基于AEKF濾波與H∞濾波的鋰離子電池SOC聯(lián)合估計(jì)

王雨妍，李翔晟，陳志峰，歐陽(yáng)立芳，蔣宇陽(yáng)

(中南林業(yè)科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙 410004)

電動(dòng)汽車的普及，使得電動(dòng)汽車動(dòng)力電池性能的重要性逐漸顯現(xiàn)，其中電池荷電狀態(tài)(State of Charge，SOC)的估計(jì)是衡量電動(dòng)汽車電池性能的關(guān)鍵技術(shù)之一。動(dòng)力電池結(jié)構(gòu)復(fù)雜、反應(yīng)繁多，而且車載工況惡劣、多變，作為隱形狀態(tài)的SOC的精確值很難得到。當(dāng)前國(guó)內(nèi)外提出的SOC估計(jì)方法主要有四大類：基于表征參數(shù)的方法、安時(shí)積分法、基于模型的方法和基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法[1]。

其中，基于模型的估計(jì)方法主要是通過(guò)對(duì)電池實(shí)時(shí)參數(shù)的測(cè)量，使用等效電路模型的負(fù)載電流和端電壓作為輸入來(lái)對(duì)電池的SOC進(jìn)行估算。在汽車動(dòng)力電池SOC估計(jì)中最常用的算法是卡爾曼濾波(Kalman Filter，KF)類算法，該算法主要是將模型的參數(shù)誤差看成噪聲，同時(shí)將預(yù)估計(jì)量作為空間狀態(tài)變量，使用遞推法過(guò)濾噪聲干擾，得到準(zhǔn)確的空間狀態(tài)值，但該方法僅對(duì)線性系統(tǒng)適用。HU C 等[2]、XIONG R 等[3]提出了擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter，EKF)方法，該方法將非線性函數(shù)按照泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，取一次項(xiàng)進(jìn)行卡爾曼濾波，其缺點(diǎn)是對(duì)具有較強(qiáng)非線性的系統(tǒng)誤差較大。PARTOVIBAKHSH M 等[4]、XIONG R 等[5]利用AEKF 和遞推最小二乘法(Recursive Least Square，RLS)估計(jì)開(kāi)路電壓(Open Circuit Voltage，OCV)，利用實(shí)驗(yàn)建立OCV-SOC 對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)SOC估計(jì)，結(jié)果表明，該方法雖然有一定的準(zhǔn)確性和可靠性，但其估算精度會(huì)受電池工況或電池老化等因素的影響而降低。馬建等[6]利用基于遺忘因子的遞推最小二乘法(Recursive Least Square Method of Forgetting Factor，F(xiàn)FRLS)進(jìn)行等效電池模型參數(shù)識(shí)別，采用容積卡爾曼濾波對(duì)動(dòng)力電池進(jìn)行SOC估計(jì)，結(jié)果表明，該方法雖然有較好的估計(jì)精度，但對(duì)噪聲較敏感。

為了提高鋰離子電池荷電狀態(tài)的估計(jì)精度，本文選用二階電阻-電容(R-C)模型來(lái)模擬電池運(yùn)行情況，將帶有可變遺忘因子的遞推最小二乘法(VFFRLS)與開(kāi)窗理論相結(jié)合，對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，采用自適應(yīng)擴(kuò)展卡爾曼濾波(AEKF)算法及H∞濾波算法對(duì)鋰離子電池的SOC分別進(jìn)行估計(jì)，根據(jù)估計(jì)精度，將兩種濾波算法相結(jié)合。結(jié)合粒子濾波權(quán)重分配計(jì)算的思想，根據(jù)歷史信息及當(dāng)前的新息，根據(jù)重要性選擇合適的權(quán)值進(jìn)行分配，充分利用每個(gè)時(shí)刻的新息，以此提高電池SOC估計(jì)的準(zhǔn)確性。

1 SOC 定義

電池SOC反映電池的剩余容量。SOC的標(biāo)準(zhǔn)預(yù)測(cè)方法是安時(shí)測(cè)量法，即通過(guò)計(jì)算一段時(shí)間內(nèi)電池負(fù)載電流，再由初始電池SOC計(jì)算得到當(dāng)前時(shí)刻SOC的一種方法。放電時(shí)SOC計(jì)算公式如下：

