變截面壓彎橢球柱面反射鏡優化設計

李 桐，王 楠，祝萬錢，任祖洋，金利民，薛 松*

（1.中國科學院上海應用物理研究所,上海 201800；2.中國科學院大學,北京 100049；3.中國科學院上海高等研究院,上海 201800）

1 引言

在同步輻射光束線中，通常采用各種類型的光學組件對同步輻射光進行偏轉、準直、分光和聚焦等，最后傳輸到實驗站中[1]。聚焦鏡作為其中一個關鍵設備，具有光束準直、聚焦、偏轉、抑制高次諧波等功能。同步輻射光束多為掠入射反射模式，為獲得足夠的接收角，需要反射鏡在光線入射方向（即子午方向）具有一定的尺寸，所以反射鏡通常為橫向略窄而軸向較長的長條形[2]。但是鏡子一旦加工成型后，其面形很難改變，只能滿足特定參數要求的線站需求，靈活性不夠[3]。因此需要通過壓彎機構進行反射鏡壓彎，根據不同的使用需求，控制壓彎力或者桿件位移來壓彎不同的面形，從而得到各種面形的反射鏡。不同光束線上壓彎鏡的形狀、作用和尺寸都不一樣，因此壓彎機構也會有較大的差別。

20 世紀 70 年代，基于傳統望遠鏡等光學元件加工方式，以德國蔡司、法國 Winlight、Thales SESO、日本大阪大學及 JETC 公司等為代表的公司逐步開始了同步輻射元件的研制[4]。隨著同步輻射光源的發展，光源的發射度越來越小，對聚焦鏡的光學要求也越來越嚴格。我國在壓彎機構的研究起步較晚，但目前國內科研與工程人員在努力追趕最先進的國際水平（壓彎精度≤0.2 μrad）。上海光源一期建設時，我國自主研發的壓彎機構的壓彎精度可以達到1.5～2.0 μrad 左右[3]，經過多年努力，壓彎機構的壓彎精度可以達到0.5 μrad，甚至更好的水平。在制造精度有限的條件下，橢圓聚焦被認為是同步輻射光束線中理想的聚焦模式[1]，光源點和成像點分別位于橢圓的兩個焦點上，因此理論上壓出近乎完美的橢圓可以減少光束線的傳輸誤差[5]。

反射鏡壓彎是基于梁的彎曲變形理論，通過理論計算，反射鏡的變寬高次曲線可以使橢圓壓彎的理論殘差趨近于零，但是受反射鏡加工難度和成本限制，實際上多采用梯形變寬或多段梯形變寬反射鏡。梯形變寬反射鏡橢圓壓彎必然有無法消除的理論誤差，本文針對特定理想橢圓曲線且存在弧矢半徑槽導致反射鏡慣性矩變化系數與梯形變寬系數不相等的情況下進行梯形反射鏡尺寸設計和模擬驗證，設計要求壓彎理論殘差小于0.1 μrad。

2 反射鏡參數計算及優化設計

2.1 反射鏡面形參數

反射鏡的面形一般由物距p、像距q和掠入射角 θ確定，本次設計的反射鏡面形為橢圓面形[6]，橢圓壓彎聚焦模式如圖1 所示。

圖1 橢圓壓彎聚焦原理圖Fig.1 Schematic diagram of elliptical bending focus

根據橢圓標準方程，結合反射鏡面形參數，可以嚴格推導出理想壓彎橢圓面形方程[7-8]：

在實際的工程計算中，為了便于進行理論計算，通常采用橢圓方程在反射鏡中心處的麥克勞林級數展開式，一般選在二次方之前。而對于最終的面形斜率誤差求解則采用公式（1）中的理想橢圓方程，其麥克勞林級數表達式[7,9-10]為

其中的參數ai為

在同步輻射光學中，光學元件的面形精度通常采用光學表面的斜率誤差進行評價，在本文中定義為壓彎變形曲線與理想橢圓曲線斜率方程差值的均方根。

2.2 梁的彎曲

在同步輻射中，由于反射鏡的長寬比很大，因此反射鏡的壓彎可以簡化成梁的壓彎，如圖2所示。

圖2 壓彎鏡示意圖Fig.2 Schematic diagram of the bending mirror

在材料力學中，梁彎曲的一般方程可以表示為

其中，ρ(x)為反射鏡曲率半徑，E為反射鏡基板材料的楊氏模量，M(x)為彎矩方程，I為柱面鏡截面的慣性矩（I(x)=b(x)t3/12，b和t分別為反射鏡的寬度及厚度）。根據材料力學公式可知，M(x)=，其中L為反射鏡長度。

本次設計反射鏡的主要參數如表1 所示。

表1 反射鏡設計參數Tab.1 Main indicators of the designed mirror

基于變寬度壓彎橢圓柱面微聚焦鏡理論中的公式可得出[9]，反射鏡兩端的寬度分別為49 mm 和90 mm，反射鏡兩端彎矩分別為M1=81.138 2 N·m，M2=91.468 6 N·m。將上述結果帶入所建立的反射鏡模型后進行仿真分析，建立的三維模型如圖3 所示。

