概率知識核心考點綜合演練

張夏 劉中亮

一、選擇題

1.下列命題中正確的是（）。

A.事件A發生的概率P（A）等于事件A發生的頻率fn（A）

B.一個質地均勻的骰子擲一次得到3點9的概率是，說明這個骰子擲6次一定會出現一次3點

C.擲兩枚質地均勻的硬幣，事件A為“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B為“兩枚都是正面朝上”，則P（A）=2P（B）

D.對于兩個事件A，B，若P（AUB）=P（A）+P（B），則事件A與B互斥

2.下列四個命題：①對立事件一定是互斥事件;②若A，B為兩個隨機事件，則P（AUB）=P（A）+P（B）;③若事件A，B， C彼此互斥，則P（A）+P（B）+P（C）=1;④若事件A，B滿足P（A）+P（B）=1，則A 與B是對立事件。其中正確命題的個數是（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

3.（多選題）某次數學考試的一道多項選擇題，要求是：“在每小題給出的四個選項中，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分。”已知某選擇題的正確答案是C，D.且甲、乙、丙、丁四位同學都不會做，則下列表述正確的是（）。

A.甲同學僅隨機選一個選項，能得3分的概率是

B.乙同學僅隨機選兩個選項，能得5分的概率是

C.丙同學隨機選擇選項，能得分的概率是

D.丁同學隨機至少選擇兩個選項，能得分的概率是

4.（多選題）從集合A={—1，—3，2，4}中隨機選取一個數記為a，從集合B={—5，1，4}中隨機選取一個數記為b，則（）。

A.ab>0的概率是

B.a+b≥0的概率是

C.直線y=ax+b不經過第三象限的概率是

D.lna+lnb>1的概率是

5.（多選題）利用簡單隨機抽樣的方法抽查某工廠的100件產品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為不合格品，現在這個工廠隨機抽查一件產品，設事件A為“是一等品”，B為“是合格品”，C為“是不合格品”，則下列結果正確的是（）。

A.P（B）=7/10

B.P（AUB）=8/10

C.P（ANB）=0

D.P（AUB）=P（C）

二、填空題

6.。

7.。

8.口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件A=“取出的2球同色”，B=“取出的2球中至少有1個黃球”，C=“取出的2球至少有1個白球”，D=“取出的2球不同色”，E=“取出的2球中至多有1個白球”。下列判斷中正確的序號為。

①A與D為對立事件;②B與C是互斥事件;③C與E是對立事件;④P（CUE）=1;⑤P（B）=P（C）。

三、解答題

9.某服務電話，打進的電話響第1聲時被接的概率是0.1;響第2聲時被接的概率是0.2;響第3聲時被接的概率是0.3;響第4聲時被接的概率是0.35。

（1）打進的電話在響5聲之前被接的概率是多少？

（2）打進的電話響4聲而不被接的概率是多少？

10.甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有5題，選擇題3個，判斷題2個，甲、乙兩人各抽一題。

（1）甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到判斷題的概率是多少？

（2）甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？

11.A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復時間（單位：天）記錄如下：

A組：10，11，12，13，14，15，16。

B組：12，13，15，16，17，14，a。

假設所有病人的康復時間互相獨立，從A，B兩組隨機各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙。

（1）求甲的康復時間不少于14天的概率。

（2）如果a=25，求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率。

（3）當a為何值時，A，B兩組病人康復時間的方差相等？（結論不要求證明）

12.在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫著摸球方法：從袋中隨機摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢;若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢。

（1）摸出的3個球為白球的概率是多少？

（2）摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是多少？

（3）假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一個月（按30天計）能賺多少錢。

參考答案與提示

一、選擇題

1.提示：頻率與試驗次數有關，且在概率附近擺動，A錯誤。概率是指一個事件發生的可能性的大小，一個質地均勻的骰子擲一次得到3點的概率是表示一次試驗發生的可能性是，則骰子擲6次出現3點的次數也不確定，B錯誤。利用列舉法可知基本事件總數為4，根據概率計算公式得P（A）=2/4=1/2，P（B）=1/4，則P（A）=2P（B），C正確。設xE[—3，3]，A表示從[—3，3]中任取一個數x，使得xE[1，3]的事件，則P（A）=1/3.B表示從[—3，3]中任取一個數x，使得xE[—2，1]的事件，則P（B）=1/2，顯然P（AUB）=5/6=1/3+1/2=P（A）+P（B），此時A與B不互斥，D錯誤。應選C。

