基于模糊理論的贛州古城墻病害等級評價

李思嬌，王 一，王 兵，林澤樺，閔金偉

(江西理工大學 土木與測繪工程學院，江西 贛州 341000)

0 前 言

模糊數學是以不確定的事物為研究對象，承認其模糊性，從多個要素對被評判事物的等級進行綜合評判的方法。層次分析法是由Thomas L.Saaty教授提出的一種決策方法，簡稱AHP，因思路清晰、系統性強等特點成為人們思考問題和解決問題時的手段，模糊數學和層次分析法結合不僅考慮因素更加周全、主觀影響程度較低，而且可以很好地將專家的想法融合到決策流程中。贛州古城墻是珍貴的國家級文物，但目前的人為和自然因素導致城墻病害嚴重破壞了古城墻的文物價值。因此，對古城墻病害進行準確評價十分迫切，對于磚土復合結構類型的文物保護具有十分重要的參考意義。

1 古城墻病害評價指標體系

1.1 指標體系建立原則

因贛州古城墻病害情況復雜，對其進行病害等級評價需要較為公正且科學的評價指標，指標必須要清楚地反映古城墻目前的病害狀態，盡可能減小誤差。故在選取指標時需遵循目的性原則、定性定量相結合原則、重點性原則、可行性原則和科學性原則。

1.2 病害分級評價指標選取及體系構建

目前贛州古城墻的病害主要有裂縫、苔蘚、根系植物破壞和覆蓋、墻體變形、泛堿、磚石風化和砂漿缺失等。根據實際情況，從古城墻墻體外部形態指標、墻體力學性能指標、裂縫發育程度指標3個方面進行病害分級評價指標的選取。選取苔蘚面積、泛堿面積、植物覆蓋面積、磚石風化面積作為反映贛州古城墻墻體美觀程度的4個指標，采用青磚回彈值和砂漿回彈值作為墻體力學性能的指標，裂縫發展程度的主要指標是裂縫的長度、寬度、裂縫分布密度和裂縫位置及走向4個指標。根據評價指標的選取，建立贛州古城墻病害分級評價指標體系如圖1所示。

圖1 贛州古城墻病害分級指標體系

2 古城墻病害指標分級標準

國內磚石類古建筑與贛州古城墻情況較為類似，模糊評價標準大部分是采取的四個等級。本文也采用四個等級，分別為微弱損傷(A級)、輕度損傷(B級)、中度損傷(C級)、重度損傷(D級)，根據以往研究及古城墻結構特點，總結出古城墻病害評價指標分級標準如表1所示。

表1 古城墻病害指標分級標準表

3 明確隸屬函數

隸屬度的取值區間在0～1，其數值越靠近1，說明該評價指標屬于某等級的程度越高，隸屬度數值越靠近0，說明該評價指標屬于某等級的程度越低。目前，確定隸屬函數常見的方法有：模糊統計法、公式法、專家評定法和二元對比排序法等。本文中定量指標的隸屬度函數使用公式法確定，常用的模糊分布函數包括矩形分布、正態分布、柯西分布、梯形分布等[1]。

墻體力學性能指標中的磚回彈值和砂漿回彈值與古城墻病害損傷程度呈負相關，墻體力學性能指標評價隸屬函數采用降半梯形分布隸屬函數，其中x為實際測量值，a1,a2,a3,a4分別為分級評價中A、B、C和D級所對應的標準值。古城墻某病害指標相對應于A、B、C和D級的隸屬函數公式如(1)～(4)所示。

A級：

(1)

B級:

(2)

C級:

(3)

D級:

(4)

裂縫長度、裂縫寬度和裂縫分布密度這三個指標與古城墻病害程度呈正相關，本文采用升半梯形分布隸屬函數，由此可建立古城墻某病害指標相對應于A、B、C和D級的隸屬函數公式如(5)～(8)所示。

A級：

(5)

B級：

(6)

C級：

(7)

D級：

(8)

本文使用專家評定法確定古城墻各段定性指標的隸屬度，取值如表2所示。

表2 古城墻定性評價指標隸屬度數值表

通過公式對古城墻病害的定量指標進行計算，數值如表3所示。

表3 古城墻定量評價指標隸屬度數值表

4 明確指標權重

層次分析法[2]是定性與定量相結合的綜合決策方法，通過將指標兩兩比較，經過數學計算間接得到各指標的權重。具體步驟有：確定判斷矩陣、計算權重和進行一致性檢驗。

4.1 構造判斷矩陣

判斷矩陣是根據二級準則層和一級準則層中同一級同一類的各指標進行兩兩比較的結果，成對比較時根據1～9級比例標尺進行賦值，進而構成判斷矩陣，九級比例標尺如表4所示。

表4 層次分析法評價尺度表

在贛州古城墻病害評價中，對同一層次的各個指標進行兩兩比較，構成判斷矩陣A=(aij)n×n。

A=[a11…a1n

? ? ?

an1…ann]

(9)

在矩陣中，aii=ajj=1,aij=1/aji。

4.2 計算權重

根據所構造的判斷矩陣，求解判斷矩陣的最大特征值和特征向量，并采用和積法計算權重，分為以下四個步驟：

1)將矩陣A中的元素歸一化，公式如下。

(10)

2)求歸一化后的矩陣中同一行各元素的和：

(11)

3)將相加以后的和除以n就得到權重向量：

(12)

