函數極值點偏移和拐點偏移問題的探究

鄧啟龍

(廣東省中山紀念中學 528454)

函數極值點偏移問題是近幾年高考的熱點,類似的,函數也存在拐點偏移,處理極值點偏移和拐點偏移問題,有一些成熟有效的方法,比如構造對稱函數、利用對數平均不等式等.

1 極值點偏移

已知函數y=f(x)在(a,b)上連續,且在(a,b)內只有一個極值點x0.

若f(x)在(a,b)上先單調遞減后單調遞增,筆者經過深入探究,發現f(x)在(a,b)上極值點是左偏還是右偏,取決于f?(x)在(a,b)上的符號．

定理1 已知函數f(x)在(a,b)內只有一個極值點x0,當x∈(a,x0)時,f′(x)<0,當x∈(x0,b)時,f′(x)>0.若任意x∈(a,b),f?(x)>0(<0)恒成立,則f(x)在(a,b)上極值點x0右偏(左偏).

所以只需證f(x2)

即f(x1)

構造函數g(x)=f(x)-f(2x0-x),x∈(a,x0),

則g′(x)=f′(x)+f′(2x0-x),

g″(x)=f″(x)-f″(2x0-x).

若任意x∈(a,b),f?(x)>0恒成立,

則f″(x)在(a,b)上單調遞增.

當x∈(a,x0)時,x<2x0-x,

f″(x)

得g″(x)<0,x∈(a,x0).

于是g′(x)在(a,x0)上單調遞減.

所以x∈(a,x0),g′(x)>g′(x0)=2f′(x0)=0.

于是g(x)在(a,x0)上單調遞增.

得x∈(a,x0),g(x)

由x1∈(a,x0),得g(x1)<0.

即f(x1)

得f(x2)

由f(x)在(x0,b)上單調遞增,

得x2<2x0-x1.

所以f(x)在(a,b)上極值點x0右偏．

若任意x∈(a,b),f?(x)<0恒成立,

同理可得f(x)在(a,b)上極值點x0左偏．

定理1給出了在(a,b)上先單調遞減后單調遞增的函數f(x)的極值點偏移情況的判定方法,若f(x)在(a,b)上先單調遞增后單調遞減,類似地,有以下定理(證明略):

定理2 已知函數f(x)在(a,b)內只有一個極值點x0,當x∈(a,x0)時,f′(x)>0,當x∈(x0,b)時,f′(x)<0.若任意x∈(a,b),f?(x)>0(<0)恒成立,則f(x)在(a,b)上極值點x0左偏(右偏).

2 拐點偏移

已知函數y=f(x)在(a,b)上連續,且在(a,b)內只有一個拐點x0.

若函數f(x)在(a,b)上單調遞增且只有一個拐點x0,筆者經過深入探究,發現f(x)在(a,b)上拐點是左偏還是右偏,取決于f(4)(x)在(a,b)上的符號.

定理3 已知函數f(x)在(a,b)上單調遞增且只有一個拐點x0,在(a,x0)和(x0,b)上f″(x)異號.若任意x∈(a,b),f(4)(x)>0(<0)恒成立,則f(x)在(a,b)上拐點x0右偏(左偏).

因為f(x)在(a,b)上單調遞增,

所以只需證f(x2)

由f(x1)+f(x2)=2f(x0),得

f(x2)=2f(x0)-f(x1).

只需證2f(x0)-f(x1)

即2f(x0)

構造函數g(x)=f(x)+f(2x0-x),x∈(a,x0),

則g′(x)=f′(x)-f′(2x0-x),

g″(x)=f″(x)+f″(2x0-x)，

g?(x)=f?(x)-f?(2x0-x).

若任意x∈(a,b),f(4)(x)>0恒成立,則f?(x)在(a,b)上單調遞增.

當x∈(a,x0)時,x<2x0-x,f?(x)

得g?(x)<0,x∈(a,x0).

于是g″(x)在(a,x0)上單調遞減.

所以x∈(a,x0),g″(x)>g″(x0)=2f″(x0)=0,

于是g′(x)在(a,x0)上單調遞增,

得x∈(a,x0),g′(x)

于是g(x)在(a,x0)上單調遞減,

得x∈(a,x0),g(x)>g(x0)=2f(x0).

由x1∈(a,x0),得g(x1)>2f(x0).

即f(x1)+f(2x0-x1)>2f(x0),

得2f(x0)-f(x1)

于是f(x2)

由f(x)在(a,b)上單調遞增,得

x2<2x0-x1.

所以f(x)在(a,b)上拐點x0右偏．

若任意x∈(a,b),f(4)(x)<0恒成立,

同理可得f(x)在(a,b)上拐點x0左偏．

定理3給出了在(a,b)內先上凸(下凸)后下凸(上凸)的單調遞增函數f(x)的拐點偏移情況的判定方法,若單調遞減函數f(x)在(a,b)內先下凸(上凸)后上凸(下凸),類似地,有以下定理(證明略):

定理4 已知函數f(x)在(a,b)上單調遞減且只有一個拐點x0,在(a,x0)和(x0,b)上f″(x)異號.若任意x∈(a,b),f(4)(x)>0(<0)恒成立,則f(x)在(a,b)上拐點x0左偏(右偏).

3 典型例題

下面給出幾個典型的函數極值點偏移和拐點偏移問題,并結合本文的定理加以分析.

例1 已知函數f(x)=x-lnx-a有兩個零點x1,x2(x1

證明易得a>1.

(1)先證x1+x2>2.

f(x)在(0,+∞)上只有一個極值點1.

當x∈(0,1)時,f′(x)<0,當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0.

所以任意x∈(0,+∞),f?(x)<0恒成立.

由定理1得f(x)在(0,+∞)上極值點左偏,

(2)再證x1+x2<2a.

由f(x)=x-lnx-a=0,得

x-a=lnx,ex-a-x=0.

構造函數g(x)=ex-a-x,則

g(x1)=g(x2)=0.

由g′(x)=ex-a-1得g(x)在R上只有一個極值點a.

當x∈(-∞,a)時,g′(x)<0,當x∈(a,+∞)時,g′(x)>0.

因為g″(x)=ex-a,g?(x)=ex-a,

所以任意x∈R,g?(x)>0恒成立.

由定理1得g(x)在R上極值點右偏.

因為g(x1)=g(x2)=0,

證明易得f′(x)=ex-x-1≥0對任意x∈R恒成立,所以f(x)在R上單調遞增.

由f″(x)=ex-1,得f(x)在R上只有一個拐點0.

當x∈(-∞,0)時,f″(x)<0,當x∈(0,+∞)時,f″(x)>0.

因為f?(x)=ex,f(4)(x)=ex,

所以任意x∈R,f(4)(x)>0恒成立.

由定理3得f(x)在R上拐點右偏.

又f(x1)+f(x2)=2f(0),

函數極值點偏移和拐點偏移問題是考查導數的常見題型,本文通過對函數極值點偏移和拐點偏移問題進行探究,得到了判定函數極值點偏移和拐點偏移問題的非常有效的方法.