SD振子的Hopf分岔研究*

王翠艷,王明昊

(石家莊鐵道大學(xué)，河北 石家莊 050043)

0 引言

振動(dòng)現(xiàn)象在許多工程應(yīng)用中都是有益的，如攪拌、低能量導(dǎo)航和控制、機(jī)電系統(tǒng)的監(jiān)測(cè)和故障診斷等。通過控制策略產(chǎn)生Hopf分岔[1]是一種將有具體振動(dòng)特性的系統(tǒng)設(shè)計(jì)為非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的方法，Hopf分岔自身則是一種從非雙曲平衡點(diǎn)中產(chǎn)生極限環(huán)分岔的現(xiàn)象。PB(Poincaré-Birkhoff)規(guī)范型理論常被用于從解析角度研究Hopf分岔[2，3]。Li等[4]研究了含有雙時(shí)滯參數(shù)的Lengyel-Epstein系統(tǒng)的Hopf分岔，使用時(shí)滯微分方程的規(guī)范型理論與中心流形定理，得到了確定周期解穩(wěn)定性與Hopf分岔方向的顯式表達(dá)式。Zhang等[5]研究了水下滑翔機(jī)姿態(tài)控制系統(tǒng)中由時(shí)滯引發(fā)的Hopf分岔現(xiàn)象，得到了產(chǎn)生Hopf分岔的臨界時(shí)滯條件。Li等[6]研究了一類兩物種共棲系統(tǒng)的Hopf分岔與穩(wěn)定性。Zhang等[7]研究了一類時(shí)滯傳染病模型的Hopf分岔與穩(wěn)定性，使用規(guī)范型理論與中心流形定理得到了Hopf分岔方向與周期解分岔穩(wěn)定性的顯式算法。Somnath R等[8]研究了雙簡諧激勵(lì)作用的雙穩(wěn)態(tài)van der Pol-Mathieu-Duffing系統(tǒng)的超臨界Hopf分岔現(xiàn)象。

本文研究了SD(Smooth and Discontinuous)振子彈簧處于預(yù)拉伸狀態(tài)時(shí)平凡解鄰域內(nèi)的Hopf分岔。使用多尺度法，得到了同時(shí)含有非線性黏性阻尼和簡諧激勵(lì)的平均系統(tǒng)。基于PB規(guī)范型理論，得到了Hopf分岔?xiàng)l件并研究了極限環(huán)的穩(wěn)定性。隨后使用上述方法，研究了系統(tǒng)彈簧處于預(yù)壓縮狀態(tài)時(shí)非平凡解鄰域的Hopf分岔。

1 SD振子的Hopf分岔

近期的文獻(xiàn)提出了可以實(shí)現(xiàn)光滑至不連續(xù)系統(tǒng)演化的SD振子，模型如圖1所示。其中,x表示振子位移，l表示振子位移路徑至彈簧固定點(diǎn)的距離(半跨距離)，其無量綱無擾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(1)

其中：α為系統(tǒng)光滑參數(shù)，0<α<2。

圖1 SD振子系統(tǒng)

該系統(tǒng)可以通過調(diào)整光滑參數(shù)α的值，實(shí)現(xiàn)從光滑系統(tǒng)到不連續(xù)系統(tǒng)的演化。當(dāng)α=0時(shí)，其表現(xiàn)出不連續(xù)動(dòng)力學(xué)行為[9,10]，此時(shí)系統(tǒng)的半跨距離l=0，導(dǎo)致系統(tǒng)實(shí)際上難以實(shí)物化。當(dāng)α>0時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出光滑動(dòng)力學(xué)行為。當(dāng)α=1時(shí)，該系統(tǒng)對(duì)應(yīng)具有余維2分岔現(xiàn)象的單自由度弦振動(dòng)模型。如文獻(xiàn)[11]所示，當(dāng)α>1時(shí)，該系統(tǒng)類似于一個(gè)預(yù)拉伸的離散彈性弦。

假設(shè)系統(tǒng)(1)受非線性黏性阻尼f(x)=ξ+γx2和一個(gè)幅值為F0、頻率為Ω的簡諧激勵(lì)擾動(dòng)。此時(shí)，該受迫耗散系統(tǒng)可以表示為:

(2)

其中：為了表示廣義非線性阻尼且不失一般性，ξ、γ可以取為任意實(shí)數(shù)；t為擾動(dòng)時(shí)間。

為了得到平衡點(diǎn)(0,0)附近的平均方程，使用多尺度法，系統(tǒng)(2)可以改寫為：

(3)

設(shè)ε是一個(gè)小尺度擾動(dòng)參數(shù)，取變換：

(4)

將式(4)代入系統(tǒng)(3)，整理后可得:

(5)

假設(shè)系統(tǒng)(5)的解x可以由多個(gè)時(shí)間尺度表示：

x(t,ε)=x0(T0)+εx(T0,T1)+
ε2x(T0,T1,T2)+….