4)通過公式來計算最大特征根，(Aw)i指向量Aw的第i個分量：

(13)

4.3 一致性檢驗

由于處理對象的復雜性以及人的認知決策存在差異性，可能會導致各指標之間的順序矛盾，導致錯誤的判斷矩陣經不起推敲，無法應用到決策之中，因而對判斷矩陣進行一致性檢驗十分重要。

判斷矩陣A的一致性指標C.I.的計算公式和平均隨機一致性指標C.R.的計算公式如下：

(14)

(15)

式中，C.I.為一致性指標；λmax為判斷矩陣A的最大特征值；n為判斷矩陣A的階數；C.R.為平均隨機一致性指標；R.I.為隨機一致性指標

R.I.的取值則根據矩陣A的階數在隨機一致性指標標準表5中取值。

表5 隨機一致性指標標準取值表

當C.R.為0時，將矩陣A確定為完全一致性矩陣；當C.R.小于0.1時，稱矩陣A為滿意一致性矩陣；當C.R.大于0.1時，則認為矩陣A不具有一致性，那么需要修改判斷矩陣A中的各個取值。

4.4 贛州古城墻病害指標權重計算

根據上述步驟進行計算，總結得到贛州古城墻一級指標的二級指標的權重分配情況如表6所示。

表6 贛州古城墻病害分級評價指標權重表

5 選取模糊合成算子及評判結果處理

5.1 模糊合成算子的選取

模糊綜合評判的基本模型如公式(16)所示：

(16)

式中，B為總體綜合評判矩陣；W為權重向量；°為模糊合成算子；R為綜合評判矩陣。

模糊合成算子[3]的類型有主因素決定型、主因素突出型和加權平均型等，贛州古城墻病害等級評價為二級模糊綜合評價，要考慮多因素之間的相互影響，因而選擇加權平均型進行計算。

5.2 綜合評判結果處理

當進行完以上所有步驟后，得到一組與評價等級相對應的隸屬度數值，稱為綜合評判向量B。在確定最終評價等級時，最常用的方法為最大隸屬度原則，該方法簡便明了，應用廣泛，但未充分利用到向量B所獲取的其他信息。另一種識別方法叫做貼近度法，它表示兩個模糊集之間的相似程度的度量。貼近度包含對稱貼近度和非對稱貼近度，非對稱貼近度考慮到了多等級結構的綜合評價，較適用于贛州古城墻的病害等級評判。

贛州古城墻病害分級模型為多層次不同等級模型，如果最終評價隸屬值之間相差較大可選擇最大隸屬度法，如最終評價隸屬值之間相差不大甚至較為接近，則使用非對稱貼近度法進行結果評價。

贛州古城墻病害等級分為以下四種：A級：微弱損傷，不修繕；B級：輕度損傷，低密度檢測，可不修繕；C級：中度損傷，中密度檢測，考慮修繕；D級：重度損傷，高密度檢測，立即修繕。

6 古城墻病害等級模糊綜合評價

6.1 古城墻病害一級指標綜合評判

對一級指標做綜合評判，模糊合成算子采用加權平均法計算，公式為：

(17)

式中，Bi為一級指標綜評判矩陣；Wi為一級指標權重向量；Ri為一級指標隸屬矩陣。

表7為古城墻病害一級指標的綜合評判矩陣表。

表7 一級指標綜合評判矩陣表

6.2 古城墻病害等級綜合評判

根據一級指標綜合評判矩陣，構造總體綜合評判矩陣R，R是以B1，B2，B3為行的模糊矩陣，即：

(18)

式中，R為綜合評判矩陣；B1為墻體外部形態指標綜合評判矩陣；B2為墻體回彈值指標綜合評判矩陣；B3為裂縫發育指標綜合評判矩陣。

根據公式構造總體綜合評判矩陣R，得到古城墻總體綜合評判矩陣如表8所示。

表8 古城墻各段總體綜合評判矩陣表

模糊綜合評判的基本模型如公式(19)所示：

(19)

根據上述結果，二級權重向量W=[0.110，0.390，0.581]，利用公式運算得到最終的總體綜合評判向量如表9所示。

表9 各段古城墻總體綜合評判向量

由總體綜合等級評判向量B可知，北段城墻病害等級評價為C級，東段城墻病害等級評價為A級。西段城墻等級評判向量中數值之間較為接近，采用非對稱貼近度法進行評判。

非對稱貼近度的公式為：

(20)

式中，N(B,Cj)為貼近度；B為西段總體綜合等級評判向量；Ci為理想狀態下的總體綜合等級評判向量；m為評判等級個數。

計算結果為：

N(B,CA)=0.832，N(B,CB)=0.836，N(B,CC)=0.866，N(B,CD)=0.864

由上述計算結果可得，N(B,CC)最大，西段城墻病害等級評判結果為C級，與最大隸屬度原則計算的結果相同。根據運算結果，得出古城墻各段最終的病害等級評判結果，西段城墻和北段城墻為C級，東段城墻病害等級為A級。

7 結束語

本文通過使用模糊數學和層次分析相結合的方法對古城墻進行評價，評價結果為：西段城墻和北段城墻病害等級為C級，屬于中度損傷，應中密度檢測，考慮修繕。東段城墻病害等級為A級，屬于微弱損傷，無需修繕。西段城墻病害程度與北段城墻病害程度相同，西段和北段城墻病害程度比東段城墻病害程度嚴重。

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