基于關鍵鏈技術的進度管理方法研究

馬 迪，關曉迪，王文進，魏歡歡,3,朱勇鋒

(1.西安交通工程學院土木工程學院，陜西 西安 710300;2.西安理工大學土木建筑工程學院，陜西 西安 710048;3.楊凌職業技術學院建筑工程學院，陜西 咸陽 712100;4.長安大學地質工程與測繪學院，陜西 西安 710048)

關鍵鏈技術是近幾年新提出的進度管理方法，該方法的核心思想主要表現在以下幾個方面：①以50%完工保證率下的工期估計作為初始工期估計;②以關鍵鏈作為整個項目的約束路徑，而不是關鍵路線;③在各鏈路末端設置緩沖區消除不確定因素的影響;④在項目執行過程中，用監控緩沖區消耗情況的方式對項目整體進行管控。對于關鍵鏈技術的研究重點集中在如何科學合理的計算緩沖區的大小，因此緩沖區計算方法成為近年來關鍵鏈相關問題研究的熱點內容，對于這方面的研究也取得了豐富的成果。

1997年，Goldratt[1]在《關鍵鏈》一書中不僅提出了關鍵鏈的概念，還提出了一種計算緩沖大小的方法：剪切-粘貼法。1998年，Herroelen等[2]第一次用根方差法來計算緩沖大小，該方法是在剪切-粘貼法的基礎上，運用中心極限定理將被切掉時間的根方差作為緩沖大小，即根方差法。2002年，Steyn[3]提出項目總工期服從正態分布，且其均值和方差分別等于關鍵鏈上各個工序的均值和方差之和的觀點，并且得出在均值上加入緩沖可以提高完工率的結論。2005年，Cohen等[4]將使用能力約束資源的活動的總時間的一半作為能力約束緩沖。2006年，Tukel等[5]提出了資源緊張度求解和網絡復雜度求解緩沖區的方法。劉士新等[6]設計了一種考慮工序在資源受限情況下的自由時間的啟發式算法，用該方法識別出關鍵鏈后，利用根方差法計算緩沖區的大小。2008年，Tenera[7]提出可以采用估計最后一項工序延期的風險來確定項目活動時間，該方法被稱為SMC法。褚春超[8]提出了1種考慮資源緊張度、網絡復雜度、管理者風險偏好水平的計算緩沖的新方法。Long等[9]引入梯形模糊數來估計項目的不確定性，運用90%完工概率下的時間估計與期望工期的差值作為工序的安全時間。馬力等[10]在自由時差方法的基礎上考慮到項目中不同活動的資源利用程度不同，設計了1種設定緩沖大小的新方法;Liu等[11]提出了多資源受限問題的啟發式算法，在現有啟發式算法的基礎上作了優化。2009年，楊立熙等[12]提出了開工柔韌性的概念，他認為開工柔韌性小的工序消除級聯效應的能力較弱，因此可以在其上適當增加緩沖。2010年，Zhao等[13]運用遺傳算法識別關鍵鏈，然后用編程方法計算緩沖。2012年，施騫等[14]引入模糊方法度量項目的資源緊張程度，將其與網絡復雜度、風險偏好系數相結合來計算緩沖。2013年，張延祿等[15]根據項目復雜性的界定問題，歸納總結出復雜性的基本類型。李俊亭等[16]提出優化關鍵鏈多項目進度計劃的數學模型和啟發式算法的調度模型，采用逆向拓撲排序方式進行調度。2014年，Zhang等[17]提出了基于屬性優化的緩沖計算方法。Leach[18]提出了可以參考排隊論來設置能力約束緩沖。高亮等[19]嘗試將帕累托法則應用于緩沖估計，從緩沖公式設置的層面對已有緩沖估計方法進行修正。2017年，張俊光等[20]提出了基于熵權法的項目緩沖計算模型。2019年，葉宇鴻[21]通過引入Z-number模糊數，運用高延期風險性活動的不確定性對緩沖區計算方法進行了改進。2020年，陳誠[22]綜合考慮活動相關性、資源緊張度、網絡密度和風險偏好因素，提出了一種新的緩沖計算方法。夏斌[23]對根方差法中緩沖區計算進行了改進，將安全時間的方差、位置權數和風險系數用于根方差法的計算。上述研究成果均有益地推進了緩沖區設置方法的相關研究。

