文化視角下的最短路徑問題教學研究

胡發(fā)強

(貴州省遵義市桐梓縣小水鄉(xiāng)小水中學 貴州 桐梓 563200)

前言

我校為了響應新課程標準中運用數(shù)學文化教學積極作用，我們開始研究數(shù)學文化融入到數(shù)學課堂的策略。當下數(shù)學研究中關于數(shù)學文化融入幾何知識方面的理論還很少，需要經(jīng)過不斷的實踐研究。基于此本文討論文化視角下初中數(shù)學最短路徑問題的教學設計與實踐，旨在優(yōu)化數(shù)學課堂。

1.初中數(shù)學最短路徑問題研究的必要性

隨著國家新課程改革和教育事業(yè)發(fā)展新要求的出臺，初中數(shù)學越來越受到人們的關注。新課程改革要求的初中數(shù)學教授學生具備一定的數(shù)學應用技能，以及足夠的數(shù)學知識，數(shù)學基礎理論和數(shù)學知識是學生提高數(shù)學能力的重要組成部分，以確保他們能夠在實際生活中應用所學知識。因此，在數(shù)學教學過程中，教師要牢記學生實踐技能的培養(yǎng)，但現(xiàn)階段我國數(shù)學教育中對初中數(shù)學的教學認識存在很多問題。大多數(shù)初中數(shù)學教師只注重教授數(shù)學理論知識，而忽視將數(shù)學知識融入現(xiàn)實生活中，這會對學習和理解數(shù)學產(chǎn)生負面影響。因此，教師必須更新和適應新的數(shù)學教育方法和理念，結(jié)合現(xiàn)實生活進行數(shù)學教學，提高學生在現(xiàn)實生活中的思考能力，增加學生所需的數(shù)學知識。因此，本文從實際出發(fā)，對于初中數(shù)學中“最短路徑”的問題的教學，可以在討論該問題的解題方法和學習方法的同時，將教科書和實際生活相結(jié)合，這樣可以增加數(shù)學教育的實用性和現(xiàn)實性，并提高學生的學習效率和教師的教學效率。

2.基于文化視角的最短路徑問題新授課設計

2.1 教學內(nèi)容分析。“最短路徑問題”為人教版八上第十三章中最后一節(jié)的內(nèi)容，從涉及知識點來說，本節(jié)課包括對稱軸的概念與性質(zhì)、三角形三邊關系等；涉及的數(shù)學思想有：轉(zhuǎn)化、抽象、分類[1]。即將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為三點間的問題或者是轉(zhuǎn)化為三角形邊的問題。例題與習題方面，本課時一同設置兩個問題，一個是古代的實際問題，一個是一題多解問題，在此過程中，此過程中融入了數(shù)學文化，引導學生將實際問題抽象成數(shù)學問題，再通過轉(zhuǎn)化思想，抓住路徑問題，以對稱軸或者平移轉(zhuǎn)化的問題，將直線同側(cè)轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€兩側(cè)的問題，并逐步歸納。

基于此的教學先決條件為七年級學習過的兩點之間，線段最短知識，以此為繼續(xù)教學的支撐點。然后教師根據(jù)知識遺忘曲線規(guī)律，課中做知識復習。并能列舉生活中關于最短路徑問題的實例，觸發(fā)學生生活經(jīng)驗，并能集中注意力更積極主動掌握最短路徑問題本質(zhì)。

2.2 學生分析。基礎知識上，學生要先掌握兩點間線段最短的知識，并知道如何化對稱點。本節(jié)課知識的學習則借助八年級學生已經(jīng)具有的簡單轉(zhuǎn)化思想，雖然還未熟悉幾何中的最值問題，學生在本次課程中使用轉(zhuǎn)化問題還有一定難度；此階段學生的數(shù)學思維與特點角度分析，其已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)學語言符號的轉(zhuǎn)化，具有一定抽象能力，可以自己將簡單的實際問題變?yōu)槌橄髥栴}、構(gòu)建簡單模型、簡單交流、猜想、分析等解決問題的能力。情感態(tài)度與價值觀角度分析，本階段的學生因為對數(shù)學歷史有一定興趣，所以可以更好分析問題，享受解決問題的樂趣，在此求知欲更強。

2.3 教學目標與重難點。

2.3.1 教學目標。

知識與技能目標：學生會運用對稱軸解題，并借助兩點間線段最短解決簡單路徑最短的問題。

過程與方法：學生可結(jié)合問題實際情況，抽象出數(shù)學問題，構(gòu)建模型后，體驗解決問題的過程，借助轉(zhuǎn)化思想解決問題。

情感態(tài)度與價值觀目：借助古代趣味性數(shù)學問題激發(fā)學生學習積極性，并在解題的過程中感知數(shù)學，通過解題獲得基本經(jīng)驗，感受其運用價值。

