2021年全國Ⅰ卷理科解析幾何壓軸題的多角度探析

彭耿鈴

(福建省泉州市第七中學;福建教育學院數學教育研究所 362000)

2021年全國Ⅰ卷理科解析幾何壓軸題，突出學科素養和區分導向，著重考查考生的運算能力以及綜合運用數學思想方法分析問題、解決問題的能力，體現了解析幾何壓軸的應用價值，在考試評價中落實區分度的根本任務，對選拔高層次人才有很好的導向和選拔作用.

1 試題呈現

(1)求C的方程；

2 試題解析

2.1 第(1)問解析

2.2 第(2)問解析

消去y并整理,得

由韋達定理,得

設直線PQ的斜率為k2，同理可得

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

顯然k1-k2≠0，故k1+k2=0.

因此，直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

解法2(兩根法) 同解法1,得

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

即kAB,kPQ為方程(t2+12-m)k2+t2+16m+12=0的兩根.所以kAB+kPQ=0.

因此，直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

下同解法1，得

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

即(kAB-kPQ)(kAB+kPQ)=0.

顯然kAB≠kPQ，故kAB+kPQ=0.

因此，直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

(16m2-1)y2+32mny+16(n2-1)=0.

由韋達定理,得

所以|TA|·|TB|=(1+m2)(y1-t)(y2-t)

同理設直線PQ的方程為x=ay+b，

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

整理，得m2=a2.

即(m-a)(m+a)=0.

顯然m-a≠0，故m+a=0.

所以直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

設直線AB的方程為x=my+n，直線PQ的方程為x=ay+b，則

所以|TA|·|TB|=(1+m2)(y1-t)(y2-t).

下同解法4,得

|TA|·|TB|=(1+m2)(y1-t)(y2-t)

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

整理,得m2=a2.

即(m-a)(m+a)=0.

顯然m-a≠0，故m+a=0.

所以直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

解法6(巧用圓系方程) 因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

所以A,B,P,Q四點共圓.

設直線AB的方程為x=my+n，

直線PQ的方程為x=ay+b，

構造同時過A,B,P,Q四點的二元二次曲線系方程：λ(16x2-y2-16x)+(x-my-n)(x-ay-b)=0，

因為此方程表示的曲線為圓，

所以x·y的系數-(m+a)=0.

所以直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

不妨設|TA|=t1,|TB|=t2，則

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

因為lAB和lPQ不重合，所以θ1≠θ2.

故θ1=π-θ2.

所以直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

設T(0,n)，lAB:y=mx+n，lPQ:y=kx+n，

得(16-m2)x2+(16-2mn)x-(n2+12)=0.

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則由韋達定理，得

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

所以整理可得m2=k2.

即(m-k)(m+k)=0.

顯然m≠k，故m+k=0.

因此，直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

lAB:y=k1x，lPQ:y=k2x.

設A(t1,y1)，B(t2,y2)，則由韋達定理,得

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

即(k1-k2)(k1+k2)=0.

顯然k1≠k2，故k1+k2=0.

因此，直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

以上的九種證明方法從不同角度合理地解決問題，因此教師在日常教學中，應引導學生多視角思考，引導學生用不同方法來解決數學問題，引導學生以平易近人的思維探尋壓軸題的解題思路，如何以自然而然的思維來解決壓軸題，這樣才能更好地培養學生的思維品質，提高學生運算、分析問題和解決問題的能力，從而提高學生的數學核心素養.