值得注意的是，上述關于緩沖區計算方法的研究主要集中在剪切-粘貼法和根方差法以及對該兩種方法的改進上。剪切-粘貼法的優點是易于計算，簡潔明了。缺點是緩沖區的大小根據工序數目和工序持續時間的增加而增大，符合線性增長規律。這導致工序足夠少時，所估計的緩沖區過小;而工序數量增多時，其估計的緩沖區又過大。而根方差法的優點是符合中心極限定理，在一些工序較多的項目中確定緩沖區的大小相比于剪切-粘貼法更加合理，且符合非確定執行時間累加的統計規律，因此可以盡可能避免緩沖區的尺寸過大或過小。缺點是根方差法使用的前提條件是各工序持續時間相互獨立，這在實際工程中很難實現，因此得出的結果會存在一定的誤差。本文基于上述研究，引入了信息熵理論，用信息熵來衡量影響緩沖大小的因素，建立了可以綜合考慮整體復雜熵、單一復雜熵、施工難度熵、資源約束熵、決策者偏好因素的緩沖區設置模型，并結合根方差法對緩沖區計算公式進行改進，使緩沖區的計算更加科學合理。

1 基于信息熵的緩沖區影響因素度量方法

1.1 信息熵的引入

熵(Entropy)[24]是人們定義的一個熱力學參數，作為體系混亂度的量度。本文用信息熵來度量工期壓縮后產生的諸多不確定性因素，并在此基礎上與根方差法有效結合設置緩沖區，實現進度優化管理。

1.2 緩沖區影響因素的度量

在實際工程中，影響工序工期的因素有很多，本文主要考慮了4種最具代表性的因素：網絡復雜度、施工難度、資源約束情況和決策者偏好因素。

a)網絡復雜度分為整體復雜度(C)[25]和各工序單一復雜度(ci)，整體復雜度反映的是各網絡計劃活動之間的緊前與緊后約束關系的復雜程度。各工序單一復雜度ci為網絡計劃中工序i的復雜程度[23]。由于系統的復雜性、規模與熵值成正比，因此，C和ci可分別用整體復雜熵(Hf)和單一復雜熵(Hfi)來度量，整體復雜熵和單一復雜熵越大，表明工程項目和工序受不確定因素的影響越大，工程延期的可能性越大。整體復雜度C和各工序單一復雜度ci的公式為：

(1)

(2)

式中Kj——節點j的緊前工序數;Sj——節點j的緊后工序數;N——項目網絡計劃中的節點數;A——與其對應的工序數;Li——工序i的緊前工序數;Lt——工序i所在鏈路的工序總數。

將C和ci代入信息熵公式，得到整體復雜熵Hf和單一復雜熵Hfi的表達式為：

Hf=-ClnC

(3)

Hfi=-cilnci

(4)

b)施工難度。在項目施工的過程中，工序難度越大，其不確定程度就會越高，完工概率就會越低。由于系統施工難度可用信息熵度量，施工難度越大，熵值越大，因此，施工難度可用施工難度熵Hai來表示，本文通過專家評估的方式可以得出表1中各個工序的施工難度系數ε值，其中施工難度熵的計算公式為：

Hai=-εilnεi

(5)

表1 施工難度系數

c)資源約束情況可以通過資源緊張度來度量，資源緊張度可以側面反映項目的混亂程度，因此，資源緊張度αi可用資源約束熵Hbi度量，資源約束熵越大，工序受資源約束的影響就越大，項目延期的風險相應越大。資源緊張度與資源約束熵的計算公式為：

(6)

Hbi=-αilnαi

(7)

式中Rt——項目在t時段資源供應限量;rkt——t時段執行工序k所需的資源量;m——t時段執行的工序總數;STi——工序i的開始時間;Di——工序i的工期;αi——工序i的資源緊張程度。

d)由于人的行為心理學因素(學生綜合癥、帕金森定律等)的存在，決策者偏好因素對項目進度的影響很大，主要表現為拖延至最后一刻再完工、估計工序工期時預留大量的冗余時間、工作提前完工不匯報等。

本文用決策者偏好指數λi對決策者偏好因素進行度量，為了更好地度量決策者偏好指數，筆者總結概括了6種最具代表性的影響因素(施工難度、工序相對位置、不確定系數、風險水平、工序復雜度、工序持續時間比例)，并給出了具體的計算方法。

a)施工難度。在工程施工過程中，其施工難度越大，相應所需工期越長，完工概率越低。通過專家評估的方式可以得出各個工序的施工難度系數，施工難度系數見表1。

b)工序相對位置。在工程施工過程中，工序的相對位置會對工序工期造成影響。對于任一工序i，工序位置可以用工序i時間中點距離開始節點的最長距離Li和工序i所在鏈路總工期最大值Ti的比值來表示，由于工序距離開始節點越近或離終止節點越遠時，對工序工期的影響越大，因此工序相對位置ωi的計算公式為：