式中：ic為放電電流；QN為電池額定容量。

將式(1)表示成離散的形式：

式中：SOC(k)為第k個(gè)采樣點(diǎn)的電池SOC；Δt為采樣點(diǎn)k與k+1的時(shí)間間隔。

2 電池建模與參數(shù)辨識(shí)

2.1 電池建模

電動(dòng)汽車在行駛過(guò)程中，電池內(nèi)部時(shí)刻發(fā)生動(dòng)態(tài)變化，因此精確的電池模型是描述鋰離子電池動(dòng)態(tài)特性的基礎(chǔ)。由于電池本身為非線性系統(tǒng)，利用戴維南模型雖然可以建立表征電池充放電特性的電路模型，但是不能完全等效。因此，綜合考慮模型誤差和計(jì)算復(fù)雜度，本文在戴維南模型等效電路的基礎(chǔ)上再添加1 個(gè)電阻-電容(R-C)回路，將電池模型表示為由1 個(gè)歐姆內(nèi)阻與2 個(gè)R-C 回路組成的二階R-C 回路結(jié)構(gòu)[7]。該二階模型與戴維南模型相比，具有更高的動(dòng)態(tài)性能，可以分開(kāi)等效電池極化問(wèn)題中的電化學(xué)極化和濃差極化現(xiàn)象，精度更高[6,8]，原理如圖1 所示。

圖1 二階R-C 等效電路模型

圖1 中：Uoc為電池的開(kāi)路電壓；U(t)為電池的端電壓；I(t)為電池充放電電流；R0為電池內(nèi)阻，R1和R2為極化內(nèi)阻；C1和C2為極化電容。U(t)和I(t)是可以通過(guò)傳感器直接測(cè)量得到的觀測(cè)量，該電路模型參數(shù)的具體關(guān)系為：

式中：U1和U2分別為2 個(gè)R-C 回路的電壓。具體狀態(tài)方程和測(cè)量方程獲取可參見(jiàn)文獻(xiàn)[7]。

2.2 OCV-SOC 曲線的確定

在二階RC 等效模型中，開(kāi)路電壓能很好地跟蹤鋰離子電池的荷電狀態(tài)，通過(guò)OCV-SOC 曲線可以得到荷電狀態(tài)與開(kāi)路電壓之間的關(guān)系。該關(guān)系可通過(guò)充放電實(shí)驗(yàn)獲得。具體步驟為：

(1)保持25 ℃的環(huán)境溫度，使電池以0.2C的電流脈沖連續(xù)放電或者充電；

(2)每當(dāng)充入或放出10%的SOC時(shí)，靜置10 min；

(3)循環(huán)過(guò)程(2)，直至電壓達(dá)到充放電截止電壓；

(4)取充電靜置時(shí)間段和放電靜置時(shí)間段的端電壓，根據(jù)這些時(shí)刻的SOC確定數(shù)值。

為了使多項(xiàng)式擬合更加準(zhǔn)確，利用Matlab 中的cftool曲線擬合工具箱對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合。為保證OCV-SOC 曲線擬合精度，避免因?yàn)榍€計(jì)算誤差導(dǎo)致SOC預(yù)測(cè)精度的降低，參考圖2可知，該曲線的多項(xiàng)式擬合階次選為8次較為合適。

圖2 OCV-SOC 多項(xiàng)式擬合曲線

2.3 參數(shù)辨識(shí)

鋰離子電池等效模型的參數(shù)辨識(shí)主要包括以下幾個(gè)部分：開(kāi)路電壓Uoc，歐姆內(nèi)阻R0,極化內(nèi)阻R1、R2和極化電容C1、C2。辨識(shí)的步驟分為，將鋰離子電池SOC從100%到0%均分為10 等份，對(duì)鋰電池進(jìn)行混合脈沖功率性能(Hybrid Pulse Power Characterization，HPPC)實(shí)驗(yàn)，獲得鋰電池的電壓、電流變化曲線，HPPC 曲線如圖3 所示。將其中一次循環(huán)曲線圖放大，如圖4 所示。

圖3 HPPC 循環(huán)工況實(shí)驗(yàn)電壓、電流曲線

圖4 HPPC循環(huán)工況局部電流、電壓放大圖

得到OCV-SOC 關(guān)系后，采用遞推最小二乘法(RLS)對(duì)所建立的電池等效模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。由圖4(a)和(b)可知，歐姆電阻R0可由本次放電實(shí)驗(yàn)階段和相鄰上一次脈沖放電實(shí)驗(yàn)階段的歐姆內(nèi)阻計(jì)算結(jié)果的平均值得到。