2.提示：對立事件一定是互斥事件，①正確。當A與B是互斥事件時，才有P（AUB）=P（A）+P（B），對于任意兩個事件A，B滿足P（AUB）=P（A）+P（B）- P（AB），②不正確。不一定等于1，還可能小于1，即P（A）+P（B）+P（C）≤1，③不正確。④中，如袋中有大小相同的紅、黃、黑、綠4個球，從袋中任摸一個球，設事件A={摸到紅球或黃球}，事件B={摸到黃球或黑球}，顯然事件A與B不互斥，但P（A）+P（B）=1/2+1/2=1，①錯誤。應選A。

3.提示：甲同學僅隨機選一個選項，共有4個基本事件，分別為{A}，{B}，{C}，{D}，隨機事件“能得3分”中有基本事件{C}，{D}，則“能得3分”的概率為

1/2，A正確。乙同學僅隨機選兩個選項，共有6個基本事件，分別為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B，C}，{B， D}，{C，D}，隨機事件“能得5分”中有基本事件{C，D}，則“能得5分”的概率為，B正確。丙同學隨機選擇選項（丙至少選擇一項），由A、B中的分析可知共有基本事件15個，分別為：選擇一項為{A}，{B}，{C}，{D}，選擇兩項為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B， C}，{B，D}，{C，D}，選擇三項或全選為{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}， {A，B，C，D}，隨機事件“能得分”中有基本事件{C}，{D}，{C，D}，則“能得分”的概率為3/5=1/5，C正確。丁同學隨機至少選擇兩個選項，由C的分析可知，共有基本事件11個，隨機事件“能得分”中有基本事件{C，D}，則“能得分”的概率為D錯誤。應選A， B，C。

4.提示：由題意得（a，b）所有可能的取法為（—1，—5），（—1，1），（—1，4），（—3，—5），（-3，1），（-3，4），（2，-5），（2，1），（2，4）， （4，—5），（4，1），（4，4），共12種。對于A，滿足ab>0的取法為（—1，—5），（—3，—5），（2，1），（2，4），（4，1），（4，4），共6種，所以ab>0的概率P=1/2，A正確。對于B，滿足a+b≥0的取法為（—1，1），（—1，4），（—3，4），（2，1），（2，4），（4，1），（4，4），共7種，所以a+b≥0的概率P=7/2，B不正確。對于C.因為直線y=ax+b不經過第三象限，所以a<0，b≥0，滿足直線y=ax+b不經過第三象限的取法為（—1，1），（—1，4），（—3，1），（—3，4），共4種，所以直線y=ax+b不經過第三象限的概率P=1/3，C正確。對于D.因為lna+Inb=lnab>1，所以a>0，b>0， ab>e，滿足lna+lnb>1的取法為（2，4），（4，1），（4，4），共3種，所以lna+1nb>1的概率P=1/4，D不正確。應選A，C。

5.提示：由題意知A，B，C為互斥事件，C正確。因為從100件中抽取產品符合古典概型的條件，所以P（B）=7/10，P（A）=2/20=1/5，P（C）=1/10，則P（AUB）=8/10，A，B正確，D錯誤。應選A，B，C。

二、填空題

6.提示：由事件A，B互為對立事件，其概率分別為P（A）=1/2，P（B）=4/42，且x>0，y>0，可得P（A）+P（B）=1/2+4/2=1，所以x+y=（x+x）（1/2+4/2）=5+4/2+/≥ 5+2/2·/=9，當且僅當x=6，y=3時取等號，所以x+y的最小值為9。