(8)

c)不確定系數。計劃評審技術中的三時估計值是專家和技術人員通過以往經驗對工序工期樂觀、悲觀、最可能時間的相應把控，可以用來表示工序的不確定性。因此，工序的不確定系數K可用最可能時間m與樂觀時間a的差和悲觀時間b與樂觀時間a的差的比值來表示，見式(9)：

(9)

d)風險水平。實際工程中，項目管理者可能根據各種外在條件的不同采取不同的風險水平進行管理。若選取風險偏好水平為ρ，則保證率為1-ρ時所對應的標準差倍數fg，可得該風險水平下工序工期的調整系數ψi表達式為：

(10)

e)各工序單一復雜度。Oya等[26]提出了鏈路復雜度的思想，即各工序的復雜度可以用其所在鏈路的復雜度來表示。因此，本文主要應用各工序單一復雜度ci來衡量其對工期的影響，見式(2)。

f)工序持續時間比例。在實際工程中，各工序持續時間越長，其面臨風險的可能性越大。因此本文采用工序工期ti與所在鏈路總工期最大值Ti的比值來表示該工序持續時間對總工期可能造成的影響。則工序持續時間比例計算公式為：

(11)

因此，計算決策者偏好指數λi分為以下3個步驟：首先利用層次分析法計算各因素的權重向量wi，然后逐一計算工序工期的6個影響因素指標值，最后運用式(13)逐個計算決策者偏好指數：

λi=w1·εi+w2·ωi+w3·ki+w4·ψi+

w5·ci+w6·χi

(12)

2 緩沖區設置的熵模型

2.1 基于模糊理論的安全時間估算

Kaufman等[27]提出了一致性指數(AI)的概念，它是衡量兩個模糊事件一致性的指標。對于模糊事件A、B，其一致性為模糊事件A相對于模糊事件B的一致程度，一致性指數AI(A,B)可以用A、B的面積來表示，其計算公式為：

(13)

在此基礎上，可以轉化為基于三角模糊數的一致性表達式[28]：

(14)

(15)

式中h——工序工期的一致性真度。

在傳統緩沖區設置方法中，剪切-粘貼法與根方差法中采用工序持續時間的一半作為安全時間，這顯然不符合工程實際。本文將安全時間進行改進，采用真度為90%的項目工期與新定義的模糊工期的差值作為工序的安全時間，見式(16)：

(16)

工序i的模糊工期計算公式為：

(17)

2.2 緩沖區模型的建立

通過對緩沖區影響因素的度量，可以得出整體復雜熵Hf、單一復雜熵Hfi、施工難度熵Hai、資源約束熵Hbi和決策者偏好因素λi的計算方法?；诖?，運用根方差法可以構建出新的緩沖區設置模型，新的項目緩沖計算方法為：

(18)

式中 PB——初始項目緩沖；n——關鍵鏈上的工序數。

同理，匯入緩沖計算方法為：

(19)

式中 FBn——第n條非關鍵鏈的匯入緩沖；Hfj——第n條非關鍵鏈上工序j的單一復雜熵；Haj——施工難度熵；Hbj——資源約束熵；λj——決策者偏好因素；σj——工序j的安全時間。

2.3 緩沖區的修正

新構建的項目緩沖和匯入緩沖設置模型較原始根方差法所得模型有了很大的改進，但是仍可能存在以下情況：非關鍵鏈加入匯入緩沖后大于關鍵鏈，導致關鍵鏈發生改變;關鍵鏈上活動不能連續執行等。為了保證關鍵鏈不會發生轉變且關鍵鏈上的工序可以正常進行，可以通過比較各條非關鍵鏈所設置的匯入緩沖與該非關鍵鏈上最后一個工序的自由時差的大小，取較小者作為最終設置的匯入緩沖的大小。

首先用Fh表示第n條非關鍵鏈上最后一項工序h的自由時差。

(20)

式中Bj——第n條非關鍵鏈上最后一項工序h的所有緊后工序的集合;ESj——工序j的最早開始時間;EFh——工序h的最早完成時間。

取匯入緩沖和該非關鍵鏈上最后一個工序的自由時差的最小值作為最終匯入緩沖，見式(21)[29]：

(21)

然后計算第n條非關鍵鏈的冗余緩沖：

(22)

