高中數學結構不良試題探究

馬滿芳

(廣東省梅州市豐順中學 514300)

著名數學教育家波利亞曾說過：問題是數學的心臟.問題可分為結構良好問題和結構不良問題，在中學數學解題中大量出現的是結構良好的數學問題，結構良好是指提供的信息完整、數學結構理想、問題目標明確、解決過程和答案穩定.而結構不良試題并不是這個問題本身有什么錯誤或是不恰當，而是指它沒有明確的結構、要求或解決的途徑.

新時期高考內容改革的重要特征就是從能力立意向素養導向轉變，而結構不良試題適應了素養導向的特點，考查學生的知識遷移能力和思維的轉化能力，真正體現了學生的數學素養，適應高考改革的要求.對于一線教師而言，如何在課堂上引導學生探究理解結構不良試題尤其重要，特別是在解三角形以及數列考查中比較常見，這種題型也可能成為考生獲取高分的攔路虎.

解決結構良好與不良這兩類問題所需要的技巧和能力有所不同，也就是說可以出色地解決課堂上的結構良好問題，并不能保證可以成功地解決現實生活中的結構不良問題.因此，解決結構不良問題對考查學生的素養和能力，發揮考試的選拔功能，促進學生素養的養成和能力的提升具有深遠的意義，本文分四類專題探究結構不良試題.

1 解三角形中的結構不良試題

由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC.

即a2+b2-ab=7，

所以(a-b)2=7-8=-1，

與(a-b)2≥0矛盾.

所以滿足條件的三角形不存在．

若選②：因為a-b=1，

所以a2+b2-2ab=1.

又a2+b2-ab=7，所以ab=6.

故a2+b2+2ab=25.

即a+b=5.

若選③：因為sinA=2sinB，所以a=2b.

聯立a2+b2-ab=7，

本題考查的是正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式，在已知條件下再選擇一個條件來解，題目所給的三個可選擇的條件是平行的，即無論選擇哪個條件，都可解答題目，只是選擇不同的條件可能得到相同的解或不同的解，但只要推理嚴謹、過程規范，都會得滿分.

2 數列中的結構不良試題

解析選①：當n=1時，a1=S1=2，

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n.

由S7=7a4=28a1=56，所以a1=2.

①②③均可求得

所以bn=2n(n∈N*).

3 立體幾何中的結構不良試題

例3如圖1，已知等邊△ABC的邊長為3，點M，N分別是邊AB，AC上的點，且BM=2MA，AN=2NC，如圖2，將△AMN沿MN折起到△A′MN的位置.

圖1 圖2

(1)求證：平面A′BM⊥平面BCNM；

解析(1)由已知得AM=1，AN=2，∠A=60°.

所以MN⊥AB.

所以MN⊥A′M，MN⊥MB.

又因為MB∩A′M=M，所以MN⊥平面A′BM.

又因為MN?平面BCNM，

所以平面A′BM⊥平面BCNM.

(2)選條件①:A′M⊥BC，由(1)得A′M⊥MN，BC和MN是兩條相交直線.

所以A′M⊥平面BCNM.

所以MB，MN，MA′兩兩垂直.

所以以點M為坐標原點，MB，MN，MA′所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖3所示的空間直角坐標系M-xyz,則A′(0，0，1).

圖3

易得平面A′BM的一個法向量為n=(0，1，0).

設直線PA′與平面A′BM所成的角為θ，則

所以不存在點P滿足條件.

選條件②:二面角A′-MN-C的大小為60°，

由(1)得∠A′MB就是二面角A′-MN-C的平面角.

所以∠A′MB=60°.

如圖3，過點A′作A′O⊥BM，垂足為點O，連接OC，則A′O⊥平面BCNM.

而BC=3，所以OB⊥OC.

所以OB，OC，OA′兩兩垂直.

圖4

易得平面A′BM的一個法向量為n=(0，1，0).

設直線PA′與平面A′BM所成的角為θ，則

所以存在點P滿足條件，這時PB=3.

由余弦定理，得

所以∠A′MB=120°.

過點A′作A′O⊥BM，垂足為點O，則A′O⊥平面BCNM.

易得平面A′BM的一個法向量為n=(0，1，0).

設直線PA′與平面A′BM所成的角為θ，

所以不存在點P滿足條件.

選擇不同的條件，建系的方法不同，特別是選擇第三個條件，∠A′MB是鈍角，作垂線時要注意垂足的位置，這樣點P的坐標才不會出錯，還有要結合點P的位置注意a的范圍，從而判斷是否存在符合條件的點P，比較三個不同的選擇條件，選①應該解題更簡單點.

4 解析幾何中的結構不良試題

例4 在平面直角坐標系xOy中：

(1)在①②③這三個條件中任選一個，求動點P的軌跡方程；

(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

(2)記(1)中的軌跡為E，經過點D(1，0)的直線l′交E于M，N兩點，若線段MN的垂直平分線與y軸相交于點Q，求點Q縱坐標的取值范圍.

若選②：設P(x，y)，直線l與圓相切于點H，則

由橢圓的定義，知點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓.

若選③：設P(x，y)，S(x′，0)，T(0，y′)，

(*)

由上述解答我們可以看到，題目所給的三個可選擇的條件顯然①最直接，列出等量關系即可，只是運算稍微復雜一點;選②符合橢圓的定義，運算簡單;選③利用相關點法，利用向量相等尋找數量關系，學生可能容易出錯.

在2021年的八省適應性考試中，填空題15題：寫出一個最小正周期為2的奇函數f(x)=( ).開放題終于在考試中與同學見面了，更是考查了學生的數學學習能力.所以結構不良試題的出現，是新高考題型的創新和改革，這是一種新的開放性試題的樣式，學生可以根據自己的理解選擇想要的條件，在解決問題中尋找各條件的關系.這種題型在解三角形以及數列考查中比較常見，因此，在復習的過程中，我們可以將解三角形和數列的結構不良問題作為訓練的重點.

所以在高中數學教學中對結構不良試題的探究是非常必要的，能夠更全面地考查學生的數學學科核心素養，考查學生思維的系統性、靈活性和創造性.作為一線教師，要引導學生根據具體問題情境從多個角度分析，考慮多個可能，尋找不同途徑，歸納解決這類試題的應對策略.