基于反饋線性化解耦的直驅(qū)H型平臺滑模輪廓控制

魏惠芳， 王麗梅， 張 康

(沈陽工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 沈陽 110870)

由永磁直線同步電機(PMLSM)驅(qū)動的H型平臺可以在平面實現(xiàn)二維高頻運動，廣泛應(yīng)用于數(shù)控機床、精密測量和激光打印行業(yè)中[1-2].但直驅(qū)H型平臺三軸之間的機械耦合會影響輪廓控制精度[3]，此外，在實際工作中，橫梁上工作臺頻繁加減速運動會對系統(tǒng)動態(tài)、穩(wěn)態(tài)性能造成影響，從而增加系統(tǒng)機械耦合程度，大大降低控制精度[4].為提高直驅(qū)H型平臺的輪廓控制精度，需要采用合理的解耦控制策略解決機械耦合問題，同時選用具有強魯棒性的控制器抑制不確定性問題，從而實現(xiàn)平臺的精密控制.

為提高直驅(qū)H型平臺跟蹤精度，Chen等[5]提出軸間協(xié)調(diào)運動與冗余執(zhí)行器同步相結(jié)合的輪廓控制方法.該方法在輪廓誤差計算中引入轉(zhuǎn)角進行了相應(yīng)的修正，提高輪廓跟蹤性能，但該方法在建立動力學(xué)模型時進行了近似估計，僅適合轉(zhuǎn)角較小的情況[6].王麗梅等[7]針對直驅(qū)H型平臺直線電機參數(shù)變化和擾動等不確定因素的影響，建立了含不確定集的直驅(qū)H型平臺的數(shù)學(xué)模型，然后在此模型基礎(chǔ)上提出了交叉耦合模糊PID控制方法，從而提高了系統(tǒng)的跟蹤性和魯棒性，但該方法在建立模型過程中忽略了機械耦合的影響.

針對運動平臺機械耦合對輪廓控制的影響，一些學(xué)者通過解耦輪廓誤差模型進行控制.Chen等[8]通過將輪廓誤差解耦成切線誤差和等效輪廓誤差進行控制，能夠克服跟蹤精度不高對輪廓控制的影響.為解決由于輪廓誤差累積，系統(tǒng)出現(xiàn)收斂速度降低甚至發(fā)散這一問題，王麗梅等[9]提出一種與經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解算法相結(jié)合的交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制方法.該方法首先通過設(shè)計交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制降低輪廓誤差，然后利用經(jīng)驗?zāi)B(tài)學(xué)習(xí)算法分解控制過程中的輪廓誤差，提高系統(tǒng)收斂速度和輪廓精度.

為解決多輸入、多輸出系統(tǒng)耦合程度高、難控制的問題，肖友剛等[10]利用線性擴張觀測器對系統(tǒng)的耦合部分、非線性部分及擾動部分進行估計并補償，實現(xiàn)各環(huán)節(jié)的自解耦，但其對整體系統(tǒng)缺乏宏觀的解耦控制.許偉[11]將反饋線性化控制策略應(yīng)用到永磁同步電動機這一強耦合、非線性的系統(tǒng)中，獲得精確的控制性能.屈高敏等[12]將反饋線性化解耦理論應(yīng)用到無人機姿態(tài)控制系統(tǒng)中，很好地實現(xiàn)了各自由度之間的解耦，并保證了系統(tǒng)的響應(yīng)速度.雖然反饋線性化解耦在精密控制上有一系列的成果，但其對于直驅(qū)H型平臺應(yīng)用成果卻相對較少.

為解決直驅(qū)H型平臺的機械耦合問題，提高輪廓控制精度，本文設(shè)計了基于反饋線性化解耦的輪廓控制算法.采用反饋線性化理論設(shè)計解耦控制律，將耦合動力學(xué)模型分解為獨立的單輸入單輸出系統(tǒng).設(shè)計了滑模控制器克服系統(tǒng)干擾和未建模動態(tài)等不確定性的影響，進一步提高解耦模型的魯棒性和輪廓跟蹤性能.

1 直驅(qū)H型平臺動力學(xué)模型

直驅(qū)H型平臺集總參數(shù)模型如圖1所示.其中，y1、y2為平行軸的實際位置，la為橫梁長度，θ為橫梁與水平位置夾角，x1為工作臺到橫梁中點的距離(此處忽略了扭轉(zhuǎn)引起的橫梁的水平誤差)，ma為橫梁質(zhì)量(包括y軸電機動子)，me為x軸滑動塊質(zhì)量，d為滑動塊到橫梁中心線的垂直距離，Ja和Je分別為橫梁和滑動塊質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)慣量，le為橫梁上滑動塊的長度.k1和k2為扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)，μgx、μg1和μg2為x軸、y1和y2軸的粘滯摩擦系數(shù)，cx、c1和c2為x軸、y1和y2軸的庫倫摩擦系數(shù).

