2022屆高考模擬考試數學試題(本試卷適合新高考地區考生使用)

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830027)

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.時量120分鐘，滿分150分．

第Ⅰ卷

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1.設φ∈R，則“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)為偶函數”是“φ=π”的( ).

A. 充分不必要條件

B. 必要不充分條件

C. 充分必要條件

D. 既不充分也不必要條件

A.第一象限 B. 第二象限

C.第三象限 D. 第四象限

3.已知|a|=2|b|≠0，且關于x的方程x2+|a|x+a·b=0有實根，則a與b的夾角的取值范圍是( ).

A. 恒大于0 B. 恒小于0

C. 等于0 D. 無法判斷

7.如圖1，在等邊△ABC中，D,E分別是線段AB,AC上異于端點的動點，且BD=CE，現將△ADE沿直線DE折起，使平面ADE⊥平面BCED，當點D從點B滑動到點A的過程中，則下列選項中錯誤的是( ).

A. ∠ADB的大小不會發生變化

B. 二面角A-BD-C的平面角的大小不會發生變化

C.BD與平面ABC所成的角變大

D.AB與DE所成的角先變小后變大

圖1

8.設(lnx)2-lnx-2=0的兩根是α，β，則logαβ+logβα=( ).

二、多選題(本大題共4小題，每小題5分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選出的得5分，部分選出的得2分，有選錯的得0分)

10.在發生公共衛生事件期間，有專業機構認為該事件在一段時間內沒有發生大規模群體感染的標志為“連續10天，每天新增疑似病例不超過7人”.過去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數據信息如下：

甲地：中位數為2，極差為5；

乙地：總體平均數為2，眾數為2；

丙地：總體平均數為1，總體方差大于0；

丁地：總體平均數為2，總體方差為3．

則甲、乙、丙、丁四地中，一定沒有發生大規模群體感染的有( ).

A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地

圖2

B. 若b2=ac，則該雙曲線是黃金雙曲線

C. 若∠F1B1A2=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線

D. 若∠MON=90°，則該雙曲線是黃金雙曲線

12.在三棱錐A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=5，AD=BC=7，M，N，P，Q分別為棱AB，CD，AD，BC的中點，則( ).

A. 直線MN是線段AB和CD的垂直平分線

B. 四邊形MQNP為正方形

D. 經過三棱錐A-BCD各個頂點的球的表面積為55π

第Ⅱ卷

三、填空題(本題共4小題，每小題5分)

13.直線y=x與曲線y=2ln(x+m)相切，則m=____．

14.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，則|a1|+|a2|+…+|a7|=____.

15.在我國古代數學著作《孫子算經》中，卷下第二十六題是：今有物，不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？滿足題意的答案可以用數列表示，該數列的通項公式可以表示為an=____.

四、解答題(共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．

已知{bn-an}為等差數列，{bn}的前n項和為Sn，且a1=2，b1=2，b3=14，____，是否存在正整數k，使得Sk>2021？若存在，求k的最小值；若不存在，說明理由．

19.(本小題滿分12分)如圖3，在棱錐P-ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形，底面ABCD是菱形，平面PCD⊥平面ABCD，M是PB的中點，且∠BCD=120°．

(1)求證：PA⊥CD；

(2)求直線PD與平面CDM所成角的正弦值．

圖3

(1)求橢圓C的方程；

21.(本小題滿分12分)在一個系統中，每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度，而系統能正常工作的概率稱為系統的可靠度，為了增加系統的可靠度，人們經常使用“備用冗余設備”(即正在使用的設備出故障時才啟動的設備).已知某計算機網絡服務器系統采用的是“一用兩備”(即一臺正常設備，兩臺備用設備)的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網絡就不會斷掉．設三臺設備的可靠度均為r(0

(1)要使系統的可靠度不低于0.992，求r的最小值；

(2)當r=0.9時，求能正常工作的設備數X的分布列；

(3)已知某高科技產業園當前的計算機網絡中每臺設備的可靠度是0.7，根據以往經驗可知，計算機網絡斷掉可能給該產業園帶來約50萬的經濟損失．為減少對該產業園帶來的經濟損失，有以下兩種方案：

方案1：更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.9，更新設備硬件總費用為8萬元；

方案2：對系統的設備進行維護，使得設備可靠度維持在0.8，設備維護總費用為5萬元．

請從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策?

