一類具有奇異靈敏度和邏輯源的趨化
——消耗模型經典解的全局存在性

林金霞

(西華師范大學數學與信息學院，四川南充 637009)

其中Ω是Rn(n≥2)中的一個光滑有界區域，參數χ>0，μ>0，k>2，γ>0，r∈R,函數f(u)∈C1(R).在齊次Neumann邊界條件下，對于弱消耗情況下的趨化模型，本文將證得其經典解的全局存在性.

0 引言

本文考慮如下具有奇異靈敏度和邏輯源的趨化-消耗模型：

(1)

1970年Keller和Segel[1]建立了經典的生物趨化模型，主要用于刻畫細胞對趨化-交叉擴散產生的奇異反應的聚集行為.接下來將介紹一些關于細胞趨化模型的相關結果，

(2)

下面是一些關于具有奇異靈敏度的生物趨化模型的相關結論：

(3)

再次回到趨化-消耗模型：

{ut=Δu-χ?·(uφ(v)?v)+κu-μuk,x∈Ω，t>0

(4)

本文將考慮模型(1)，其主要目的是研究弱消耗對解的全局存在性的影響.本文假設參數χ>0,μ>0，r∈R，對于任意的s>0，函數f滿足

(5)

初始值滿足

(6)

本文的主要結果如下：

定理1 假設Ω∈Rn(n≥2)是一個具有光滑邊界的有界區域，在初始值滿足(6)的條件下，當χ>0，μ>0，k>2，γ>0，r∈R，函數f滿足(5)時，模型(1)的經典解全局存在.

1 相關引理

先介紹解的局部存在性.

引理1 假設q>n，f滿足(5)式.那么對于任意滿足(6)式的初始值(u0,v0)，都存在Tmax∈(0,∞]和如下一對唯一確定的函數對(u,v)

和

是模型(1)在區域Ω×(0,T)上的解，且使得當Tmax<∞時有

‖u(·,t)‖L∞(Ω)+‖v(·,t)‖W1,q(Ω)→∞,t→Tmax

(7)

此外，對于任意x∈Ω,t∈(0,T)存在：

u≥0,0

(8)

證明：通過運用適當的不動點框架和標準的拋物正則性理論[17-18]可以得到模型解的局部存在性，唯一性和(7)式的延拓性的結論.因為初始值滿足(6)式，則可以利用類似于文獻[19]的方法得到u≥0.因為u的非負性，則通過對模型(1)的第二個式子運用比較原則可以得到0

其次介紹本文會用到的一些不等式

(9)

為了證明定理，將給出以下一些先驗估計.

引理3 假設(u,v)是模型(1)的一個解，指數k>2，那么存在常數m0,M1>0使得

(10)

和

(11)

成立.

證明：對模型(1)中的第一個等式進行積分并對其運用H?lder不等式可以得到

新鄉賢統戰：基層統戰工作的整合拓展與全新模式——以浙江省縣以下實踐為案例 ……………………………………………… 許 軍（4·76）

(12)

2 定理證明

(13)

以上假設易知w≥0.

接下來將通過證明w具有一個依賴于時間的上界，從而證得v有一個依賴于時間的下界.

引理5 令n≥2，函數f滿足(5)式，則存在常數K3>0，使得

v≥C(t)=‖v0‖L∞(Ω)e-K3(1+t),(x,t)∈Ω×(0,Tmax).

證明：由模型(13)的第二個式子和(5)式可得

接下來對上式利用熱半群估計[16]可知存在一個常數c1>0，使得

因此可以很容易證得‖v(·,t)‖L∞(Ω)≥‖v0‖L∞(Ω)e-c3(1+t),t∈(0,Tmax).

那么引理5就得證了.

引理6 令n≥2，函數f滿足(5)式，則對任意的p>1都存在常數C0,C(T)>0使得

(14)

證明：結合模型(1)的第一個式子，對(up)t在Ω上積分可得

對上式運用Young不等式和引理5可推出，存在常數C(T)>0使得

通過整理有

(15)

(16)

(17)

首先，利用文獻[22]中的方法對(17)式右邊的第一項進行估計可得，存在常數c>0使得

(18)

然后，利用分部積分，Young不等式，不等式|Δv|2≤n|D2v|2和引理1對(17)式右邊的最后一項進行估計

(19)

將(18)式和(19)式代入到(17)式中整理可得

(20)

引理7 令n≥2，函數f滿足(5)式，那么對任意的p>0都存在一個常數C1>0使得

(21)

其中C0和C(T)均同于引理6中的C0和C(T).

證明：首先利用Young不等式對(21)式不等號左邊的第一項進行估計可得，存在常數ε,c1,c2>0使得

(22)

(23)

聯合(22)式和(23)式可得

(24)

其中c5=c2+c4.由引理1和引理2可得

令C1=c5，則引理7得證.

引理8 令n≥2，函數f滿足(5)式，那么對于任意的p>1，都存在常數c6>0使得

‖u(·,t)‖Lp(Ω)+‖?v(·,t)‖L2p(Ω)≤c6,t∈(0,T).

證明：結合引理7和引理8的式子可以推出

(25)

因為p>1，通過利用引理4和(10)式可得，存在常數c7,c8>0使得

(26)

將(26)式代入到(25)式可得

(27)

其中c11=C1+c10.則引理8得證.