美妙的特征數

李大順

特征數指的是眾數、中位數、平均數、百分位數、標準差或方差，為了從整體上更好地把握總體的規律，通過對樣本數據的研究來比較全面地認識和估計總體，進而使我們能從整體上更好地把握總體的規律、對總體作出合理的推斷與決策，初步體會、領悟“用數據說話”的統計思想方法。

一、眾數

例1 某班50名學生的一次安全知識競賽成績分布如表1所示（滿分10分）。

這次安全知識競賽成績的眾數是（）。

A.10

B.9

C.8

D.6

解析眾數是一組數據中出現次數最多的數。由表中數據可知，成績9分出現的次數最多，所以眾數是9。應選B。

評注：眾數就是樣本數據中出現次數最多的那個數。眾數可以有兩個或兩個以上。

二、中位數

例2 某校舉行“社會主義核心價值觀”演講比賽，學校對30名參賽選手的成績進行了分組統計，結果如表2所示。

由上可知，參賽選手分數的中位數所在的分數段為（）。

A.5≤x<6

B.6≤x<7

C.7≤x<8

D.8≤x<9

解析已知數據共有30個數，中位數是第15，16個數的平均數，而第15，16個數所在分數段均為6≤x<7，所以參賽選手分數的中位數所在的分數段為6≤x<7。應選B。

評注：中位數是一組數據按大小順序排列后，處于中間位置的數。如果這組數據是偶數，則取中間兩個數據的平均數即為中位數。

三、平均數

例3 期中考試后，班長算出全班40名同學的數學成績的平均分為M，如果把M當成一個同學的分數，再與原來的40個分數一起，算出這41個同學的平均分為N，那么M：N=（）。

A.40：41

B.1：1

C.41：40

D.2：1

解析

設40個同學的成績依次是a1，a2，···，a40，則平均分a+a2+··+ao。因為這41個同學的平均分為N，所以平均分N=a1+a2+···+a40+M，即M=N。應選B。

評注：平均數是樣本數據的重要數字特征，平均數越大表明數據的平均水平越高，平均數越小表明數據的平均水平越低。由于平均數與每一個樣本數據有關，所以任何一個樣本數據的改變都會引起平均數的改變，這是中位數、眾數都不具有的性質。

四、百分位數

例4 一個容量為20的樣本，其數據按從小到大的順序排列為1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數據的第75百分位數為，第86百分位數為。

解析

因為86%x20=17.2，所以第86百分位數為第18個數據，即為17。

例5 已知一組數據按從小到大的順序排列為11，12，15，x，17，y，22，26，經過計算，該組數據的50%分位數是16，75%分位數是20，則x=，y=。

解析因為50%x8=4，所以50%分位數是（x+17）÷2=16，解得x=15。

因為75%x8=6，所以75%分位數是（y+22）÷2=20，解得y=18。

評注：計算一組n個數據的第p百分位數的三個步驟：第1步，按從小到大排列原始數據;第2步，計算i=nxp%;第3步，若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據，若i是整數，則第p百分位數為第i項與第（i+1）項數據的平均數。

五、方差或標準差

例6 樣本中共有5個個體，其值分別為a，0，1，2，3。若該樣本的平均數為1，則樣本方差為（）。

A.

B.

C.

D.

解析由題意可知樣本的平均數為1，所以a+0+1+2+3，解得a=—1。所以樣本的方差為s2=1/5[（-1-1）2+（0-1）2+（1-1）2+（2- 1）2+（3—1）2]=2。應選D。

評注：方差或標準差是描述一組數據的波動性大小，方差或標準差越小，這組數據越穩定。

六、特征數的綜合運用

例7 由正整數組成的一組數據為x1，x2，x3，x4，其平均數和中位數都是2，且標準差等于1，則這組數據為。（按照從小到大順序排列）

解析由題意得

因為x1，x2，x3，x4都是正整數，所以只有1，3組合或2，2組合。

若是2，2組合，不妨設x1=x4=2。由標準差等于1，可得s2=1/4x[（x1—2）2+（x2-2）2+（x3-2）2+（x4-2）2]=1，所以（x2-2）2+（x3-2）2=4，而x2+x3=2，此時 x2=0，x3=4或x2=4，x3=0，不滿足條件，所以x1與x4，x2與x3都是1，3組合。因此這組數據為1，1，3，3。

評注：理解平均數，中位數，方差或標準差的含義是解題的關鍵。

感悟與提高

1.一組觀察值4，3，5，6出現的次數分別是3，2，4，2，則樣本平均數為（）。

A.4.55

B.4.5

C.12.5

D.1.64

提示：。應選A。

2.從某公司生產的產品中，任意抽取12件，得到它們的質量（單位：kg）如下：

7.9，9，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9， 7.8，8.3，8。

求這組數據的四分位數。

提示：這組數據按照從小到大的順序排列為7.8，7.9，8，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9，9.9。

作者單位：甘肅省臨夏州臨夏市河州中學

（責任編輯郭正華）231A7922-C614-48CB-A169-C66B93C05CC3