2.3.2 教學重難點。學生可以使用對稱軸解決兩點之間線段最短的問題，并掌握最短路徑的原理。

2.4 教學方法與手段。

2.4.1 教學方法。本此教學運用的是討論法、問題法與講授法三種形式。討論法包括生生與師生討論，以語言促使學生集思廣益，如最短路徑中嘗試不同類型，確定位置，找到對稱軸等相關方法，但是此討論是以學生為主體進行的，通過實際交流與完成最短路徑本質(zhì)的探索；問題法則是通過層次性問題引導學生找到知識的本質(zhì)，以此更好解決問題。本次最短路徑問題就是通過提問法引導學生將同側(cè)點、線段逐漸轉(zhuǎn)換成異側(cè)點、線段，以此引導學生知道只有將點、線段轉(zhuǎn)換成異側(cè)形式，重新構(gòu)建線段，才能體會到兩點間線段最短的運用方法，進而體會最短路徑問題本質(zhì)；講授法則是在學生探究后教師的總結(jié)與解釋，規(guī)范學生解題過程。

2.4.2 教學手段。在此往往運用傳統(tǒng)與信息技術結(jié)合的手段進行教學。一方面，借助黑板與粉筆等傳統(tǒng)教具隨時做教學記錄，幫助學生回憶知識，生成新的知識點，如最短路徑問題的證明，促使學生在運用新知識的時候，可以及時回憶與對稱軸有關性質(zhì)的規(guī)范[2]。

2.5 教學過程的設計。基于文化視角下的設計思路。本次課程基于數(shù)學文化的有關理論，在課中融入數(shù)學文化。數(shù)學文化社會層次，數(shù)學文化經(jīng)歷千年發(fā)展，包含很多數(shù)學文化史，如將軍飲馬。本次課堂就是以數(shù)學史的融入，讓學生在探究數(shù)學史問題的時候，感悟最短路徑的文化底蘊，培養(yǎng)學生探索精神。另外，通過數(shù)學文化與生活的聯(lián)系，如最短路徑選擇與選址造橋的問題，讓學生感受身邊的數(shù)學問題，提升應用價值，因此在教學中可再引入選址造橋歷史案例，培養(yǎng)學生最短路徑問題運用的重要性，進而加強對數(shù)學的認知[3]。數(shù)學文化技術方面，則從數(shù)學思想方法入手，如抽象法、建模法、轉(zhuǎn)化法生。即從最短路徑問題出發(fā)，引導學生先將其轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學問題，然后建立對應圖形，以小組討論的形式求解，最終運用模型。

教學環(huán)節(jié)的設計。結(jié)合數(shù)學文化設計的最短路徑問題教學環(huán)節(jié)為：引入舊知-引出課題-創(chuàng)建模型-求解模型-運用模型。第一，以復習引入舊知。以制作圖形對稱軸為導入，引導學生再次回憶知識并討論，得出兩點之間線段最短的定義。第二，創(chuàng)建情境，引入課題。以讓學生到講臺上為例，促使學生運用兩點之間線段最短知識。并通過理論實踐，讓學生感受路徑問題，增強探究興趣。第三，以問題構(gòu)建模型。通過抽象問題的提出，讓學生在建立模型的時候感受數(shù)學文化。第四，求解模型。通過兩點間線段最短的形式解決問題，讓學生以小組合作的形式解決問題。在此過程中融入數(shù)學文化中的技術與情感層次。第四，變式擴展，應用模型。在求解模型之后，教師展示求解路徑的幾道變式問題，讓學生嘗試知識點遷移，自覺以歸化解決問題，提升解決問題能力。

3.文化視角下最短路徑問題教學分析

3.1 舊知引入。以問題“做對稱軸的步驟？”為引入，先讓學生總結(jié)方法，如：(1)在圖形的頂點向直線做垂線；(2)以直線與垂線的交點為圓心，頂點到直線的距離為半徑做弧線，與垂線相交的點為對稱點；(3)將多組對稱點連接，獲得的圖形就是此關于一直線垂直的對稱軸圖形[4]。接著教師在交互式白板中作圖示范，接著提問“在此你找到最短路徑了嗎？為什么？”此環(huán)節(jié)以復習與最短路徑有關知識為基礎，通過畫出對稱軸的問題引出兩點間線段最短的知識，激發(fā)學生思維，在此基礎上發(fā)展新的知識。

3.2 引出課題。教師分別叫教室中前排和后排的同學走到講臺上，學生們上來后提問“為什么你們選擇徑直走上來而不是從課桌的另一面繞過來？”引導其想到“兩點間線段最短”的定義。教師“不止現(xiàn)實生活中，歷史中也也常常發(fā)生最短路徑這種情況，下面我們來一起學習一下。”接著在PPT中展示“將軍飲馬”的問題：古代有位羅馬將軍要去拜訪一名精通數(shù)學與物理的學者，并向他請教一個實際問題，每天將軍從軍營A點出發(fā)，先帶馬到河邊飲水，然后再去河流同一側(cè)的B地，怎么走路程才能最短？引導學生的注意力集中到故事情節(jié)中，并以“為什么選擇此路線”為引導，令課堂氣氛更加活躍。