7.提示：由題意可得P1=1/2x2%+1/3x1.2%+1/6x1%=39000·P2=P（A） 37答案為3/39700，3/47。

8.提示：口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件A=“取出的2球同色”，B=“取出的2球中至少有1個黃球”，C=“取出的2球至少有1個白球”，D=“取出的2球不同色”，E=“取出的2球中至多有1個白球”。①由對立事件定義得A與D為對立事件，①正確。②B與C有可能同時發生，B與C不是互斥事件，②錯誤。③C與E有可能同時發生，不是對立事件，③錯誤。④基本事件的總數為15，由P（C）=1-5/15=3/5，P（E）=145，P（CE）= ，可得P（CUE）=P（C）+P（E）- P（CE）=1，即CUE=Ω，④正確。⑤由 P（B）=4/5，可得P（B）≠P（C），⑤錯誤。答案為①④。

三、解答題

9.提示：（1）設事件“電話響第k聲時被接”為A（kEN），那么事件A，彼此互斥。設“打進的電話在響5聲之前被接”為事件A，根據互斥事件概率加法公式得P（A）=P（A1UA2UA3UA1）=P（A1）+P（A2）+ P（A3）+P（A4）=0.1+0.2+0.3+0.5= 0.95。

（2）事件“打進的電話響4聲而不被接”是事件A“打進的電話在響5聲之前被接”的對立事件，記為A。根據對立事件的概率公式得P（A）=1-P（A）=1-0.95=0.05。

10.提示：把3個選擇題記為x1，x2，x3，2個判斷題記為P1，P2。“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的情況為（x1，p1），（x1，p2），（x2，p1），（x2，P2），（x3，P1），（x3，P2），共6種; “甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的情況為（p1，x1），（p1，x2），（p1，x3），（p2，x1），（p2， x2），（p2，x3），共6種;“甲、乙都抽到選擇題”的情況為（x1，x2），（x1，x3），（x2，x1），（x2， x3），（xз，x1），（xз，x2），共6種;“甲、乙都抽到判斷題”的情況為（p1，p2），（p2，p1），共2種。因此基本事件的總數為6+6+6+2=20。

（1）記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件A，則P（A）=3/20=3/10。記“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”為事件B，則P（B）=/20=3/10。故“甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到判斷題”的概率為P（AUB）=P（A）+P（B）=3/5。

（2）記“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”為事件C，則C為“甲、乙兩人都抽到判斷題”。由題意得P（C）=2/20=1/10·故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為P（C）=1-P（c）=1-1/10=1/10。

11.提示：（1）甲有7種取法，康復時間不少于14天的有3種取法，所以概率P=3/7。

（2）如果a=25，從A，B兩組隨機各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙，共有49種取法，甲的康復時間比乙的康復時間長的為（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），（15，14），（16，12）（16， 13），（16，15），（16，14），即10種取法，所以概率P=1/49。

（3）把B組數據調整為a，12，13，14，15，16，17或12，13，14，15，16，17，a，可見當a=11或a=18時，與A組數據方差相等。（可利用方差公式加以證明，但本題不需要）

12.提示：把3只黃色乒乓球標記為A，B，C，3只白色的乒乓球標記為1，2，3。從6個球中隨機摸出3個的基本事件為ABC，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，A12， A13，A23，BC1，BC2，BC3，B12，B13，B23， C12，C13，C23，123，共20個。

（1）事件E={摸出的3個球為白球}，事件E包含的基本事件有1個，即摸出標記為123的3個球，所以P（E）=1/20=0.05。

（2）事件F={摸出的3個球為2個黃球1個白球}，事件F包含的基本事件有9個，所以P（F）=3/20=0.45。

（3）事件G={摸出的3個球為同一顏色}={摸出的3個球為白球或摸出的3個球為黃球}，則P（G）=2/20=0.1。假定一天中有100人次摸獎，由摸出的3個球為同一顏色的概率可估計事件G發生有10次，不發生90次，則一天可賺90x1—10x5=40（元），可知一個月可賺1200元。

作者單位：1.河南省焦作市第一中學

2.河南省開封市第十中學

（責任編輯郭正華）