從“將軍飲馬”到阿氏圓探究線段和的最值

郭海峰

(四川外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 400000)

1 著名的“將軍飲馬”問(wèn)題

傳說(shuō)在古羅馬時(shí)代的亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，一位將軍專(zhuān)程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題.將軍每天都從軍營(yíng)A處出發(fā)，先到河邊C處飲馬，然后再去河邊的同側(cè)B處開(kāi)會(huì)，他應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？據(jù)說(shuō)當(dāng)時(shí)海倫略加思索就解決了它.這就是著名的“將軍飲馬”問(wèn)題.

將上述問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型即為如圖1中的問(wèn)題：即在直線l上找一點(diǎn)C，使得AC+BC的值取到最小值.

圖1

該問(wèn)題的解決方式也較為簡(jiǎn)單，如圖2，作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，直線A′B與直線l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C′.

圖2

筆者根據(jù)該模型提出如下的幾個(gè)思考：

(1)能否將直線l換成圓錐曲線呢？

(2)題目中的兩個(gè)定點(diǎn)能否是任意的呢？

(3)當(dāng)其中的某一條邊增加了系數(shù)以后如何求解最小值呢？

2 圓錐曲線中的最值問(wèn)題

解析如圖3，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知，由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).連接AF2與橢圓相交，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.現(xiàn)證明其為最小值.

圖3

設(shè)點(diǎn)P1為橢圓上異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn).連接P1F1，P1A，PF2，AF2.

P1F1+P1A+AF2>P1F1+P1F2=2a(三角形兩邊之和大于第三邊),

PF1+PA+AF2=PF1+PF2=2a，

即有P1F1+P1A+AF2>PF1+PA+AF2.

化簡(jiǎn),得P1F1+P1A>PF1+PA.

所以利用光學(xué)性質(zhì)所求的點(diǎn)P即為所求點(diǎn).

所以PF1+PA的最小值為2a-AF2.

圖4

圖5

根據(jù)拋物線的定義，得

PA+PF=P′A.

結(jié)合圖形信息,得P1A+P1F≥PA+PF恒成立，即可得命題成立.

解析根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，由雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)雙曲線反射后其反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).連接AF1與雙曲線相交，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P.其證明過(guò)程與上述例題相似，本文不再贅述.

總結(jié)與反思上述三個(gè)例題，分別將“將軍飲馬”問(wèn)題中的“直線”換成了橢圓、拋物線以及雙曲線.上述三個(gè)例題對(duì)定點(diǎn)的要求較高，其中均有一個(gè)定點(diǎn)為圓錐曲線的焦點(diǎn)，其解法的本質(zhì)均是借助了圓錐曲線的定義，將其進(jìn)行了等價(jià)轉(zhuǎn)化，再利用兩點(diǎn)間的距離或點(diǎn)到直線的距離求得最小值.如果是任意的兩個(gè)定點(diǎn)以及任意的圓錐曲線該如何進(jìn)行求解呢？筆者進(jìn)行如下的嘗試：

3 構(gòu)造橢圓系求解一般的最值問(wèn)題

本文所討論的問(wèn)題對(duì)于一般的圓錐曲線而言，運(yùn)算難度較大，本文僅以如下的特殊模型來(lái)說(shuō)明求解的方法：

如圖6，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-m,0)，(m,0).這兩點(diǎn)之外有一圓錐曲線Γ(本文以圓作為代表)，設(shè)點(diǎn)P為Γ上一動(dòng)點(diǎn)，試求PA+PB的最小值.

圖6

圖7

證明如圖7，設(shè)點(diǎn)P1為圓錐曲線Γ異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，連接P1A，P1B.設(shè)P1B與橢圓Ca的交點(diǎn)為Q，連接QA.

P1A+P1B=P1A+P1Q+QB>QA+QB=2a.(三角形兩邊之和大于第三邊)

所以PA+PB的最小值為2a.

上述過(guò)程提供了求解最小值的思路，但在高中階段，限于所掌握的運(yùn)算手段，具體求解過(guò)程只能針對(duì)較為特殊的曲線以及特殊的點(diǎn)進(jìn)行.

4 對(duì)于AC+λBC型最小值問(wèn)題的思考與求解

在上文中，筆者分別通過(guò)橢圓、拋物線以及雙曲線進(jìn)行了舉例說(shuō)明.其求解的主要思路是借助定義將其中的一邊進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，“圓”也可實(shí)現(xiàn)邊的轉(zhuǎn)化，此時(shí)可借助阿波羅尼斯圓的性質(zhì)，將一條邊轉(zhuǎn)化為另一條邊的λ倍再進(jìn)行求解.我們先通過(guò)如下例題了解此類(lèi)問(wèn)題的考查方式.

圖8

令該圓與圓O重合,得

則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為3PA+2PB=3(PA+PC)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知3(PA+PC)≥3AC=32.

我們可通過(guò)如下定義構(gòu)造出阿波羅尼斯圓的方程：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(m,0)，(0,0)，PA=λPB，則點(diǎn)P的軌跡為

為此，我們可構(gòu)造出如下的題型：設(shè)點(diǎn)C(m,n)為圓Pλ外任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為圓Pλ上一動(dòng)點(diǎn)，試計(jì)算PC+λPB的最小值.

根據(jù)上文的準(zhǔn)備可知，λPB=PA，所以PC+λPB的最小值為AC.據(jù)此，我們可以命制出如下試題供讀者練習(xí)：

總結(jié)與反思本題涉及的兩個(gè)點(diǎn)的其中之一為阿波羅尼斯圓對(duì)應(yīng)的一個(gè)點(diǎn).那么對(duì)于任意兩點(diǎn)及圓錐曲線能否求解對(duì)應(yīng)的最值呢？為此，我們回顧上文中構(gòu)造橢圓解決一般圓錐曲線條件下的最值方法.當(dāng)構(gòu)造的橢圓與圓錐曲線相切時(shí)，兩者在此時(shí)擁有相同的公切線，我們可以借助光線的反射來(lái)解釋最短距離問(wèn)題.即假設(shè)從點(diǎn)A處發(fā)射出一束光線，經(jīng)過(guò)圓錐曲線Γ的反射后恰好回到點(diǎn)B，則反射點(diǎn)P即為使得PA+PB取得最小值的點(diǎn).筆者猜想對(duì)于PA+λPB的最小值，我們可以通過(guò)光的折射進(jìn)行求解，即從點(diǎn)A處發(fā)射出一束光線，按照一定的比例經(jīng)過(guò)圓錐曲線Γ的折射后恰好回到點(diǎn)B，則折射點(diǎn)P即為使得PA+λPB取得最小值的點(diǎn).