2021年全國甲卷理第5題的多視角解答賞析

李 勇

(貴州省貴陽市息烽縣第一中學 551100)

1 試題呈現

題目已知F1，F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，則C的離心率為( ).

2 試題解答

解析不妨設C是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線，如圖1所示.

視角1特值法(條件附值推結果).

令a=1，則|PF2|=1，|PF1|=3.

圖1

在△F1PF2中，由余弦定理，得

點評對部分條件附值，有利于降低試題在運算過程中的難度，提高解題效率.

視角2 特值法(結果附值，驗證是否滿足條件).

在△F1PF2中，由余弦定理,得

點評對目標附值，通過逆向思維，驗證是否滿足條件，排除選項，這是在解答選擇題時常用的一種方法，它也有利于降低試題在運算過程中的難度，提高解題效率.

視角3 排除法(點與圓的位置關系).

因為O為F1F2的中點，

因為∠F1PF2=60°，

所以點P在以F1F2為直徑的圓的外部.

所以排除B，C，D，故選A.

視角4排除法(大角對大邊，大邊對大角).

由|PF1|=3a，|PF2|=a，|F1F2|=2c，

得|PF2|最小.

若|F1F2|最大，由∠F1PF2=60°，

則△PF1F2的內角和小于180°，這與三角形的內角和定理矛盾.

故|PF1|最大，所以∠PF2F1>∠F1PF2=60°.

所以排除B，C，D，故選A.

點評利用大角對大邊，大邊對大角，得出a，c的關系，從而得出離心率的范圍，排除其他選項.

視角5面積法(已知三角形兩邊和它們的夾角的面積公式和海倫公式).

由|PF1|=3a，|PF2|=a，|F1F2|=2c，

得|PF2|最小.

若|F1F2|最大，由∠F1PF2=60°，則△PF1F2的內角和小于180°，這與三角形的內角和定理矛盾.

故|PF1|最大，所以∠PF2F1>∠F1PF2=60°.

所以3a>2c.

點評利用等面積法計算出離心率的值，再利用大角對大邊，大邊對大角排除干擾答案.

視角6面積法(雙曲線焦點三角形的面積公式和海倫公式).

點評利用等面積法計算出a，b，c的關系，再配合a2+b2=c2，解出a，b關系，最后利用離心率公式求解.

視角7面積法(已知三角形兩邊和它們的夾角的面積公式和雙曲線焦點三角形的面積公式).

點評利用等面積法計算出a，b的關系，然后利用離心率公式求解.

視角8面積法(雙曲線焦點三角形的面積公式和雙曲線的焦半徑公式).

設點P的坐標為(x0，y0),

由雙曲線的右焦半徑公式,得

|PF2|=ex0-a.

則4a2-3b2=c2.

點評利用等面積法計算出點P的縱坐標，利用焦半徑公式計算出點P的橫坐標，然后將其代入雙曲線的方程中，解出a，b，c的關系，再配合a2+b2=c2，解出a，b關系，最后利用離心率公式求解.

視角9余弦定理.

在△F1PF2中，由余弦定理，得

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2.

點評直接利用余弦定理解出a，c的關系，再后利用離心率公式求解.

視角10正弦定理.

因為|PF1|=3|PF2|，由正弦定理,得

sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.

又因為∠F1PF2=60°，

所以∠PF2F1+∠PF1F2=120°.

所以3sin∠PF1F2=sin(120°-∠PF1F2)

=sin120°·cos∠PF1F2-cos120°·sin∠PF1F2

又因為sin2∠PF1F2+cos2∠PF1F2=1，

在ΔF1PF2中，由正弦定理,得

點評多次利用正弦定理解出a，c的關系，再利用離心率公式求解.

視角11正弦定理→雙曲線的離心率公式.

因為|PF1|=3|PF2|，由正弦定理,得

sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.

又因為∠F1PF2=60°，

所以∠PF2F1+∠PF1F2=120°.

所以3sin∠PF1F2=sin(120°-∠PF1F2).

所以3sin∠PF1F2=sin120°·cos∠PF1F2-cos120°·sin∠PF1F2.

又因為sin2∠PF1F2+cos2∠PF1F2=1，

由雙曲線的離心率公式

點評利用正弦定理解出三角形的三個內角的正弦值，再利用離心率公式求解.

視角12正弦定理→雙曲線的焦半徑公式.

因為|PF1|=3|PF2|，由正弦定理,得

sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.

又因為∠F1PF2=60°，

所以∠PF2F1+∠PF1F2=120°.

所以3sin∠PF1F2=sin(120°-∠PF1F2).

所以3sin∠PF1F2=sin120°·cos∠PF1F2-cos120°·sin∠PF1F2.

又因為sin2∠PF1F2+cos2∠PF1F2=1，

設直線PF2的傾斜角為θ，

則cosθ=cos(∠PF1F2+60°)

=cos∠PF1F2·cos60°-sin∠PF1F2·sin60°

由雙曲線的焦半徑公式

又a2+b2=c2，

故選A.

點評利用正弦定理解出焦半徑所在直線的傾斜角的余弦值，代入焦半徑公式中得出a，b，c的關系，再配合a2+b2=c2，解出離心率.

不管解答哪一類試題都要掌握其實質，掌握其規律，規范其步驟，探究其變式.久而久之，學生的數學思維能力、數學解題能力、數學核心素養等定會有大幅度的提升.