2022年高考數學模擬試題(新高考)

2022-05-23 01:43:46林國紅

數理化解題研究 2022年13期

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學 528315)

說明：(1)本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分.滿分150分.考試時間120分鐘.

(2)本試卷適用省份：(新高考Ⅰ卷)山東、福建、湖北、江蘇、廣東、湖南、河北；(新高考Ⅱ卷)海南、遼寧、重慶.

一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1．已知集合M={-1,0,1}，N={-3,0,3}，T={-3,-1,1,3}，則( ).

A.M∩N=? B.M∪N=T

C.(M∩N)∪T=TD.(M∪N)∩T=T

A.單調遞增 B.單調遞減

C.有最大值 D.有最小值

4．2021年4月22日是第52個世界地球日，某學校開展了主題為“珍愛地球，人與自然和諧共生”的活動.該校5名學生到A，B，C三個社區做宣傳，每個社區至少分配一人，每人只能去一個社區宣傳，則不同的安排方案共有( ).

A.60種 B.90種 C.150種 D.300種

A.28 B.16 C.12 D.9

A.f(a)

C.f(c)

7．《周髀算經》是中國古代重要的數學著作，其記載的“日月歷法”曰：“陰陽之數，日月之法，十九歲為一章，四章為一部，部七十六歲，二十部為一遂，遂一千五百二十歲，…．生數皆終，萬物復蘇，天以更元作紀歷”．某老年公寓住有19位老人與1位義工，老人與義工的年齡(都為正整數)之和恰好為一遂，其中義工年齡不滿24歲，老人的年齡依次相差1歲，則義工的年齡為( ).

A.18歲 B.19歲 C.20歲 D.21歲

8．已知f(x)=xlnx，若過一點(m,n)可以作出該函數的兩條切線，則下列選項一定成立的是( ).

A.nmlnm

二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)

9．甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再從乙罐中隨機取出一球，以B表示從乙罐取出的球是紅球．則下列結論中正確的是( ).

C.事件B與事件A1相互獨立

D.A1，A2，A3兩兩互斥

A.當M為BD的中點時，△A1MC1的周長最小

B.三棱錐D1-MCB1的體積為定值

C.在線段BD上存在點M，使得AC1⊥A1M

D.在線段BD上有且僅有一個點M，使得∠AMC1=120°

A.點P的軌跡方程為(x-3)2+y2=8

12．已知數列{an}，{bn}均為遞增數列，它們的前n項和分別為Sn，Tn，且滿足an+an+1=2n，bn·bn+1=2n(n∈N*)，則下列結論正確的是( ).

A.0

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13．若函數f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1)是偶函數，則ab=____.

15．已知函數f(x)=|-2x+2|+ex，則f(x)的最小值是____.

圖1

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17．已知公差不為0的等差數列{an}的前n項和為Sn，且S6=36，a1，a3，a13成等比數列.

(1)求數列{an}的通項公式；

(1)求角A；

(2)若b=1，c=3，求BC邊上的中線AD的長.

注：若選擇多個條件分別進行解答，則按第一個解答進行計分.

圖2

(1)求證：AC⊥平面PAD；

(2)若點M為PD的中點，求平面PAB與平面MAC所成二面角的正弦值.

20．有甲、乙兩家公司都需要招聘求職者，這兩家公司的聘用信息如下：

(1)根據以上信息，如果你是該求職者，你會選擇哪一家公司？并說明理由；

(2)某課外實習作業小組調查了1000名職場人士，就選擇這兩家公司的意愿做了統計，得到以下數據分布：

若分析選擇意愿與年齡這兩個分類變量，計算得到的K2的觀測值為k1=5.5513，測得出“選擇意愿與年齡有關系”的結論犯錯誤的概率的上限是多少？并用統計學知識分析，選擇意愿與年齡變量和性別變量哪一個關聯性更大？

P(K2≥k)0.0500.0250.0100.005k3.8415.0246.6357.879

21．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l:x=1，點F(4,0)，動點P到點F的距離是它到直線l的距離的2倍，記P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(1)討論f(x)的單調性；

參考答案

一、選擇題

1.DM∩N={0}，故A錯誤；M∪N={-3，-1，0，1，3}，故B錯誤；(M∩N)∪T={0}∪{-3，-1，1，3}={-3，-1，0，1，3}，故C錯誤；(M∪N)∩T={-3，-1，0，1，3}∩{-3，-1，1，3}={-3，-1，1，3}=T，故D正確.