圖1 直驅(qū)H型平臺集總參數(shù)模型Fig.1 Lumped-parameter model of direct drive H-type platform

定義q=[x1，y1，θ]，則直驅(qū)H型平臺的動力學(xué)模型[13]可表示為

(1)

式中：M為慣性矩陣；B為摩擦力系數(shù)矩陣；K為剛度矩陣；D為前饋余項；Q為相對廣義力矩陣.各項分別表示為

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Qem為在各個自由度上的驅(qū)動力；Qd為在各自由度上的阻力；Sf(·)為近似于sgn(·)的連續(xù)函數(shù).

根據(jù)式(1)可以看出，直驅(qū)H型平臺動力學(xué)模型中的質(zhì)量矩陣為非對角矩陣，因此，直驅(qū)H型平臺各個自由度之間存在動力學(xué)耦合現(xiàn)象.工作臺運動過程中，各軸之間相互作用，影響輪廓控制性能.

2 控制器設(shè)計

2.1 反饋線性化解耦理論

為確保系統(tǒng)完全解耦，需使系統(tǒng)每一個輸出被一個輸入單獨控制.一般情況下，多輸入多輸出非線性系統(tǒng)[14]可描述為

(7)

式中：X∈R2n為狀態(tài)向量；u∈Rn為控制向量；Y∈Rn為輸出向量；f(·)∈R2n、h(·)∈Rn×2n、g(·)∈R2n×n為X的函數(shù)，其中，n為伺服系統(tǒng)的自由度.

根據(jù)李導(dǎo)數(shù)定義，引入李導(dǎo)數(shù)算子L.對于平衡點X0，該非線性系統(tǒng)具有相對階Oi，如果存在：對所有X(X屬于X0的一個鄰域)以及i，j∈n，k

(8)

且n×n矩陣P(X)在平衡點X0處非奇異，P(X)可表示為

(9)

則系統(tǒng)在控制律u(X)=-P-1(X)b(X)+P-1(X)v的作用下可解耦為基于控制律v的線性系統(tǒng)，v=[v1，v2，v3]T為滑模控制器輸出，且

(10)

2.2 直驅(qū)H型平臺反饋線性化解耦

通過式(1)和(6)可知

(11)

f(X)=[X2，f1(X)X4，f2(X)X6，f3(X)]T

(12)

(13)

式中：f1(X)，f2(X)，f3(X)為x1，y1，θ的耦合函數(shù)，則系統(tǒng)輸出表示為

Y=[x1，y1，θ]T

(14)

由式(11)可將式(12)、(13)進一步表示為

(15)

(16)

由于Lg1h2(X)，Lg1h3(X)，…，Lg3h3(X)，Lg3h1(X)皆為零，滿足

(17)

同理，Lfh2=X3，Lfh3=X6，則

M-1

(18)

由于P(X)為非奇異矩陣，可知該系統(tǒng)的相對階Oi=2，則

Z(X)=P-1(X)=

(19)

(20)

令

(21)

由式(19)～(21)可知解耦控制律的表達式為

(22)

由式(22)可以看出，多輸入多輸出的耦合系統(tǒng)通過反饋線性化理論將耦合動力學(xué)模型分解為獨立的單輸入單輸出系統(tǒng)，避免了H型平臺運行過程中各自由度之間存在耦合而影響輪廓控制精度.

2.3 滑模控制器設(shè)計

由于解耦后的系統(tǒng)存在參數(shù)變化、外部擾動等不確定項，因此算法必須具備較強魯棒性.滑模控制對外部擾動和系統(tǒng)參數(shù)攝動具有強魯棒性，有助于減弱反饋線性化控制策略對精確參數(shù)的依賴性.本文在控制器設(shè)計上采用滑模控制策略，從而實現(xiàn)系統(tǒng)的魯棒控制.選取線性滑模面為

(23)

式中：e1=xd-x為x軸跟蹤誤差；e2=yd-y為y軸跟蹤誤差；e3=θd-θ為橫梁與水平之間夾角的誤差；k11、k12、k21、k22、k31、k32為正常數(shù)；xd、yd、θd為參考輸入信號.

(24)

根據(jù)特定的趨近律來設(shè)計滑模控制，既能減小抖振又能保持系統(tǒng)的魯棒性，本文采用指數(shù)趨近律vs進行設(shè)計，可得

(25)

式中：ε1、ε2、ε3和η1、η2、η3均為正常數(shù)；sgn為符號函數(shù).

s1[-ε1sgn(s1)-η1s1]=

(26)

直驅(qū)H型平臺反饋線性化滑模解耦控制系統(tǒng)框圖如圖2所示，虛框內(nèi)為平臺解耦后線性系統(tǒng).

