2022屆高考模擬考試理科數學試題

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，時量120分鐘．滿分150分．

第Ⅰ卷

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

2.設全集U=R，集合A={x|0

圖1

A. {x|x≥1} B. {x|x≤1}

C. {x|0

3.有下列四個命題：

①?x∈R，2x2-3x+4>0;

②?x∈{1,-1,0}，2x+1>0;

④?x0∈N*，使x0為29的約數.

其中真命題的個數為( ).

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4.已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f(x)-g(x)=x3-2x2，則f(2)+g(2)=( ).

A. 16 B. -16 C. 8 D. -8

圖2

6.現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加2022年杭州亞運會志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，以下說法正確的是( ).

A.每人都安排一項工作的不同方法數為54

A.39米 B.43米 C.49米 D.53米

圖3

A.ln2-2 B.ln2-1 C.ln3-2 D.ln3-1

12.已知大于1的三個實數a，b，c滿足(lga)2-2lgalgb+lgblgc=0，則a，b，c的大小關系不可能是( ).

A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)．

14.已知向量a=(-1,2)，b=(m,1)，若向量a+b與a垂直，則m=____．

15.鳳山媽祖不僅是美麗汕尾的景點之一，更是漁民航海的方向標．一艘漁船向正北方向航行，在A處看到媽祖在北偏東30°方向．繼續航行了30海里到達B處，看到媽祖在北偏東75°方向．問B處與媽祖的距離是____海里．

三、解答題(解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分12分)為研究家庭收入和食品支出的關系，隨機抽取了10個家庭的樣本，得到數據見下表所示．10個家庭的月收入額與食品支出額數據(單位：百元)

家庭12345678910收入x()20303340151326383543支出y()7981154810910

(1)恩格爾系數是食品支出總額占個人消費支出總額的比重．一個家庭或個人收入越少，用于購買生存性的食物的支出在家庭或個人收入中所占的比重就越大．對一個國家而言，一個國家越窮，每個國民的平均支出中用來購買食物的費用所占比例就越大．恩格爾系數達59%以上為貧困，50～59%為溫飽，40～50%為小康，30～40%為富裕，低于30%為最富裕．根據上述樣本數據，請估計這個國家達到最富裕(恩格爾系數<30%)的家庭比例；

18.(本小題滿分12分)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=AB=4，AA1=6，點E，F分別為CA1與AB的中點．

(1)證明：EF∥平面BCC1B1；

(2)求B1F與平面AEF所成角的正弦值．

(1)證明：Sn+1=2Sn+λ；

(2)是否存在實數使得數列{an}為等比數列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

(1)求拋物線C的方程；

21.(本小題滿分12分)已知函數f(x)=ex-ln(x+t)+t．

(1)若x=0是f(x)的極值點，且f(x)-k≥0在定義域內恒成立，求k的取值范圍；

(2)當t≤2時，證明：f(x)>t．

請考生在第22，23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，做答時請寫清題號.

(1)寫出曲線C的參數方程以及直線l1，l2的極坐標方程；

(2)若直線l1與曲線C分別交于O，A兩點，直線l2與曲線C分別交于O，B兩點，求△AOB的面積．

(1)若a=2，求不等式f(x)≤3的解集；

(2)若關于x的不等式f(x)>4恒成立，求a的取值范圍.

參考答案

一、選擇題

1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A

8.D 9.D 10.A 11.D 12.D

二、填空題

三、解答題

17.(1)由題意可知，10個家庭的恩格爾系數見下表所示：

家庭 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 恩格爾系數/%35 3024.24 27.5 33.33 30.77 30.77 26.32 25.71 23.26

≈0.20．

18.如圖4，連接AC1，BC1．

因為三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱，所以E為AC1的中點.

又因為F為AB的中點，所以EF∥BC1．

又EF?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1,

所以EF∥平面BCC1B1．

(2)以點A1為原點建立如圖3所示的空間直角坐標系A1-xyz.

圖4

則A(0,0,6)，B1(0,4,0)，E(2,0,3)，F(0,2,6).

記B1F與平面AEF所成角為θ，則

所以Sn+1(Sn+1-2Sn-λ)=0.

因為an>0，所以Sn+1>0.

所以Sn+1-2Sn-λ=0.

所以Sn+1=2Sn+λ.

(2)因為Sn+1=2Sn+λ，Sn=2Sn-1+λ(n≥2)，

相減，得an+1=2an(n≥2).

所以{an}從第二項起成等比數列.

因為S2=2S1+λ，即a2+a1=2a1+λ.

所以a2=1+λ>0，得λ>-1.

若使{an}是等比數列，

解得λ=1，經檢驗，符合題意．

故存在λ=1，使得數列{an}為等比數列．

又點Q(x0,4)在拋物線上，所以42=p2,p>0,解得p=4，所以拋物線的方程為y2=8x.

故y1+y2=8m,y1y2=-8n.

解得n=3m-2，所以直線AB的方程為x+2=m(y+3)，恒過定點(-2,-3)．

21.(1)因為f(x)=ex-ln(x+t)+t，

因為x=0是f(x)的極值點，

解得t=1，經檢驗t=1符合題意，此時函數f(x)=ex-ln(x+1)+1，其定義域為(-1,+∞).

設g(x)=ex(x+1)-1，則

g′(x)=ex(x+1)+ex>0，

所以g(x)在(-1,+∞)上單調遞增.

又因為g(0)=0，所以當x>0時，g(x)>0.

即f′(x)>0.

當-1

因此f(x)的最小值為f(0)=2.

因為f(x)-k≥0在定義域內恒成立，

所以k≤f(x)min=2，即k≤2.

(2)要證f(x)=ex-ln(x+t)+t>t，

即證ex-ln>(x+t)>0.

設F(x)=ex-ln(x+t)，即證F(x)>0.

當t≤2，x∈(-t,+∞)時，ln(x+t)≤ln(x+2)，

故只需證明當t=2時，F(x)>0.

故F′(x)=0在(-2,+∞)上有唯一實數根x0，且x0∈(-1,0).

當x∈(-2,x0)時，F′(x)<0，F(x)單調遞減，

當∈(x0,+∞)時，F′(x)>0，F(x)單調遞增，

從而當x=x0時，F(x)取得最小值.

綜上，當t≤2時，F(x)>0，即f(x)>t．

22.(1)依題意，曲線C：(x-3)2+(y-4)2=25.