǎn)，其中一個(gè)是太陽(yáng)所在的位置，那么另外一個(gè)焦點(diǎn)有什么特殊之處嗎？直到現(xiàn)在科學(xué)家還沒(méi)有找到規(guī)律。

單獨(dú)的氫原子、氧原子不能穩(wěn)定存在，必須達(dá)到兩個(gè)才行。

單獨(dú)一個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)和距離的平方成反比，電勢(shì)和距離的一次方成反比，二者都是對(duì)電場(chǎng)的完整描述。

“二”在數(shù)學(xué)上的意義“一言難盡”。

眾所周知，曲線的一階導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)著切線斜率，二階導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)著凹凸性。二次方程、二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是走向更高深數(shù)學(xué)的起點(diǎn)，比如二階線性微分方程就和二次方程有著密切的聯(lián)系。

圓錐曲線，即二次曲線，是行星天文學(xué)的基礎(chǔ)。早在古希臘時(shí)期，就有學(xué)者仔細(xì)研究了圓錐曲線，并將其系統(tǒng)化。阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》誕生的時(shí)候還沒(méi)有坐標(biāo)系和完備的數(shù)學(xué)符號(hào)，完全用純文字的方式清晰地?cái)⑹龈鱾€(gè)命題，單憑這一點(diǎn)就讓人佩服。據(jù)說(shuō)古希臘語(yǔ)非常嚴(yán)謹(jǐn)，僅定冠詞就有20多個(gè)。直到笛卡爾建立解析幾何后，《圓錐曲線論》的成就才被超越。數(shù)學(xué)上關(guān)于“二”的最高成就也許是高斯創(chuàng)造的，他在經(jīng)典著作《算術(shù)探索》里仔細(xì)研究了二次同余方程和二次不定方程。

看不懂這兩本深?yuàn)W的學(xué)術(shù)著作也沒(méi)關(guān)系，經(jīng)典本來(lái)就不容易讀懂，但可以從一個(gè)看得懂的問(wèn)題入手了解“二”。例如，將線段、角和圓弧二等分很容易，這些作圖方法用不著平行公理，也就是說(shuō)在任意空間里都能進(jìn)行，而且既然能二等分，自然也可以四等分、八等分乃至十六等分，1/2+1/4+1/8+1/16……的極限是1。或者說(shuō)，我們先對(duì)一個(gè)量取它的一半或更多，然后再取剩余的一半或更多，這個(gè)過(guò)程一直進(jìn)行下去，最后剩余的就會(huì)少于任意事先給定的量。《幾何原本》里用這個(gè)方法證明了圓的面積和半徑平方成正比、棱錐體積是等高棱柱體積的三分之一、球的體積和半徑的三次方成正比，這就是所謂的窮竭法，證明過(guò)程極其美妙。

計(jì)算機(jī)和“二”的緣分頗深，先講一個(gè)比較具體的問(wèn)題。計(jì)算機(jī)繪制曲線的基本工具是“貝塞爾曲線”，其中最簡(jiǎn)單的是二次貝塞爾曲線：給出三個(gè)點(diǎn)，其中兩個(gè)是曲線端點(diǎn)，另外一個(gè)是兩個(gè)端點(diǎn)處切線的交點(diǎn)，就可以用二次參數(shù)方程描述這個(gè)曲線了，計(jì)算起來(lái)非常簡(jiǎn)單。

計(jì)算機(jī)和“二”更緊密的聯(lián)系是計(jì)算機(jī)采取二進(jìn)制。二進(jìn)制“逢二進(jìn)一”，大大簡(jiǎn)化了電路設(shè)計(jì)，由此導(dǎo)致各種存儲(chǔ)器的容量都用2的若干次冪為單位。在計(jì)算機(jī)匯編語(yǔ)言中，一個(gè)單片機(jī)采集256個(gè)數(shù)據(jù)，然后計(jì)算平均值，只需要把這些數(shù)都加起來(lái)然后舍棄最低的字節(jié)（相當(dāng)于除以256并舍棄余數(shù)）就可以了。同時(shí)，我們要注意，計(jì)算機(jī)不但是計(jì)算工具，更是邏輯機(jī)器。經(jīng)典的邏輯是二值邏輯，“是”和“非”不容模糊，邏輯學(xué)中的排中律、矛盾律都與此相關(guān)。

有人說(shuō)二進(jìn)制是偉大的發(fā)明，其實(shí)如果不是誤打誤撞地遇到了計(jì)算機(jī)，二進(jìn)制沒(méi)有什么實(shí)用價(jià)值。也有人說(shuō)，中國(guó)古代的陰陽(yáng)或者八卦就是二進(jìn)制，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有重要貢獻(xiàn)，這是一種誤解。古代的一些算法可能對(duì)數(shù)學(xué)家萊布尼茲產(chǎn)生過(guò)一些啟發(fā)，但陰陽(yáng)也好，八卦也好，都不是形式系統(tǒng)。

1和2是每個(gè)孩子最早接觸的數(shù)字，它們開(kāi)啟了數(shù)學(xué)啟蒙的大門(mén)，也開(kāi)啟了用數(shù)學(xué)構(gòu)建世界的認(rèn)知之旅。1和2像一對(duì)好兄弟，它們既簡(jiǎn)單又復(fù)雜，既淺顯又深邃，“道生一，一生二”，智慧與萬(wàn)物初現(xiàn)，世界由此展開(kāi)……