對2020年全國Ⅰ卷第20題的推廣探究

董 強

(陜西省西安市第八十五中學 710061)

1 真題呈現

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

2 真題解析

2.1 第(1)問解析

2.2 第(2)問解析

證法1設C(x1,y1)，D(x2,y2)，P(6,t).若t≠0，設直線CD的方程為x=my+n，由題意可知-3

可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).

可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3).

即(27+m2)y1y2+m(n+3)(y1+y2)+(n+3)2=0.

①

得(m2+9)y2+2mny+n2-9=0.

代入①式,得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0.

(9+t2)x2+6t2x+9(t2-9)=0.

直線CD的方程為4tx+3(t2-3)y-6t=0.

3 剖析聯想

出于對解析幾何試題的敏感，筆者猜想第(2)問中直線所過的定點一定與題設中橢圓的相關參數及所給定的直線方程數據等有某種聯系，最后的定點在x軸上，且其橫坐標恰好是橢圓長半軸長的一半，而此時也正好有題設中垂直于x軸的直線方程中的數值恰好是橢圓長軸長，這僅僅是一種巧合，還是可以進行一般意義上的某種推廣？直覺是否可靠，能不能進行更一般的推廣？

4 結論推廣

4.1 橢圓中一般情形

證明可以參考真題第(2)問證法，請讀者自證.由橢圓的對稱性易得下面的結論.

根據推理的等價性進行逆向思考，會得到如下的結論.

具體證明過程請感興趣的讀者自己完成，以上三條對應于y軸的相應結論請讀者自己陳述.

4.2 雙曲線中相應的結論

眾所周知，橢圓和雙曲線在很多時候具有相同或者相似的性質，那么上述的結論對于雙曲線而言是否成立呢？

4.3 圓中相應的結論

圓可以看作是特殊的橢圓，具有橢圓中很多相應的性質，上述三條結論在圓中同樣成立.

5 教學反思

2020年全國Ⅰ卷理科第20題證明過程較為繁瑣，但是圖形卻給人留下了深刻的印象，在課堂教學過程中，諸如此類的試題有很多，高中數學課本中的很多例習題(如文獻[1])都可進行必要的探究.愛因斯坦說：提出一個問題比解決一個問題更加重要，充分利用這類試題可以很好地培育同學們大膽猜想的數學素養，提高學習數學的興趣，對數學直覺、數感和數學學科核心素養的提升大有幫助.