(1+1)維混合KdV方程的通用F-展開和精確解

陳 南，張雪健

(廈門工學院計算機與人工智能學院，福建廈門 361021)

0 引言

非線性偏微分方程的求解問題，一直以來受到廣大學者的關注.目前，已有很多方法對方程求解，例如：齊次平衡法[1]、達布變換法[2]、Painlevé分析法[3]、G′/G函數展開法、F-展開法等.文獻[4]中，把F-展開法推廣到一般橢圓方程

F′2(ξ)=c0+c1F(ξ)+c2F2(ξ)+c3F3(ξ)+c4F4(ξ)

(1)

式(1)中ci(i=0,1,...,4)為參數，并給出了一般橢圓方程(1)的由系數之間的聯系所確定的12種Jacobi橢圓函數解，并借助這些解把F-展開法推廣到一般橢圓方程的情形，即提出了通用F-展開法.

(1+1)維混合KdV方程

ut+a0ux+a1uux+a2u2ux+βuxxx=0

(2)

它則是描述非線性晶體傳播的方程.目前對(1+1)維混合KdV方程的研究文獻比較多，文獻[5]用F-展開法對該方程進行了求解，文獻[6]中使用G'/G展開法和G'/G擴展法對方程進行求解.本文選擇了文獻[4]提出的通用F-展開法對該方程進行求解.

1 應用通用F-展開法

作行波變換，u(x,t)=u(ξ),ξ=k(x-ct)，其中k和c分別為波數和波速，則方程(2)變為

-cu'+α0u'+α1uu'+α2u2u'+k2βu'''=0

(3)

假設方程(3)具有如下形式的解，

(4)

式(4)中n,ai(i=0,1,...,n)為待定常數，且F(ξ)滿足一般橢圓方程(1).利用齊次平衡原則，可得n=1.故式(3)的解為

u(ξ)=a0+a1F(ξ)

(5)

式(5)中F=F(ξ)滿足式(1).由式(1)可得

(6)

利用式(1)、式(6)，由式(5)可得

u′=a1F′

(7)

u?=a1(c2F′+3c3FF′+6c4F2F′)

(8)

將式(5)、式(7)、式(8)代入式(3)，并令FiF′(i=0,1,2)的系數為零，得到關于a0,a1,k,c的方程組

(9)

(10)

(11)

解該方程組得

(12)

式(12)中ε=±1.

2 (1+1)維混合KdV方程的精確解

利用文獻[4]中給出得一般橢圓方程得Jacobi橢圓函數解，得到方程(2)的如下三種情形的解為：

其中，m(0

3 結論

求解非線性偏微分方程，一直是一個重要的問題.本文利用文獻[4]中提出的通用F-展開法對(1+1)維混合KdV方程進行分析求解，得到了12種Jacibi橢圓函數解，豐富了(1+1)維混合KdV方程的解系.后續，可推廣至其他方程.