在電池工作時(shí)，其內(nèi)部的化學(xué)反應(yīng)非常劇烈，并且受充放電倍率、溫度等因素的影響，因此為了提高RLS 算法的自適應(yīng)性，本文采用帶可變遺忘因子的遞推最小二乘法(VFFRLS)實(shí)現(xiàn)參數(shù)在線辨識(shí)。VFFRLS 算法是在RLS 算法的基礎(chǔ)上，根據(jù)參數(shù)辨識(shí)過(guò)程中的估計(jì)誤差ek的大小，自適應(yīng)尋找遺忘因子最優(yōu)值的改進(jìn)算法[9]。

可變遺忘因子的數(shù)值會(huì)隨著當(dāng)前算法的估計(jì)誤差以指數(shù)形式自適應(yīng)地發(fā)生變化，為解決這一問(wèn)題，利用數(shù)據(jù)開(kāi)窗理論，遺忘因子的值由當(dāng)前時(shí)刻采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)的估計(jì)誤差均方值決定，從而提高算法的穩(wěn)定性。另外，為避免由于估計(jì)誤差的數(shù)值很小或者為0 導(dǎo)致遺忘因子的數(shù)值等于其最大值1這一情況，可在公式中使用某一小于1 的常數(shù)λmax替代。

利用這種可變遺忘因子方法，可以將遺忘因子的數(shù)值控制為一段時(shí)間內(nèi)估計(jì)誤差的均方值大小，并以指數(shù)形式在最大值和最小值之間自動(dòng)尋找最優(yōu)值。

在VFFRLS 中，只要將模型參數(shù)和系統(tǒng)輸入量帶入系統(tǒng)方程能夠滿足電池模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式，歐姆內(nèi)阻R0、極化內(nèi)阻R1和R2、極化電容C1和C2這幾個(gè)參數(shù)就可以通過(guò)反解得到。具體辨識(shí)步驟如圖5 所示。

圖5 參數(shù)辨識(shí)結(jié)構(gòu)圖

3 估計(jì)SOC

3.1 基于AEKF 算法的電池SOC 估計(jì)

由于電池是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，在參數(shù)控制方面較為復(fù)雜，在推導(dǎo)相應(yīng)連續(xù)時(shí)間函數(shù)上存在一定困難，此外，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)時(shí)，所有的外部參數(shù)均需要通過(guò)傳感器采集，需要一定的采樣周期，綜上所述，離散的時(shí)間系統(tǒng)更加符合需求。

在離散系統(tǒng)中，可以將每個(gè)采樣周期對(duì)應(yīng)一個(gè)狀態(tài)，而狀態(tài)的變化可以理解為當(dāng)前狀態(tài)和下一狀態(tài)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，具體表達(dá)為：

因?yàn)樵趯?shí)際的電池模型中必須考慮噪聲的影響，因此需要引入噪聲的概念，在式(4)和式(5)中，ωk和vk是互不相關(guān)的高斯白噪聲，在狀態(tài)方程中的噪聲一般為電流測(cè)量噪聲，在輸出方程中的噪聲為電壓測(cè)量噪聲。

根據(jù)電池等效電路模型，系統(tǒng)的三個(gè)狀態(tài)變量分別是SOC和電容上的兩個(gè)端電壓，輸入為電流，系統(tǒng)的觀測(cè)變量為電池端電壓，可得模型的狀態(tài)和觀測(cè)方程：

式中：ωk和vk為互不相關(guān)的高斯白噪聲；η為庫(kù)侖效率；T為采樣周期；τ1和τ2為模型并聯(lián)電路的時(shí)間常數(shù)，其中τ1=R1C1，τ2=R2C2；It(k)為k時(shí)刻的輸入電流；e為常數(shù)。

AEKF 算法采用自適應(yīng)協(xié)方差匹配算法來(lái)對(duì)噪聲的協(xié)方差矩陣進(jìn)行自適應(yīng)更新，具體流程如圖6 所示。

圖6 AEKF算法結(jié)構(gòu)圖

3.2 基于H∞算法的電池SOC 估計(jì)