圖3 反射鏡模型軸測圖Fig.3 Axonometric view of mirror model

使用有限元方法對反射鏡壓彎進行力學分析，將反射鏡模型進行網格劃分，采用六面體單元，網格尺寸為2 mm，網格劃分如圖4 所示。

圖4 模型網格劃分Fig.4 Meshing results of the mirror model

本次仿真分析中反射鏡的材料屬性如表2所示。

表2 用于仿真分析的材料屬性Tab.2 Properties of the material used in the simulation analysis

將彎矩施加在反射鏡兩端，對反射鏡兩端進行簡支梁約束，仿真得出反射鏡面形，其面形如圖5 所示。

圖5 反射鏡壓彎面形及斜率分析Fig.5 Analysis of the bending surface shape and slope of the mirror

仿真計算出的斜率誤差與原計算公式得出的系統斜率誤差對比如表3 所示。由于本次設計的反射鏡包含弧矢半徑柱面，仿真斜率誤差與系統斜率誤差相差很大，因此，無法忽略弧矢聚焦槽口對斜率誤差的影響，而原公式只對平面反射鏡適用，這就需要重新對公式進行推導計算。

表3 本文計算的與初始公式計算的斜率誤差對比Tab.3 Comparison of the slope errors calculated in this paper with that calculated by the initial formula

2.3 反射鏡優化設計

在材料力學中，可以將變截面慣性矩看作多個簡單截面慣性矩進行計算。本文研究的反射鏡的截面可以簡化成變矩形截面與槽截面的差值，由于槽口截面一定，矩形截面寬度隨反射鏡長度的變化而變化，導致反射鏡截面的形心也在不斷變化，此前慣性矩公式無法準確表述各截面的實際慣性矩。反射鏡截面慣性矩計算示意圖如圖6 所示。

圖6 截面慣性矩示意圖Fig.6 Schematic diagram of the section moment of inertia

根據移軸定理公式計算截面慣性矩，其形心（yc）坐標公式：

其中I1,I2,I3分別為矩形ABCD、扇形OEF、三角形OEF的慣性矩，Iall為截面慣性矩，yi為各部分形心到矩形ABCD中心X軸的距離。

從式（5）、式（6）可以看出，截面慣性矩中的變量為反射鏡的寬度b，大小與反射鏡長度成正比，其余慣性矩皆為常數。通過對該尺寸參數下的截面進行慣性矩計算，得到在反射鏡中間處截面慣性矩為：I0=711 521.571 mm4。由于慣性矩與反射鏡長度成正比，因此可以將慣性矩進行線性表述，計算得其斜率值k′≈?0.5。通過程序對公式進行驗算，計算得出的反射鏡各點處的慣性矩如圖7 所示。

圖7 反射鏡各點處慣性矩Fig.7 Moment of inertia at each point of the mirror

其彎曲方程[7,9-11]可以轉換為

對反射鏡兩端寬度進行求解，公式推導如下所示

在公式（8）中，反射鏡寬度b為關于反射鏡長度的一次函數，因此慣性矩公式可以簡化為

其中b0為反射鏡中心處寬度，k′為慣性矩與反射鏡長度關系的斜率系數。最終計算得出的反射鏡寬度中的斜率k=?0.488 3。代入=b0(1+kx)中即可求得反射鏡兩端寬度分別為49.5 mm 和90.5 mm。

在實際工程應用中反射鏡橢圓聚焦時其面形方程可以通過麥克勞林展開式來進行簡化計算，其一般方程為

對其麥克勞林展開方程進行二次求導，并代入公式(6)中可以得出反射鏡橢圓壓彎時兩端所需彎矩大小，其公式[10]為

反射鏡壓彎斜率誤差RMS 可以通過對反射鏡的曲率方程進行積分化簡計算得出，將其曲率方程化簡為以下方程[8]再進行積分

其中參數c,d,j分別為

由式（13）、式（14）可以計算得出在實際工程中橢圓壓彎反射鏡的斜率表達式

至此，修正后的反射鏡兩端寬度分別為49.5 mm 和90.5 mm，兩端力矩M1，M2分別為79.177 4 N·m，89.252 5 N·m。將修正后的力矩值代入仿真計算中，修正前后斜率誤差RMS 值對比如表4 所示。

表4 修正前后斜率誤差對比Tab.4 Comparison of the slope errors before and after correciton

對比發現，修正后斜率誤差RMS 值得到了數量級上的提升，同時，修正后的斜率誤差RMS 值更接近系統誤差值，可以認為計算值可靠。本次反射鏡需求有效光學尺寸為1 m，可以看出將慣性矩為線性分布代入公式計算出的仿真誤差更貼近系統誤差值。本次修正后的公式基本適用于各類變截面反射鏡的優化設計，最終的修正效果顯著。

3 結論

本文基于橢圓柱面鏡聚焦原理，對反射鏡整體參數進行設計及優化，并根據實際需求，推導了完整的計算、優化流程。在光學參數及反射鏡長度一定時，通過公式計算設計出反射鏡的兩端寬度，同時優化計算出壓彎彎矩大小，采用有限元分析校核了該優化的有效性。在反射鏡有效長度為1 m 的情況下，斜率誤差RMS 值為0.063 6 μrad，與系統斜率誤差RMS 值0.040 7 μrad 更貼近，同時滿足壓彎機構引入誤差<0.1 μrad 的設計需求。該方法不僅針對此類截面有效，針對不同截面的反射鏡依然可以參照此計算思路進行優化設計。