v-t圖像在解題中的妙用

關(guān)鋒

求解高中物理試題的方法有很多，比如解析法、類比法、等效法、微元法、極限法、圖表法等，面對(duì)不同的問(wèn)題可以靈活選用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行分析與求解。當(dāng)我們遇到一些采用解析法無(wú)法順利求解的復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，若能夠根據(jù)題意把抽象的物理過(guò)程轉(zhuǎn)化成形象的圖形描述，根據(jù)直觀、形象、簡(jiǎn)明的圖像展現(xiàn)出的物理量之間的幾何關(guān)系，理順已知量和未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系，則可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的目的。下面舉例分析，供同學(xué)們參考。

一、利用v—t圖像處理非勻變速直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

例1某同學(xué)欲估算飛機(jī)著陸時(shí)的速度，測(cè)得飛機(jī)在平直跑道上滑行的距離為x，從著陸到停下來(lái)所用的時(shí)間為t。。他假設(shè)飛機(jī)在平直跑道上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，估算得到飛機(jī)著陸時(shí)的速度為vo。經(jīng)過(guò)查閱相關(guān)資料，他了解到飛機(jī)在滑行過(guò)程中受到的阻力并不是恒定的，而是與其速度的大小成正比，那么飛機(jī)著陸時(shí)的實(shí)際速度v。'與v。的大小關(guān)系應(yīng)為（）。

解析假設(shè)飛機(jī)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)飛機(jī)在平直跑道上滑行的距離為x，從著陸到停下來(lái)所用的時(shí)間為to，畫出對(duì)應(yīng)的v—t圖像大致如圖1中的虛線所示。根據(jù)v—t圖像與坐標(biāo)軸所圍成的面積表示位移，v—t圖像的縱軸截距表示初速度可知，虛線與坐標(biāo)軸所圍成的面積等于x，飛機(jī)著陸時(shí)的速度v。=2x。實(shí)際上，當(dāng)飛機(jī)的速度減小時(shí)，所受的阻力減小，加速度也會(huì)變小，對(duì)應(yīng)的v—t圖像應(yīng)是切線斜率逐漸減小的曲線，如圖1中的實(shí)線所示。因此飛機(jī)著陸時(shí)的實(shí)際速度。

答案：B

點(diǎn)評(píng)當(dāng)假設(shè)飛機(jī)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，已知位移和時(shí)間，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式也可以順利求出飛機(jī)著陸時(shí)的速度v。=2x，但是要想求出飛機(jī)著陸時(shí)的實(shí)際速度vo'就沒(méi)那么容易了。而采用圖像法，利用圖像的斜率、截距、面積等表達(dá)的物理意義，判斷v。'與v。的大小關(guān)系就變得簡(jiǎn)單明了多了。

二、利用v—t圖像處理“子彈打擊物塊”問(wèn)題

例2 一個(gè)由特殊材料制成的矩形物塊停放在水平光滑桌面上，用一支玩具槍沿水平方向連續(xù)向物塊射出兩顆完全相同的子彈，第二次射擊時(shí)第一顆子彈已經(jīng)擊穿了物塊，且第二次射擊時(shí)槍口比第一次稍高一些，最終兩顆子彈都擊穿了物塊，在物塊中留下兩道平行的彈孔。設(shè)兩顆子彈從槍口射出時(shí)的速度相同，在物塊中所受的阻力相同，且物塊只在水平桌面上平動(dòng)，則在兩顆子彈先后擊穿物塊的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）。

A.在兩顆子彈分別擊穿物塊的過(guò)程中，物塊發(fā)生的位移相等

B.兩顆子彈穿過(guò)物塊所用的時(shí)間相等

C.在兩顆子彈分別擊穿物塊的過(guò)程中，由子彈和物塊組成的系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量相等

D.兩顆子彈損失的動(dòng)能相等

解析在第一顆子彈擊穿物塊的過(guò)程中，作出子彈與物塊的速度一時(shí)間圖像分別如圖2中的實(shí)線所示。在第二顆子彈擊穿物塊的過(guò)程中，子彈與物塊之間的相互作用力不變，子彈與物塊的加速度不變，但子彈打擊物塊的瞬間，物塊已經(jīng)有了一定的速度，作出第二顆子彈與物塊的速度一時(shí)間圖像分別如圖2中的虛線所示。根據(jù)v—t圖像與坐標(biāo)軸所圍成的面積表示位移可知，第二顆子彈擊穿物塊的過(guò)程中物塊發(fā)生的位移比第一顆子彈擊穿物塊的過(guò)程中物塊發(fā)生的位移大，第二顆子彈穿過(guò)物塊所用的時(shí)間t2比第一顆子彈穿過(guò)物塊所用的時(shí)間t1長(zhǎng)，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤。因?yàn)閮深w子彈與物塊之間的相互作用力相同，兩顆子彈與物塊的相對(duì)位移也相同，所以在兩顆子彈分別擊穿物塊的過(guò)程中系統(tǒng)產(chǎn)生的熱量相等，選項(xiàng)C正確。因?yàn)閮深w子彈從槍口射出時(shí)的初速度v。相同，第二顆子彈擊穿物塊瞬間的末速度v2小于第一顆子彈擊穿物塊瞬間的末速度v1，所以第二顆子彈損失的動(dòng)能比第一顆子彈損失的動(dòng)能大，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

