高考考查復數的若干視角

廖永福

(福建省廈門第二中學 361009)

復數的考查主要體現在以下四個方面：復數的運算、復數的有關概念、復數的性質、復數的幾何意義等.其中復數的運算是考查的重中之重，其它方面的考查大多圍繞復數的運算展開.

1 復數的運算

復數的運算主要是指加、減、乘、除和乘方運算，是高考的高頻考點，熟練掌握運算法則和運算律是解題的關鍵.

例1 (2018年全國Ⅲ卷理2)(1+i)(2-i)=( ).

A．-3-i B．-3+i C．3-i D．3+i

分析根據復數的乘法法則進行計算．

解析(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i.

故選D.

點評本題主要考查復數的乘法運算，體現了數學運算等核心素養，屬于基礎題．

A．1 B．-1 C．i D．-i

分析可用復數的運算法則求解，也可用虛數單位的性質求解，還可用驗證法求解.

點評本題主要考查復數的乘除運算，體現了數學運算等核心素養，屬于基礎題. 解法1是常規方法；解法2根據算式的特點，利用-1=i2另辟蹊徑，巧妙作答；解法3根據單選題的特點，用驗證法直接找出正確選項.

例3 (2020年全國Ⅱ卷文2)(1-i)4=( ).

A．-4 B．4 C．-4i D．4i

分析根據冪的運算性質和完全平方公式進行求解即可.

解析(1-i)4=[(1-i)2]2=(1-2i+i2)2=(-2i)2=-4.故選A.

點評本題主要考查復數的乘方運算，體現了數學運算等核心素養，屬于基礎題.

例4 (2021年全國甲卷理3)已知(1-i)2z=3+2i，則z=( ).

分析可用復數的運算法則求解，也可用復數相等的定義求解，還可用驗證法求解.

解法2 設z=a+bi(a,b∈R)，則

(1-i)2(a+bi)=3+2i.

即2b-2ai=3+2i.

根據復數相等的定義，得2b=3且-2a=2，

點評本題主要考查復數的乘除運算，體現了數學運算等核心素養，屬于基礎題.解法1是常規解法；解法2設z=a+bi(a,b∈R)，根據復數相等的定義求解；解法3根據單選題的特點，用驗證法直接找出正確選項.

練習1 (2020年全國新高考Ⅱ卷2)(1+2i)·(2+i)=( ).

A．4+5i B．5i C．-5i D．2+3i

練習3(2021年全國乙卷文2)設iz=4+3i，則z=( ).

A．-3-4iB．-3+4i C．3-4i D．3+4i

2 復數的有關概念

復數的有關概念包括復數的實部和虛部、復數的模、共軛復數、復數的相等、實數、虛數和純虛數等，這些概念一般都和復數的運算結合起來考查，準確理解概念是解題的關鍵.

分析利用復數的除法法則求出z即可.

點評本題主要考查復數的除法運算和復數虛部的定義，體現了數學運算等核心素養，屬于基礎題.

例6 (2020年全國Ⅰ卷文2)若z=1+2i+i3，則|z|=( ).

分析先根據i2=-1將z化簡，再根據復數模的公式求解．

點評本題主要考查復數的運算和復數模的定義，體現了數學運算等核心素養，屬于基礎題．

A．6-2i B．4-2i C．6+2i D．4+2i

分析利用復數的乘法和共軛復數的定義可求得結果.

點評本題主要考查復數的運算和共軛復數的定義，體現了數學運算等核心素養，屬于基礎題．

a-i=(2+i)x=2x+xi.

又因為a∈R，所以a=2x且x=-1，所以a=-2.

例9 (2017年浙江卷12)已知a,b∈R，(a+bi)2=3+4i(i是虛數單位)則a2+b2=____，ab=____．

分析先利用乘法公式展開(a+bi)2，再利用復數相等的定義求出a2,b2的值.

解析(a+bi)2=a2-b2+2abi.

解得a2=4,b2=1.所以a2+b2=5,ab=2．

點評本題主要考查復數的運算和復數相等的定義，體現了數學運算等核心素養，屬于基礎題．

A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i

3 復數的性質

復數有許多特殊的性質，如模的性質和共軛復數的性質等，熟記這些性質，可以化繁為簡、化難為易，提高解題效率.

3.1 模的性質

(1)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；

(2)|z1·z2|=|z1|·|z2|；

(4)|zn|=|z|n(n∈N*).

例10 (2020年全國Ⅰ卷理1)若z=1+i，則|z2-2z|=( ).

分析注意到z2-2z=z(z-2)，可用復數模的性質(2)求解.

點評本題主要考查復數模的定義及其性質(2)，體現了數學運算等核心素養，屬于基礎題.

分析利用復數模的性質(3)求解.

點評本題主要考查復數模的定義及其性質(3)，體現了數學運算等核心素養，屬于基礎題.

分析利用復數模的性質(4)求解.

所以|z2|=|-3|，即|z|2=3.

點評本題主要考查復數模的定義及其性質(4)，體現了數學運算等核心素養，屬于基礎題.

練習6(2018年上海卷9)已知復數z滿足(1+i)z=1-7i(i是虛數單位)，則|z|=____．

3.2 共軛復數的性質

分析利用共軛復數的性質(5)求解.

故選D.

點評本題主要考查共軛復數的性質(5)的應用，體現了數學運算等核心素養，屬于基礎題.

A．1-2i B．1+2i C．1+i D．1-i

①

②

由①×5+②，得24z=24+24i，

所以z=1+i.故選C.

點評本題主要考查復數的運算和共軛復數的性質(1)和(2)的應用，體現了數學運算等核心素養，屬于基礎題.

A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i

A．1-i B．1+i C．-i D．i

4 復數的幾何意義

復數集C和復平面內所有點組成的集合是一一對應的，復數集C與復平面內所有以原點為起點的向量組成的集合也是一一對應的，即

因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合法，使問題的解決更加直觀明了.

例15 (2019年全國Ⅰ卷理2)設復數z滿足|z-i|=1，z在復平面內對應的點為(x，y)，則( ).

A．(x+1)2+y2=1 B．(x-1)2+y2=1

C．x2+(y-1)2=1 D．x2+(y+1)2=1

分析由復數的幾何意義寫出z的表達式，再由|z-i|=1求解．

解析由題意，得z=x+yi.

因為|z-i|=1，所以|x+yi-1|=1.

所以x2+(y-1)2=1．

故選C．

點評本題主要考查復數的幾何意義和模的運算，體現了直觀想象和數學運算等核心素養,屬于基礎題.

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

分析先求出復數的共軛復數，再根據幾何意義得出對應點位于第幾象限.

點評本題主要考查復數的運算、共軛復數及復數的幾何意義，體現了直觀想象和數學運算等核心素養,屬于基礎題.

分析根據復數的幾何意義畫出圖形，找到復數對應的向量z1-z2，求出模即可.

圖1

所以OZ1=Z1P=OP=2.

點評本題主要考查復數的運算和復數的幾何意義，體現了直觀想象和數學運算等核心素養,屬于中檔題.

練習10(2020年北京卷2)在復平面內，復數z對應的點的坐標是(1,2)，則i·z=( )．

A．1+2i B．-2+i C．1-2i D．-2-i

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

練習答案

1.B 2.D 3.C 4.D 5.C 6.5；