(6)

其中：Ti=εit,i=0,1,2,…。

根據(jù)多尺度法，定義微分算子如下:

(7)

(8)

下面，重點(diǎn)研究系統(tǒng)產(chǎn)生1∶2內(nèi)共振的情況。這種共振情況下，存在如下頻率關(guān)系:

(9)

其中：σ為調(diào)諧參數(shù)。為了便于分析令Ω=2。因此:

ω2=1+εσ.

(10)

將式(6)～式(10)代入系統(tǒng)(5)，令方程左側(cè)和右側(cè)的ε同冪次系數(shù)相等，可得:

ε0時(shí)：

(11)

ε1時(shí)：

(12)

系統(tǒng)(11)的1次近似復(fù)數(shù)解的形式可以表示為:

(13)

將式(13)代入系統(tǒng)(12)，可得：

(14)

其中：cc為系統(tǒng)(14)右側(cè)函數(shù)的共軛；NST為不包含久期項(xiàng)的部分。

為了消除系統(tǒng)(14)中的久期項(xiàng)，由式(14)可得:

(15)

A可以表示為笛卡爾形式:

A=y1+jy2.

(16)

(17)

顯然，(y1,y2)=(0,0)是平凡解，系統(tǒng)(17)為ξ=0時(shí)的PB規(guī)范型。系統(tǒng)(17)線性化導(dǎo)算子的特征值為:

λ1,2=-ξ±jσ.

(18)

(19)

根據(jù)Poincaré-Andronov-Hopf定理，可得:

(20)

結(jié)合式(20)和文獻(xiàn)[3,4]，可以通過ζ、υ、d和c的值來判斷奇點(diǎn)的類型與極限環(huán)的穩(wěn)定性。

2 結(jié)果分析

研究各種參數(shù)情況下式(20)的結(jié)果，可得系統(tǒng)(2)的奇點(diǎn)類型與極限環(huán)穩(wěn)定性。使用MATLAB對(duì)系統(tǒng)(2)進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果如圖2～圖4所示。

(1) 當(dāng)γ<0時(shí)，對(duì)于ξ<0該平凡解是一個(gè)不穩(wěn)定焦點(diǎn)，ξ>0時(shí)其為一個(gè)漸進(jìn)穩(wěn)定焦點(diǎn)，并且存在一個(gè)不穩(wěn)定極限環(huán)。當(dāng)γ<0時(shí)，出現(xiàn)亞臨界Hopf分岔，如圖2(a)所示。

(2) 當(dāng)γ>0時(shí)，對(duì)于ξ>0該平凡解是一個(gè)漸進(jìn)穩(wěn)定焦點(diǎn)，ξ<0時(shí)其為一個(gè)不穩(wěn)定焦點(diǎn)并且存在一個(gè)漸進(jìn)穩(wěn)定的極限環(huán)。當(dāng)γ>0時(shí)，出現(xiàn)超臨界Hopf分岔，如圖2(b)所示。

圖2 系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)(0,0)鄰域的Hopf分岔

圖3 系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)鄰域的Hopf分岔

圖4 系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)鄰域的Hopf分岔

圖2(a)、圖3(a)和圖4(a)分別描述了ξ變化時(shí)亞臨界Hopf分岔現(xiàn)象。圖2(b)、圖3(b)和圖4(b)描述了超臨界Hopf分岔。圖2～圖4中亞臨界Hopf分岔與超臨界Hopf分岔對(duì)應(yīng)的參數(shù)情況與式(20)結(jié)果一致，這表明解析解與數(shù)值計(jì)算結(jié)果一致，1∶2內(nèi)共振條件下SD振子Hopf分岔定性分析結(jié)果正確。

3 結(jié)論

本文針對(duì)SD振子，研究了系統(tǒng)的超臨界、亞臨界Hopf分岔及其穩(wěn)定性。從平衡點(diǎn)研究出發(fā)，探討了平凡平衡點(diǎn)、非平衡點(diǎn)鄰域的復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)行為。利用多尺度法求得系統(tǒng)平均方程，探討了平凡平衡點(diǎn)、非平衡點(diǎn)鄰域的超臨界、亞臨界Hopf分岔。利用PB規(guī)范型理論分析了所有平衡點(diǎn)極限環(huán)分岔的穩(wěn)定性。進(jìn)一步地，利用數(shù)值模擬的結(jié)果驗(yàn)證了解析結(jié)果的正確性。