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)令F(x)=af(x)-x2，若F(x)<1-2ax在x∈(1,+∞)恒成立，求整數a的最大值．

參考答案

一、選擇題

1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.C

8.D 9.AC 10.AD 11.BCD 12.ACD

二、填空題

三、解答題

因為sinA>0，

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，

由余弦定理，得

由△ABC為銳角三角形，可得a2+a2-a+1>1且1+a2-a+1>a2，

18.選①：由log2an+1=log2an+1，得

log2an+1-log2an=1.

所以{log2an}是首項為log2a1=1，公差為1的等差數列.

所以log2an=1+(n-1)×1=n，故an=2n．

又b1=2，b3=14，a1=2，a3=8，

所以b1-a1=0，b3-a3=6.

所以等差數列{bn-an}的公差

所以bn-an=b1-a1+(n-1)d=3(n-1).

所以bn=2n+3(n-1)，

由Sn>2021得n≥10，即存在正整數k，使得Sk>2021，且k的最小值為10．

選②：由an+1=an+2n,得a2-a1=21，a3-a2=22，a4-a3=23，…,an-an-1=2n-1(n≥2).

又a1=2，所以an=2n(n≥2).

顯然a1=2也滿足an=2n(n≥2)，故an=2n.

以下解法同選①．

(an+1-2an)(an+1+an)=0.

所以{an}是首項為2，公比為2的等比數列，所以an=2n.

以下解法同選①．

19.(1)因底面ABCD是菱形，且∠BCD=120°，

所以∠CDA=60°.

連接AC，所以△CDA為等邊三角形．

取CD的中點O，連接AO，PO，則AO⊥CD，PO⊥CD，又AO∩PO=O，AO，PO?平面AOP，

所以CD⊥平面AOP.

又PA?平面AOP，所以CD⊥PA．

(2)因為平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，OP?平面PCD，OP⊥CD，

所以OP⊥平面ABCD.

又OA?平面ABCD，所以OP⊥OA，

又OA⊥CD，PO⊥CD，

所以OA，OP，CD兩兩垂直.

圖4

設n=(x,y,z)為平面CDM的法向量，則

令y=1，則z=-1，故n=(0,1,-1).

由以上兩式解得a2=4，b2=2.

(2)存在這樣的直線．

設所求直線與橢圓相交兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)，

(1+2k2)x2+12kx+14=0.

①

②

△=(12k)2-4×14×(1+2k2)>0，

可得x2=2x1.

③

21.(1)要使系統的可靠度不低于0.992,則P(X≥1)=1-P(X<1)=1-P(X=0)=1-(1-r)3≥0.992,解得r≥0.8,故r的最小值為0.8.

(2)設X為能正常工作的設備數,由題意可知,X～B(3,r).

所以X的分布列為

X0123P0.0010.0270.2430.729

(3)設方案1，方案2的總損失分別為X1,X2.

采用方案1，更換部分設備的硬件, 使得設備可靠度達到0.9,由(2) 可知計算機網絡斷掉的概率為0.001,不斷掉的概率為0.999,因此E(X1) =80000+0.001×500000=80500(元).

采用方案2, 對系統的設備進行維護, 使得設備可靠度達到0.8,由(1) 可知計算機網絡斷掉的概率為0.008,因此E(X2)=50000+0.008×500000=54000(元).

因此, 從期望損失最小的角度, 決策部門應選擇方案2.

①當a≤0時，由f′(x)>0，

所以?x0∈(3,4)，使得

從而h(x)在(1,x0)單調遞減，在[x0,+∞)單調遞增.

所以a

故整數a的最大值為3．