與卡爾曼濾波不同，H∞算法能夠處理存在建模誤差的系統(tǒng)，同時(shí)允許在不確定的噪聲環(huán)境下進(jìn)行參數(shù)控制。

針對(duì)離散狀態(tài)空間方程，H∞濾波首先需要定義估計(jì)矩陣Lk在系統(tǒng)xk中真正想要估計(jì)的對(duì)象zk,即：

H∞定義如下所示的代價(jià)函數(shù)J。在N-1 時(shí)刻，在判斷估計(jì)對(duì)象的精度時(shí)，令代價(jià)函數(shù)J滿足：

式中：x0和分別為初始狀態(tài)量和初始狀態(tài)量的設(shè)定值；P0為協(xié)方差矩陣的初始誤差；Qk為狀態(tài)噪聲的協(xié)方差矩陣；Rk為測(cè)量噪聲的協(xié)方差。

H∞濾波的目的是使分母最小化。由于直接最小化代價(jià)函數(shù)J比較困難，因此需要設(shè)置一個(gè)合適的邊界條件θ使之滿足：

將式(9)帶入式(10)得：

3.3 基于AEKF和H∞算法聯(lián)合估計(jì)進(jìn)行權(quán)值分配計(jì)算

設(shè)計(jì)一種能夠兼具AEKF 算法和H∞濾波算法優(yōu)點(diǎn)的方法，即AEKF 和H∞聯(lián)合估計(jì)算法。為了實(shí)現(xiàn)聯(lián)合估計(jì)算法，對(duì)兩種算法進(jìn)行權(quán)值分配。

權(quán)值的分配計(jì)算是該算法的重要組成部分。不同時(shí)刻的新息權(quán)值會(huì)直接影響SOC估計(jì)的準(zhǔn)確性。參考粒子濾波算法的權(quán)值計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，最接近觀測(cè)值的粒子權(quán)值較高，而距離最近觀測(cè)值較遠(yuǎn)的權(quán)值較低。因此可以將新息作為粒子來(lái)考慮，并且采用高斯函數(shù)計(jì)算每個(gè)新息的權(quán)值[10]。權(quán)重α(k-j+1)的計(jì)算方程如下：

式中：j=1,2,…,p；M(k-j+1)為M(p,k)中j時(shí)刻的新息；α(k-j+1)為j時(shí)刻新息的權(quán)重；σ2為噪聲方差。

為得到每個(gè)新息的權(quán)重，標(biāo)準(zhǔn)化j時(shí)刻新息的權(quán)重值α(k-j+1)：

假設(shè)所有新息的權(quán)重之和為新息的長(zhǎng)度p，則新息權(quán)重可以寫為：

聯(lián)合算法流程如圖7 所示。

圖7 聯(lián)合估計(jì)算法結(jié)構(gòu)圖

綜上所述，算法輸入為采樣周期內(nèi)任意時(shí)刻的負(fù)載電流和端電壓，OCV-SOC 關(guān)系，電池模型參數(shù)；算法輸出為對(duì)應(yīng)k時(shí)刻的SOC估計(jì)值。基于AEKF 和H∞算法聯(lián)合估計(jì)算法的偽代碼歸納如下：

（1）初始化各項(xiàng)參數(shù)；

（2）k=1 判斷循環(huán)首(k＜循環(huán)次數(shù))；

（3）分別更新k-1 時(shí)刻的預(yù)測(cè)狀態(tài)矩陣X、預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣P、增益矩陣H；

（4）標(biāo)準(zhǔn)化各項(xiàng)參數(shù)；

（5）計(jì)算得到k時(shí)刻的權(quán)重分配以及加權(quán)新息向量；

（6）將系統(tǒng)時(shí)間向后推至k+1，進(jìn)行下一時(shí)刻的參數(shù)辨識(shí)和SOC估計(jì)。

3.4 實(shí)驗(yàn)仿真及結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文提出的AEKF 和H∞濾波聯(lián)合估計(jì)SOC值的算法性能，在動(dòng)態(tài)壓力測(cè)試(Dynamic Stress Test，DST)工況下，將安時(shí)積分法估計(jì)的SOC值作為參考值，分別采用VFFRLS 在線辨識(shí)參數(shù)的AEKF 算法、H∞濾波算法及聯(lián)合估計(jì)算法，對(duì)鋰離子電池SOC進(jìn)行估計(jì)，并對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行分析比較。