3 實驗結(jié)果與分析

3.1 實驗系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)及參數(shù)

本文實驗系統(tǒng)如圖3所示，主要由上位機、多軸直線電機運動平臺控制箱及多軸運動控制平臺構(gòu)成.實驗平臺及控制器參數(shù)如表1、2所示.實驗中控制器參數(shù)均是經(jīng)過多次調(diào)試選取而得，以保證系統(tǒng)的動、靜態(tài)性能.

3.2 實驗研究

為驗證基于反饋線性化解耦滑模輪廓控制算法的可行性和有效性，針對本文提出的解耦控制方法，分別采用PID控制策略及滑模控制策略對解耦前后系統(tǒng)性能進行分析.

圖2 反饋線性化滑模解耦控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of feedback linear sliding mode decoupling control

表2 控制器參數(shù)Tab.2 Parameters of controller

3.2.1 單軸跟蹤精度對比

直驅(qū)H平臺給定輸入信號為r1=20sin(2πt) mm，r2=20cos(2πt) mm，即給定輸入軌跡為圓形軌跡.

實驗1：在空載條件下進行單軸的軌跡跟蹤實驗.基于PID控制器的位置跟蹤響應(yīng)曲線如圖4所示.系統(tǒng)解耦前的位置跟蹤誤差大約在-12.2～12.5 μm，解耦后的誤差有所減小，大約為-4.8～4.8 μm.這表明在空載狀態(tài)下，本文采用的解耦算法可行有效，將跟蹤誤差減小了58.33%，保證了直驅(qū)H平臺單軸電機的位置跟蹤精度，明顯提高跟蹤性能.

圖4 基于PID控制器的y軸電機位置響應(yīng)曲線Fig.4 Position response curve of y-axis motor based on PID controller

實驗2：由于系統(tǒng)存在參數(shù)變化、外部擾動等不確定項的影響，需要控制器具有較強的魯棒性.在3 s時對系統(tǒng)突加50 N的負載擾動，基于滑模控制的單軸電機位置響應(yīng)曲線如圖5所示.在突加負載擾動時，解耦前的位置跟蹤誤差約為7.8 μm，而解耦后的誤差約為4.2 μm，且在更短的時間內(nèi)恢復(fù)穩(wěn)定，具有較快的響應(yīng)速度.對比圖4、5兩種方法下的位置跟蹤誤差響應(yīng)曲線可以看出，盡管存在負載擾動，滑模控制下的系統(tǒng)仍然具有較小的跟蹤誤差，且解耦后的系統(tǒng)跟蹤精度較高.這表明本方法不但可以保證系統(tǒng)單軸跟蹤精度，還對不確定性具有較強的魯棒性.

圖5 基于滑模控制的y軸電機位置響應(yīng)曲線Fig.5 Position response curve of y-axis motor based on sliding mode control

3.2.2 輪廓誤差對比

為驗證解耦后系統(tǒng)的輪廓跟蹤精度，在實驗2所述的情況下，解耦前后基于滑模控制的H型平臺輪廓誤差曲線如圖6所示.系統(tǒng)解耦前的輪廓誤差約為-1.3～2.1 μm，而在解耦后系統(tǒng)輪廓誤差約為-0.7～0.9 μm，相比于解耦前的系統(tǒng)，輪廓跟蹤精度大大提高.

圖6 基于滑模控制的H型平臺輪廓誤差曲線Fig.6 Contour error curve of H-type platform based on sliding mode control

此外，將本文設(shè)計的輪廓控制方法與文獻[7]的交叉耦合迭代學(xué)習(xí)輪廓控制方法進行對比.在相同的輸入信號下，交叉耦合迭代學(xué)習(xí)輪廓控制的輪廓誤差曲線如圖7所示.從圖7可以看出，該方法控制下的直驅(qū)H型平臺輪廓跟蹤誤差大約在-1.3～1.5 μm之間波動，同圖6b相比，輪廓誤差稍大.這表明，對直驅(qū)H型平臺進行反饋線性化解耦可以很好地改善輪廓跟蹤精度.

圖7 基于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解法交叉耦合迭代學(xué)習(xí)控制的H型平臺輪廓誤差曲線

4 結(jié) 論

本文針對多輸入多輸出直驅(qū)H型平臺的輪廓控制問題，設(shè)計了基于動力學(xué)耦合模型的反饋線性化解耦控制器；同時，利用滑模控制解決系統(tǒng)存在的外部擾動等不確定影響，保證系統(tǒng)的魯棒性.通過實驗表明，基于反饋線性化解耦的直驅(qū)H型平臺滑模輪廓控制方法可以有效解決機械耦合問題，克服不確定性對系統(tǒng)的影響，進而提高了系統(tǒng)的輪廓跟蹤精度和魯棒性.