若自由時差小于匯入緩沖，則匯入緩沖與自由時差之差將不被計入最終的匯入緩沖，修正后的匯入緩沖較本該設置的匯入緩沖偏小，可能出現總工期延誤的情況。因此將冗余緩沖Δtn整合到項目緩沖之中，吸收可能出現的風險(圖1)。

圖1 修正后項目緩沖示意

修正后的項目緩沖PB′為：

(23)

3 算例分析

選取江西省某一高層商業建筑的工程實例，本商業建筑地下1層，地上32層，裙房2層。其計劃開工時間為2018年7月1日，計劃完成時間為2019年12月18日，總施工日歷天數為536 d。因其處于較繁華地段，且地下結構復雜，工程施工跨越冬季施工階段，最終該項目于2019年12月30日竣工，工期延后12 d。其中項目的進度計劃雙代號網絡見圖2，通過與新定義的模糊工期相結合，可得到該工程的關鍵路線P1-P2-P6-P7-P8-P9-P11-P13-P20-P21-P22-P23-P24，見圖3。在關鍵路線的基礎上消除資源約束，就可以得到關鍵鏈P1-P3-P5-P8-P9-P11-P13-P20-P21-P22-P23-P24，相應的關鍵鏈網絡見圖4。

圖2 初始項目進度計劃雙代號網絡

圖3 與模糊工期相結合的雙代號網絡

圖4 基于模糊工期的關鍵鏈

a)基于信息熵的各緩沖區影響因素度量結果分別如下。

整體復雜熵(Hf)：N=23，A=24，C=0.020 9，Hf=0.080 8。

單一復雜熵(Hfi)：由圖4可知，共有6條非關鍵鏈，分別為：P2-P4，P2-P6-P7，P10，P10-P12，P16-P17-P18，P10-P12-P14-P15-P19。對于每一條非關鍵鏈上的工序，其單一復雜熵計算結果分別為：非關鍵鏈P2-P4中Hf2=0，Hf4=0.346 6;非關鍵鏈P2-P6-P7中Hf2=0，Hf6=0.366 2，Hf7=0.270 3;非關鍵鏈P10中Hf10=0;非關鍵鏈P10-P12中Hf10=0，Hf12=0.346 6;非關鍵鏈P16-P17-P18中Hf16=0，Hf17=0.306 5，Hf18=0.178 5;非關鍵鏈P10-P12-P14-P15-P19中Hf10=0，Hf12=0.321 9，Hf14=0.366 5，Hf15=0.306 5，Hf19=0.178 5。

經計算，得到施工難度熵Hai、資源約束熵Hbi、決策者偏好指數λi和安全時間σi見表2。

表2 施工難度熵、資源約束熵、決策者偏好指數和安全時間

b)緩沖區的計算。將項目緩沖PB設置在關鍵鏈上最后一個工序P24的后邊，項目緩沖PB的計算結果如下：

=12 d

(24)

匯入緩沖需要設置在非關鍵鏈匯入關鍵鏈處。工程共有6個非關鍵鏈，因此需要設置6個匯入緩沖。根據分析需分別設置在工序P4、P7、P10、P12、P18、P19的后邊。

對于非關鍵鏈P2-P4，在P4后邊設置匯入緩沖FB4：

(25)

對于非關鍵鏈P2-P6-P7，在P7后邊設置匯入緩沖FB7：

(26)

對于非關鍵鏈P10，在P10后邊設置匯入緩沖FB10：

(27)

對于非關鍵鏈P10-P12，在P12后邊設置匯入緩沖FB12：

(28)

對于非關鍵鏈P16-P17-P18，在P18后邊設置匯入緩沖FB18：

(29)

對于非關鍵鏈P10-P12-P14-P15-P19，在P19后邊設置匯入緩沖FB19：

FB19=

(30)

由于匯入緩沖均小于各非關鍵鏈上最后一項工序的自由時差，因此項目緩沖保持不變。該工程的關鍵鏈長度為496 d，項目緩沖為12 d，則總工期為508 d。原計劃總工期為536 d，且實際施工后工期延誤12 d，因此使用傳統方法的總工期為548 d，本文方法較傳統方法提前了40 d，并且在傳統方法的基礎上消除了資源約束問題，更加科學合理。

4 結論

項目執行過程中可能出現的諸多不確定性因素和潛在風險是關鍵鏈緩沖區設置不合理的主要原因，本文建立了一種基于模糊理論的緩沖區設置模型，并將此模型應用于具體實際算例中，通過算例得出，本文提出的改進的關鍵鏈技術使總工期縮減了40 d，并且消除了工程實施過程中的資源約束，較傳統進度管理方法更優。