分層抽樣——統計中的一朵“玫瑰花”

冉亞利

分層抽樣是歷年高考的重要考點之一，高考常把分層抽樣與頻率分布、分層抽樣與概率結合起來進行考查，也反映了高考的命題方向。這類問題，難度不大，但考查的知識面較廣，值得同學們重視。

一、分層隨機抽樣的概念

例1 下列問題中，最適合用分層隨機抽樣抽取樣本的是（）。

A.從20名同學中抽取5人參加座談會

B.某社區有500個家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了解生活購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100的樣本

C.從1000名工人中，抽取100人調查上班途中所用時間

D.從生產流水線上，抽取樣本檢查產品質量

解析A中總體所含個體無差異，且個數較少，適合用簡單隨機抽樣。C和D中總體所含個體無差異，但個數較多，不適合用分層隨機抽樣。B中總體所含個體差異明顯，適合用分層隨機抽樣。應選B。

評注：分層抽樣的特點：適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況;分層后，在每一層抽樣時，可采用簡單隨機抽樣或系統抽樣。分層抽樣中分層的原則是層內樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊;所有層中每個個體被抽到的可能性相同。

二、求樣本容量

例2 某中學有高中生3500人，初中生1500人，為了解學生的學習情況，用分層隨機抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n=（）。

A.80

B.100

C.120

D.140

解析

評注：對于分層隨機抽樣，，總體中某兩層的個體數該層的個數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比。

三、求總體容量

例3 交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規的知曉情況，對甲，乙，丙，丁四個社區做分層抽樣調查。假設四個社區駕駛員的總人數為N，其中甲社區有駕駛員96人。若在甲，乙，丙，丁四個社區抽取駕駛員的人數分別為12，21，25，43，則這四個社區駕駛員的總人數N為（）。

A.101

B.808

C.1 212

D.2 012

解析

評注：解決分層抽樣問題，關鍵是求出抽樣比。求解此類問題的難點為注意分析是否需要剔除個體。

四、求層中樣本容量

例4 某校做了一次關于“感恩父母”的問卷調查，從8～10歲，11～12歲，13～14歲，15～16歲四個年齡段回收的問卷依次為120份，180份，240份，x份。因調查需要，從回收的問卷中按年齡段分層抽取容量為300的樣本，其中在11～12歲學生問卷中抽取60份，則在15～16歲學生中抽取的問卷份數為（）。

A.60

B.80

C.120

D.180

解析

評注：

五、分層抽樣的設計

例5 一個地區共有5個鄉鎮，人口3萬人，其人口比例為3：2：5：2：3，從3萬人中抽取一個300人的樣本，分析某種疾病的發病率，已知這種疾病與不同的地理位置及水土有關，問應采取什么樣的方法。寫出具體過程。

解析因為疾病與地理位置和水土均有關系，所以不同鄉鎮的發病情況差異明顯，因而采用分層隨機抽樣的方法。

具體抽取過程如下：第1步，將3萬人分為5層，一個鄉鎮為一層。第2步，按照抽樣比求得各鄉鎮應抽取的人數分別為60，40，100，40，60。第3步，采用簡單隨機抽樣的方法，按照各層抽取的人數抽取各鄉鎮的樣本。第4步，將300人合到一起，即得所需樣本。

評注：分層抽樣法也叫類型抽樣法。它是從一個可以分成不同子總體（或稱為層）的總體中，按規定的比例從不同層中隨機抽取樣本（個體）的方法。這種方法的優點是樣本的代表性比較好，抽樣誤差比較小;缺點是抽樣手續較簡單隨機抽樣還要繁雜些。

六、分層隨機抽樣的均值

例6 某學校高一年級在校人數為600，其中男生320人，女生280人，為了解學生的身高信息，按分層隨機抽樣的方法抽取50名男生身高為一個樣本，其樣本平均數為170.2cm，抽取50名女生身高為一個樣本，其樣本平均數為162cm，則該校高一學生的平均身高的估計值為。

解析

評注：

作者單位：湖北省巴東縣第一高級中學

（責任編輯郭正華）