求解一維非定常對流擴散方程的緊致差分格式

王小妹,陳豫眉,張嘉杰

(1.西華師范大學數學與信息學院，四川南充 637009；2.西華師范大學公共數學學院，四川南充 637009； 3.西華師范大學計算方法及應用軟件研究所，四川南充 637009)

0 引言

對流擴散方程是一類重要的偏微分方程,在許多領域都有著廣泛的應用.例如，在計算流體力學中，作為運動方程用于描述大氣中污染物的擴散、雜質在半導體材料中的傳播、流體流動、溫度擴散等物理現象.由于比較難獲得對流擴散方程的解析解，因此對求解對流擴散方程的數值解尤為重要.

從1930年開始，運用緊致差分方法求解對流擴散方程開始受到廣泛關注.如Feng和Tian[1]推導出了一種指數型的交替方向組顯式格式.Xie等人[2]基于局部泰勒級數展開式，推導出了一種求解帶有Robin條件問題的交替方向顯格式.王倩倩等人[3]推導出了一種求解變系數問題的緊致差分格式.田振夫[4]基于Hemite插值多項式推導出了一種指數型高精度緊致差分格式.Liao[5]對空間變量四階緊致離散，時間變量應用外推法推導出了一維對流擴散方程的O(τ4+h4)格式.Mohebbi和Dehghan[6]對空間變量四階緊致離散，時間變量應用三次C樣條配置法推導出了一維對流擴散方程的O(τ4+h4)格式.開依沙爾·熱合曼等人[7]將一維對流擴散方程轉化為常微分方程組的初值問題，再利用梯形方法推導出了對流擴散方程的O(τ2+h4)格式.趙飛等人[8]推導出了一種無條件穩定的有理型高階緊致差分格式，局部截斷誤差為O(τ2+h4).本文基于指數變換與逆變換構造了一維非定常對流擴散方程在時間方向精度為二階，空間方向上為精度四階的緊致差分格式.

1 差分格式的建立

考慮如下一維非定常對流擴散方程

(1)

其中a，ε是常數，u(x,t)為待求未知量，u0(x)，gb(t)，gc(t)均是已知函數.下面引入變換u(x,t)=λ(x)v(x,t)，有：

(2)

(3)

(4)

將(2)～(4)代入(1)中，則有

(5)

從而

(6)

將(6)式代入(1)式，可得：

(7)

(8)

用τ表示時間步長，空間方向等距剖分，步長用h表示.引用文獻[9]中的格式并將zv當作文獻[9]中的f(x,t)，可得(8)式的差分格式為

(9)

同理，該格式的截斷誤差為O(τ2+h4).

2 穩定性分析

定理1格式(9)無條件穩定.

兩邊同時除以eIσxi可得：

利用歐拉公式eIσh=cosσh+Isinσh,e-Iσh=cosσh-Isinσh有:

可得格式(9)的誤差放大因子絕對值為：

因此，由|G|≤1知，格式(9)具有無條件穩定.

3 數值實驗

為了驗證格式(9)的精確性與穩定性，定義最大絕對誤差，L2范數誤差與收斂階為:

其中，Ui表示xi處的數值解，ui表示xi處的精確解，Error(h1)和Error(h2)表示空間步長為h1和h2時對應的最大絕對誤差.

問題1

該問題的精確解為u(x,t)=e-π2tsin(πx).

分別利用C-N格式,古典隱格式與本文格式對上述問題進行求解.

問題2

此問題的精確解為u(x,t)=e-tsin(πx).

分別利用C-N格式與本文格式對上述問題進行求解.

表1給出了問題1在古典隱格式，C-N格式與本文格式下，τ=h2,t=0.25時的最大絕對誤差與收斂階；表2給出了問題1在不同τ時的最大絕對誤差與收斂階.表3給出了問題2在C-N格式與本文格式于不同空間步長h下，當h=τ,t=1時的最大絕對誤差與本文格式的收斂階；表4給出了問題2在不同τ時的最大絕對誤差與收斂階.可以看出本文格式在所有參數下，其計算結果比C-N格式與古典隱格式的計算結果更加精確，并且時間方向精度達到二階，空間方向精度達到四階.

問題3

表5給出了問題3在ε=0.01時，對不同的a,t,τ和h，C-N格式、本文格式數值結果的最大絕對誤差與L2誤差.可以看出對于給定的a,t,τ和h，本文格式的計算誤差要比C-N格式更小.這表明了針對一維非定常對流擴散問題，本文格式具有更好的計算效果.

4 結論

引入變換u(x,t)=λ(x)v(x,t)，構造了一維非定常對流擴散方程的緊致差分格式，截斷誤差為O(τ2+h4)，并對該格式進行穩定性分析，通過數值算例驗證了理論的有效性與準確性.因此，該方法能推廣到二維或應用到其他的方程.