答案：C

點(diǎn)評(píng)本題要求判斷兩次“子彈打擊物塊”過(guò)程中的時(shí)間長(zhǎng)短、位移大小、能量多少問(wèn)題，題干中幾乎沒(méi)有提供一個(gè)可以利用的數(shù)值，不可能采用解析法進(jìn)行定量計(jì)算。而根據(jù)題意作出子彈和物塊的速度一時(shí)間圖像，充分利用圖像的斜率、截距、面積等表達(dá)的物理意義，可以定性分析時(shí)間、位移、能量的大小關(guān)系。

三、利用v—t圖像處理“木板一滑塊”問(wèn)題

例3 如圖3所示，足夠長(zhǎng)的木板B放置在水平地面上，輕質(zhì)彈簧一端固定在木板B左端的擋板上，另一端與滑塊A拴接，假設(shè)所有接觸面均光滑，滑塊A與木板B（含擋板）的質(zhì)量相等，開始時(shí)彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)。現(xiàn)將一水平向右的恒力F作用在滑塊A上，使得由滑塊A、木板B（含擋板）和輕質(zhì)彈簧組成的系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中彈簧始終處在彈性限度內(nèi)。在滑塊A和木板B從靜止開始運(yùn)動(dòng)到二者第一次共速的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）。

A.當(dāng)滑塊A和木板B的加速度相等時(shí)，二者的速度之差達(dá)到最大

B.當(dāng)滑塊A和木板B的加速度相等時(shí)，彈簧的彈力達(dá)到最大

C.當(dāng)滑塊A和木板B的速度相等時(shí)，二者的位移之差達(dá)到最大

D.當(dāng)滑塊A和木板B的速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能達(dá)到最大

解析在水平方向上，滑塊A受到向右的拉力F和向左的彈簧彈力F1兩個(gè)力作用，木板B只受到向右的彈簧彈力F1'作用，根據(jù)彈簧彈力的特點(diǎn)可知，F(xiàn)1'=F1，且逐漸增大，因此滑塊A做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，木板B做加速度增大的加速運(yùn)動(dòng)，作出二者的速度一時(shí)間圖像如圖4所示。滑塊A和木板B的加速度相等的時(shí)刻對(duì)應(yīng)圖4中兩曲線斜率相同的t1時(shí)刻，此時(shí)二者的速度差最大，選項(xiàng)A正確。當(dāng)滑塊A和木板B的加速度相等時(shí)，對(duì)滑塊A有F-F1=ma，對(duì)木板B有F1'=ma，解得F1=/2，之后彈簧的彈力還會(huì)繼續(xù)增大，選項(xiàng)B錯(cuò)誤。滑塊A和木板B的速度第一次相等的時(shí)刻對(duì)應(yīng)圖4中兩曲線相交的t2時(shí)刻，此時(shí)兩曲線所圍成的面積達(dá)到最大，即二者的相對(duì)位移最大，彈簧被拉伸到最長(zhǎng)，彈簧的彈性勢(shì)能達(dá)到最大，選項(xiàng)C、D正確。

答案：ACD

根據(jù)上述三道例題的分析和求解，我們可以總結(jié)出運(yùn)用圖像法解答物理問(wèn)題的一般步驟：（1）認(rèn)真審題，根據(jù)題干中提供的物理量，確定需要用到的物理規(guī)律，選擇橫、縱坐標(biāo)表示的物理量;（2）根據(jù)題意，找出橫、縱坐標(biāo)表示的兩物理量之間的制約關(guān)系，結(jié)合物理過(guò)程作出函數(shù)圖像;（3）利用所作函數(shù)圖像，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析和推理，解決相關(guān)待求問(wèn)題。

感悟與提高

1.甲、乙兩輛車同時(shí)由靜止開始從A點(diǎn)沿平直公路出發(fā)，甲車先以加速度a1做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，改以加速度a2做勻加速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為vo;乙車一直以加速度a。做勻加速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度也為vo。若a1>ao，則下列判斷中正確的是（）。

A.甲、乙兩車可能同時(shí)到達(dá)B點(diǎn)

B.甲車一定先于乙車到達(dá)B點(diǎn)

C.乙車一定先于甲車到達(dá)B點(diǎn)

D.在A、B兩點(diǎn)之間的任意一點(diǎn)，甲車的速度都一定大于乙車的速度

2.在一大型游樂(lè)場(chǎng)中，從同一高處到同一水面有兩條長(zhǎng)度相同，形狀不同的光滑軌道，其側(cè)視簡(jiǎn)化示意圖如圖5所示。甲、乙兩小孩沿這兩條不同的軌道同時(shí)從高處A自由滑向水面B處，下列說(shuō)法中正確的有（）。

A.甲、乙兩小孩在同一時(shí)刻的加速度大小總是相等

B.甲、乙兩小孩到達(dá)同一高度處時(shí)的速度大小均相等

C.甲、乙兩小孩在同一時(shí)刻總能到達(dá)同一高度處

D.甲小孩比乙小孩后到達(dá)B處

參考答案：1.BD 2.B

作者單位：湖北省荊州市江陵中學(xué)

（責(zé)任編輯張巧）8F6B410A-37BC-4324-AF34-8648020BCCA8