3.3 互動探究。在初中數(shù)學教學過程中，教師還應注意在教學中使用互動探究的方法，互動探究在數(shù)學教學中發(fā)揮著重要作用。這種教學方法可以改善課堂環(huán)境，是一種很好的教學方法。在最短路徑的教學中，也可以通過互動探究法進行教學，教師可以引入上述問題，讓同學們探討問題，根據(jù)要求進行互動探究，以提高學生的學習能力。例如，老師可以從著名的將軍飲馬的入手，這個故事講的是古希臘的時候，亞歷山大城的著名學者、羅馬將軍從羅馬專門到亞歷山大去會見學者海倫，問了一個令人困惑的問題，每天從A軍營，到B軍營區(qū)參加軍事會議，中間在河邊飲馬，飲馬后去B軍營參加會議，這樣的情況下，怎樣走是最短的途徑？這個問題被提出后，一方面，通過故事直觀的解釋了最短路徑問題，另一方面，這個問題可以鼓勵學生進一步討論和反思。教師可以利用這個機會教學生獨立思考和探索，在討論過程中，教師可以提出其他的問題，讓學生從不同的方向思考。例如，教師可以改變B軍營的位置，與學生討論最短路徑法。提問后，讓學生思考答案，總結(jié)數(shù)學問題，畫出相關的圖像。老師根據(jù)學生的表現(xiàn)不斷提問，或者讓學生自由表達他們的想法，促進理論知識與實際生活的結(jié)合來，讓學生考慮如何解決這些問題，提高學生的思維水平和數(shù)學技能，通過師生互動，解決將軍飲馬這類常見問題，可以促進學生的應用能力。此外，學習過程中教師可以不限于問題類型，可以提出有關學生上學的問題以及其他現(xiàn)實生活中的問題，這使學習難度得到降低。

3.4 創(chuàng)建模型。教師提問，引導學生創(chuàng)建模型。先讓學生用數(shù)學語言描述古代問題，即從A點出發(fā)先到直線L處。之后再到B點，求如何走才能令A到L與B到L的路線最短。有的學生還根據(jù)問題做出圖示。此環(huán)節(jié)就是讓學生感悟抽象的過程，即在教師的引導下將實際生活問題變成數(shù)學問題，抽象成模型，提升學生數(shù)學抽象能力。以數(shù)學文化中的建模思想與抽象思想提升學生數(shù)學技術層次。

3.5 求解模型。以合作交流的形式完成上述模型的解答，常見的方法為使用對稱軸法求最短路徑。教師先提問“我們曾經(jīng)學習過的求最短距離的方法有哪些呢？”先確定兩點之間，線段最短。此時有的學生說“我們現(xiàn)在求的不是兩點之間，而是還要到一條直線上。”教師表揚其想的全面，并提問“本次的問題更加復雜，我們該怎么做呢？請你們開展小組討論。”將學生分組后，教師觀察其討論情況，適當引導。一段時間后學生們的討論聲慢慢減小，教師就可讓小組派代表講述自己組討論的結(jié)果。有的小組想到嘗試將A、B兩點連接后也經(jīng)過直線L、有的小組想到將B、A兩點放在直線的異側(cè)，但是具體的方法沒有想出來。教師此時引導“我們課前復習的對稱軸的內(nèi)容是否可以運用到此呢？”此時各組同學恍然大悟，開始畫圖作圖，并總結(jié)“作B點到直線L的對稱點B′，連接AB′，與直線L相交的點就是到A和B最短的點。”教師繼續(xù)“同學們做的很好，下面請你們思考能不能用三角形的兩邊之和大于第三邊的方法證明呢？”同樣以小組合作形式展開討論[5]。讓學生從不同的角度思考問題。本環(huán)節(jié)使用的是小組合作法、發(fā)現(xiàn)問題法。通過小組交流再次發(fā)現(xiàn)問題，由學生自己找到問題關鍵，即兩個點與直線。突出中心問題后，嘗試將問題轉(zhuǎn)化為三點共線，這樣只需將同側(cè)點變?yōu)楫悅?cè)點即可，就是在直線L上確定一點令三點共線。最后再增加三角形判定方法，啟發(fā)學生自主求出最短路徑，理論聯(lián)系實際，將課堂交給學生，讓其自主探究，且就教學效果分析，學生們的學習激情的確比之前教師單方面講解要高得多。

3.6 應用模型。在教師的引導下，學生們掌握了解求最短路徑問題的方法，然后就可進行變式擴展，讓學生在應用模型中鞏固知識。出示問題，以鞏固與發(fā)展為目的帶領學生學習本節(jié)課重點知識，然后進行教學，引導學生在通過一個問題的解答可以舉一反三。在本環(huán)節(jié)中激發(fā)學生的化歸意識，并自覺在新的情境中運用，增強知識技能目標，發(fā)揮數(shù)學文化技術層次的作用；提升學生情感態(tài)度與價值觀，優(yōu)化數(shù)學文化情感層次。

結(jié)論

綜上，基于數(shù)學文化視角的初中幾何知識教學設計與實踐，體現(xiàn)了實際生活與數(shù)學文化之間的內(nèi)部的聯(lián)系。并能增強學生的學習興趣，促使其對知識的完全掌握。幫助教師更好踐行教學。