探析2021年全國高考新課標Ⅰ卷第19題

許順龍

(福建省漳州市臺商投資區角美中學 363107)

2021年三角函數試題形式略有創新，既考查了學生對基礎知識的理解和應用，又考查了學生化繁為簡的運算能力，以及數形結合、轉化與化歸等數學思想.試題重視對學科觀念、規律及學生數學學科核心素養的考查.因此，深入研究及進行適量的訓練，對學生來說必不可少.

1 試題呈現

題目記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b.

(2)若AD=2DE,求cos∠ABC

2 試題解析

2.1 第(1)小題解析

思路1利用正弦定理將b2=ac中b和c的關系轉化為sinB和sinC的關系，再對比已知條件BDsin∠ABC=asinC，即可證得BD=b.

思路2利用正弦定理將BDsin∠ABC=asinC中的sin∠ABC和sinC關系轉化為b和c的關系，再利用已知條件b2=ac，即可證得BD=b.

思路4 利用正弦定理得到bsinC=csinB，兩邊同時乘以a，再利用已知條件b2=ac，轉化成bsin∠ABC=asinC，從而對比已知條件BDsin∠ABC=asinC，即可證得BD=b.

思路6將BDsin∠ABC=asinC中的sin∠ABC轉化成sin(A+C)，利用兩角和正弦公式展開，再利用余弦定理公式，也可得到BD·b=a·c，再利用已知條件b2=ac，即可證得BD=b.

思路7利用平面幾何知識，過點B作高構造直角三角形，得BDsin∠BDA=asinC，從而得到sin∠BDA=sin∠ABC，然后利用三角形相似來證明.

解法1由正弦定理(或“b2=ac”),得

bsin∠ABC=asinC.

又因為BDsin∠ABC=asinC，所以BD=b.

解法2 由正弦定理(或“BDsin∠ABC=asinC”)可得BD·b=ac.

因為b2=ac，所以BD=b.

解法3 在△ABC中，由正弦定理,得

所以BD=b.

解法4在△ABC中，由正弦定理,得

bsinC=csin∠ABC,

兩邊同時乘以a,得

absinC=acsin∠ABC.

又因為b2=ac，所以bsin∠ABC=asinC.

又因為BDsin∠ABC=asinC,

所以BD=b.

解法5由三角形面積,得

又因為b2=ac,所以bsin∠ABC=asinC.

又因為BDsin∠ABC=asinC，所以BD=b.

解法6因為BDsin∠ABC=asinC,

所以BDsin(A+C)=asinC.

所以BD(sinAcosC+cosAsinC)=asinC).

由正弦定理、余弦定理,得

整理,得BD·b=ac.

因為b2=ac, 所以BD=b.

解法7過點B作BE⊥AC,

在△ABC中，BE=asinC,

在△BDE中，BE=BDsin∠BDE,

所以BDsin∠BDE=asinC.

又因為BDsin∠ABC=asinC,

所以sin∠BDE=sin∠ABC,

所以∠BDE=∠ABC或∠BDE+∠ABC=π.

①當∠BDE=∠ABC時，得△BCD∽△ABC.

因為b2=ac,所以BD=b.

②同理，當∠BDE+∠ABC=π時，BD=b.

2.2第(2)小題解析

思路1在△ABC與△BCD中,分別求得cosC，得到6a2-11ac+3c2=0,從而得到a和c的關系式，再結合b2=ac，即可得到cos∠ABC.

思路2 不妨設BD=b，在△BCD和△ABD中運用余弦定理得出cos∠BDC與cos∠BDA,再由∠BDC+∠BDA=π，結合b2=ac，即可求出a和c，進而得到cos∠ABC.

思路3結合BD=b，在△BCD和△ABD中運用余弦定理得出cos∠BDC與cos∠BDA,再由∠BDC+∠BDA=π，得到6a2-11ac+3c2=0，從而得到a和c的關系式，再結合b2=ac，即可得到cos∠ABC.

因為b2=ac所以,6a2-11ac+3c2=0.

解法2 不妨設BD=3,則AD=2,DC=1,b=3.

在△BCD和△ABD中，由余弦定理,得

由于∠BDC+∠BDA=π,

所以2a2+c2=33.

解法3 由(1)得BD=b.

在△BCD和△ABD中，由余弦定理,得

由于∠BDC+∠BDA=π,b2=ac,

所以6a2-11ac+3c2=0

解法4 設θ=∠ABC，則

又在△ABC中，由余弦定理，得

b2=a2+c2-2accosθ.

因為b2=ac,所以6a2-11ac+3c2=0,

①

又在△ABC中，由余弦定理，得

b2=a2+c2-2accosθ.

②

3 教學啟示

本道試題所涉及到的知識點與求解方法體現了高考不回避熱點問題，不回避平時常考的考點和常用的方法.這就啟發我們在高三復習時一定要講透這類題型及其相應的求解策略.讓學生把知識內化成自己的能力，從而精準得分.具體做法如下：

3.1 強化思想方法，提升數學能力

在三角函數模塊的復習中，尤其要重視函數與方程思想、數形結合思想、轉化與化歸思想的應用.在正余弦定理的教學中，不僅要深挖公式的正用、逆用、變用功能，更要挖掘等式中蘊含的數學思想——方程思想，還要樹立方程到不等式的模型，從而順利地解決一些有關周長、面積的最值或范圍問題.因此，在復習備考中，要特別重視數學思想和方法的滲透，不能只講題型，不講思想和方法，否則學生就只會套題型，不會自己獨立思考，當然也就不能提高能力.

3.2 關注新課標里向量工具性的作用

新課標在正弦定理和余弦定理部分是這樣說明的:借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理.而舊版課標是這樣說明的：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.從變化中可以看出，新課標凸顯了向量在解三角形中的工具性作用.

3.3 重視平面幾何知識點的滲透

本題第(1)小題解法7借助平面幾何知識，從而順利地解決問題.新高考刪除選考內容，意味著幾何證明選講部分內容不再單獨出現，但是很多的幾何圖形性質又能起到簡化運算的功能，體現多思少算的新高考理念，尤其是解析幾何等內容體現得尤為明顯.因些，在解三角形的教學中應重視平面幾何知識的滲透，提升學生的直觀想象與數學運算素養，從而達到事半功倍的效果.

3.4 潛心研討高考真題，領悟高考命題規律

高考真題是命題者依綱靠本、科學而精心設計的典型題目，它聚集了專家、優秀老師的集體智慧，它不僅在一定程度上濃縮了課本上重要的基礎知識與基本技能，而且還蘊含著豐富的數學思想和方法，能夠折射出高考的基本走向和考查的深度與廣度.為了避免題海戰術，讓學生真正跳出題海，只有教師跳出題海，潛心研討高考歷年真題，方能領悟高考命題規律.