DST 循環(huán)工況實(shí)驗(yàn)根據(jù)北京理工大學(xué)提出的電動(dòng)汽車動(dòng)力電池動(dòng)態(tài)測(cè)試工況指定,可以測(cè)試動(dòng)力電池的動(dòng)態(tài)性能和評(píng)價(jià)動(dòng)力電池在對(duì)應(yīng)工況下的適應(yīng)性。DST 循環(huán)工況實(shí)驗(yàn)的一個(gè)循環(huán)由一系列充放電脈沖組成，具體分為四個(gè)階段：首先將電池靜置一段時(shí)間，前三個(gè)階段均以7.5 A 的電流進(jìn)行恒流放電，緊接著改變放電電流大小，以15 A 大小的電流對(duì)電池恒流放電，再以7.5 A 的電流進(jìn)行恒流恒壓充電；第四階段，首先將電池靜置到穩(wěn)定狀態(tài)，以7.5 A 恒流放電，再以30 A 恒流放電，接著以18 A 恒流放電，改變電池充放電狀態(tài)，以15 A 恒流恒壓充電，再以15 A 恒流放電，最后以30 A恒流恒壓充電，單次循環(huán)結(jié)束。整個(gè)動(dòng)態(tài)測(cè)試實(shí)驗(yàn)共循環(huán)50次。DST 循環(huán)工況電壓、電流曲線如圖8 所示。SOC仿真結(jié)果如圖9 所示。

圖8 DST循環(huán)工況電壓、電流曲線

圖9 DST循環(huán)工況下SOC估計(jì)曲線

由圖9 可以看出，在DST 工況下，3 種不同算法的估計(jì)值都能較好地跟隨真實(shí)值，其估計(jì)誤差如圖10 所示。具體狀態(tài)誤差的指標(biāo)對(duì)比情況如表1 所示。

圖10 DST循環(huán)工況下SOC估計(jì)誤差

表1 DST 工況下3 種算法的估計(jì)結(jié)果對(duì)比 %

由圖10 可知，三種算法的魯棒性都較好，H∞算法的初始誤差較大，但能夠在100 次迭代以內(nèi)將誤差收斂到5%以下，并且在放電的中末期與實(shí)際值擬合程度極高，誤差在0.5%附近。改進(jìn)后AEKF 算法在放電初期和后期的誤差都較小，只是中期的誤差較高，在3%附近。AEKF 和H∞聯(lián)合估計(jì)算法的誤差比H∞濾波算法及AEKF 算法的估計(jì)誤差小，最大絕對(duì)誤差為0.12%，平均絕對(duì)誤差為1.9%，均方根誤差為0.01%，精度比單獨(dú)使用AEKF 和H∞濾波更高。滿足GBT 38661-2020《電動(dòng)汽車用電池管理系統(tǒng)技術(shù)條件》5.5 要求的SOC預(yù)測(cè)誤差≤5%的考核標(biāo)準(zhǔn)，說(shuō)明算法對(duì)SOC的預(yù)測(cè)效果良好。

4 總結(jié)

本文采用帶可變遺忘因子的遞推最小二乘法(VFFRLS)與開(kāi)窗理論相結(jié)合的方法，對(duì)鋰離子電池二階R-C 等效電路模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，并結(jié)合粒子濾波的權(quán)重分配思想，通過(guò)歷史信息調(diào)用，根據(jù)不同時(shí)間新息點(diǎn)的重要性分配不同的權(quán)重，將AEKF 和H∞濾波結(jié)合，采用兩種濾波聯(lián)合的算法來(lái)對(duì)鋰離子電池的SOC進(jìn)行估計(jì)。對(duì)二階R-C 等效電路模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)選擇VFF-RLS 及開(kāi)窗理論相結(jié)合，既減小了估計(jì)誤差，又使電路模型具有較好的動(dòng)態(tài)適應(yīng)性。使用AEKF 算法、H∞濾波算法及聯(lián)合估計(jì)算法分別對(duì)電池的SOC進(jìn)行估計(jì)，將模型的輸出結(jié)果與實(shí)際參考值進(jìn)行對(duì)比，得出在DST 工況下，AEKF及H∞濾波聯(lián)合估計(jì)的算法具有精度更高的結(jié)論。