8．A 設切點為(t,tlnt)，對函數f(x)求導得f′(x)=lnx+1，則切線斜率為f′(t)=lnt+1.所以切線方程為y-tlnt=(lnt+1)(x-t).即y=(lnt+1)x-t.所以n=m(lnt+1)-t，可得t-mlnt+n-m=0.令g(t)=t-mlnt+n-m，其中t>0，由題意可知，方程g(t)=0有兩個不等的實根.

①當m≤0時，對任意的t>0，g′(t)>0，此時函數g(t)在(0,+∞)上單調遞增，則方程g(t)=0至多只有一個根，不合乎題意；②當m>0時，當0m時，g′(t)>0，此時函數g(t)單調遞增.由題意可得g(t)min=g(m)=m-mlnm+n-m=n-mlnm<0，可得n

9．AD 由題意知A1，A2，A3兩兩互斥，故D正確；

圖3

所以MA1+MC1

所以Δ<0，無解，D錯.

即(x+1)2+y2=2[(x+1)2+y2].

化簡，得(x-3)2+y2=8.

即點P軌跡方程為(x-3)2+y2=8，A正確；

因為直線AB過圓(x-3)2+y2=8的圓心，

12.ACD 由{an}是遞增數列，得a1

所以0

S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=2+6+10+…+2(2n-1)=2n2，故B不正確；

由{bn}是遞增數列，得b1

故T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)

13. 由f(x)為偶函數可得f(-x)=f(x).

所以(ax+bx)[(ab)x-1]=0．

因為x∈R，且a>0，b>0，a≠1，b≠1，得ab=1.

圖4

15. 因為函數f(x)=|-2x+2|+ex，

當x≤1時，f′(x)=ex-2，由f′(x)=0解得x=ln2，當xln2時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，所以f(x)min=f(ln2)=eln2-2ln2+2=-2ln2+4.

當x>1時，f′(x)=ex+2，f′(x)>0，f(x)單調遞增，此時f(x)無最小值.

所以f(x)的最小值是-2ln2+4.

所以an=1+2(n-1)=2n-1.

整理，得b2+c2-a2=bc.

b2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠CDA，

c2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠BDA.

又BD=CD，cos∠CDA=-cos∠BDA，

從而AN2+AD2=DN2.

所以∠DAN=90°，故AC⊥AD，

因為PA⊥平面ABCD，而AC在平面ABCD中，

所以PA⊥AC，PA∩AD=A，且PA,AD都在平面PAD內，所以AC⊥平面PAD.

圖5

設平面PAB與平面MAC的一個法向量分別為n1=(x1,y1,z1)，n2=(x2,y2,z2)，平面PAB與平面MAC所成二面角為θ，且θ為銳角.

20. (1)設甲公司與乙公司的月薪分別為隨機變量X，Y，則E(X)=6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1=7000，E(Y)=5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0.1=7000，D(X)=(6000-7000)2×0.4+(7000-7000)×0.3+(8000-7000)2×0.2+(9000-7000)2×0.1=10002，D(Y)=(5000-7000)2×0.4+(7000-7000)2×0.3+(9000-7000)2×0.2 +(11000-7000)2×0.1=20002，則E(X)=E(Y)，D(X)

(2)因為k1=5.5513>5.024，故根據表中對應值得出“選擇意愿與年齡有關系”的結論犯錯的概率的上限是0.025，由數據分布可得選擇意愿與性別兩個分類變量的2×2列聯表如下：