梁宗明

(甘肅省蘭州市蘭化一中 730060)

一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分.請將答案寫于答題卡上)

1.已知集合M={x|x2-2x-3<0},N={x|-2

A.[-2,1] B.(-1,1] C.(-2,3) D.[1,3)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3. 下列向量中不是單位向量的是( )

A.(1,0) B. (1,1)

4. 等差數列{an}中，a5+a10+a15=30，則a22-2a16的值為( ).

A．-10 B．-20 C．10 D．20

5.樣本數據x1,x2,…,x5的平均數和方差分別為1和4，若yi=xi+a(i=1,2,…,5)，則y1,y2,…,y5的平均數和方差分別為( ).

A．1,4 B．1+a,4+aC．1+a,4 D．1,4+a

6.已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則( ).

A.α∥β且l∥α

B.α⊥β且l⊥β

C.α與β相交,且交線垂直于l

D.α與β相交,且交線平行于l

7.達芬奇的經典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名，畫中女子神秘的微笑，數百年來讓無數觀賞者入迷，現將畫中女子的嘴唇近似的看作一個圓弧(如圖1)，設嘴角A,B間的圓弧長為l，嘴角間的距離為d，圓弧所對的圓心角為θ(θ為弧度角)，則l，d和θ所滿足的恒等關系為( ).

圖1

A．7 B．-7 C．3 D．-3

A.n>19 B.n≥19 C.n<19 D.n≤19?

圖2

A. -1

A．b

二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分)

13.己知函數y=f(x)定義域是[-2,3]，則y=f(2x-1)的定義域是____．

14. 函數y=f(x)的圖象在點P(3,f(3))處的切線方程是y=-2x+7，則f(3)+f′(3)=____.

三、解答題(本大題共6小題，第22題10分，其他題每題12分)

17.設△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知acosB=(2c-b)cosA．

(1)求角A的大小；

18.某海產品經銷商調查發現，該海產品每售出1t可獲利0.4萬元，每積壓1t虧損0.3萬元，根據往年數據，得到年需求量的頻率分布直方圖如圖3所示，將頻率視為概率.

(1)請依據頻率分布直方圖估計年需求量不低于90t的概率，并估計年需求量的平均數.

(2)今年該經銷商欲進貨100t，以x(單位：t，x∈[60,110])表示今年的年需求量，以y(單位：萬元)表示今年的銷售利潤，試將y表示為x的函數解析式，并求今年的年利潤不少于27.4萬元的概率.

圖3

(1)求證：DE⊥平面ABCD；

(2)若EF=2BC，求多面體ABCDEF被平面BDG分成的大、小兩部分的體積比.

(1)證明：|MN|≤4；

(2)設A,B分別為C的右頂點和上頂點，直線y=kx(k>0)與橢圓C交于E,F兩點，求四邊形AEBF面積的取值范圍.

21.已知函數f(x)=excosx-x．

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

選考題(共10分.請考生在第22，23兩題中任選一題做答，如果多做，則按第一題記分)

(1)當k=1時，C1是什么曲線？

(2)當k=4時，求曲線C1與C2的公共點的直角坐標.

23．已知函數f(x)=|x|.

(1)求不等式f(x-1)+f(2x-1)≤2x的解集；

參考答案

一、選擇題

1.D 2.C 3.B 4.A 5.C 6.D 7.A

8.A 9.A 10.C 11.D 12.B

二、填空題

三、解答題

17.(1)由正弦定理，得sinAcosB=2sinCcosA-sinBcosA,得sin(A+B)=2sinCcosA.

18.(1)由題可知，[90,100]之間的頻率為10×(0.1-0.005-0.015-0.05-0.01)=0.2，[100,110]之間的頻率為0.1.所以估計年需求量不低于90t的概率為0.3.

(2)設今年的需求量為x噸，今年的年利潤y為萬元，當0≤x≤100時，y=0.4x-(100-x)×0.3=0.7x-30,當x>100時，y=40.

當90≤x<100，P=0.2，

當100≤x≤110，P=0.1.

所以年利潤不少于27.4萬元的概率為0.7.

所以DE2+CD2=EC2,即DE⊥CD.

又平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE∩平面ABCD=CD,DE?平面CDE，所以DE⊥平面ABCD.

因為BC∥EF,BC∥AD,所以AD∥EF.

所以易知AB⊥平面ADEF.

故多面體ABCDEF被平面BDG分成的大、小兩部分的體積比為11∶1.

由題意知|PF1|=|PM|,|PF2|=|PN|,

|MN|≤|PM|+|PN|=|PF1|+|PF2|=2a=4.

(2)直線AB，EF的方程分別為x+2y=2,y=kx(k>0),設E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中x1

所以點E，F到AB的距離分別為

所以四邊形AEBF的面積為

21.(1)因為f(x)=excosx-x，

所以f′(x)=excosx-exsinx-1.

所以f′(0)=e0cos0-e0sin0-1=0.

又因為f(0)=e0cos0-0=1，

故y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=1.

因為ex>0，所以g′(x)≤0.

所以g(x)≤g(0)=0，即f′(x)≤0.

當x=0時，f(x)有最大值f(0)=1.

選考題(共10分.請考生在第22,23兩題中任選一題做答，如果多做,則按第一題記分)

22．當k=1時，曲線C1:x2+y2=1.

23．解析(1)由題意，得

f(x-1)+f(2x-1)=|x-1|+|2x-1|.

當x>1時,

|x-1|+|2x-1|=x-1+2x-1=3x-2≤2x，

則x≤2,所以1

|x-1|+|2x-1|=1-x+2x-1=x≤2x，

|x-1|+|2x-1|=1-x+1-2x=2-3x≤2x，

(2)由絕對值不等式的性質可得，

f(x+a)+f(x-b-c)

=|x+a|+|x-b-c|

≥|(x+a)-(x-b-c)|

=a+b+c,

=36,

當且僅當b=2a,c=3a時，等號成立.

故f(x+a)+f(x-b-c)≥36.