基于頻域差分的智能電表擴頻信號捕獲算法

石文星，賀知明

(電子科技大學 信息與通信工程學院，四川 成都 611731)

0 引言

物聯網技術的發展促進了數字化智能電表的應用[1]。物理層芯片的設計是智能電表運行的關鍵技術之一，而解擴解調模塊是其中的第一部分。在數字接收機中，多普勒頻偏的干擾會導致信號解調出現錯誤，影響電表的正常工作。因此，需在接收端解調前完成同步，消除頻偏影響。同步分為捕獲和跟蹤兩個步驟，捕獲也稱粗同步，目的是獲得接收信號的載波頻偏和偽隨機碼相位偏移的粗略估計值。接收機存在工作性能與處理能力之間的矛盾，設計時既要考慮到有限的計算資源，又要設法提高捕獲系統相關增益[2]。

現有偽碼捕獲算法包括串行捕獲、并行頻率捕獲、并行碼相位捕獲以及基于部分匹配濾波-快速傅里葉變換(PMF-FFT)捕獲算法等[3]。其中PMF-FFT算法可以實現偽碼相位和多普勒頻偏的二維搜索，能夠快速完成碼相位搜索且能在頻偏較大時估計出頻偏。因傳統的基于PMF-FFT結構的捕獲算法有一定缺陷，一些改進算法陸續被提出。從現有的研究成果看，部分改進算法針對捕獲增益存有扇貝損失和頻域衰減的問題，通過窗函數法和補零法以減小增益衰減，這方面研究比較成熟[4-5]。另一部分改進算法則針對算法在低信噪比和大頻偏下捕獲增益不足的問題，結合研究的通信環境，在算法中添加輔助計算模塊如頻域差分模塊、相關值差分模塊等[6-10]。目前，頻域差分法尚未在物聯網領域的擴頻信號捕獲算法中得到應用。現有應用于物聯網的擴頻信號捕獲算法的研究相對較少。

本文基于南方電網無線雙模通信協議，研究突發擴頻信號的載波捕獲和偽碼捕獲算法，即如何在計算資源有限的情況下，提高捕獲增益和信號檢測概率，實現-17 dB信噪比和30 kHz頻偏搜索范圍的工作目標。參考現有的理論研究成果，結合工程實際，提出了一種基于改進頻域差分非相干的PMF-FFT快速捕獲算法，適用于智能電表工作環境。通過仿真實驗，驗證了改進算法可實現預期目標。

1 PMF-FFT捕獲算法原理

依據通信協議，智能電表發送端采用周期長度最大為256的擴頻碼進行前導碼的擴頻，再通過偏移正交相移鍵控(OQPSK)調制將擴頻后的信號調制到載波。在接收端，數字中頻信號通過同相支路和正交支路與本地載波混頻得到兩路相互正交的I路和Q路信號，再經低通濾波后得到基帶信號。本地偽碼的長度N=MX，兩路信號分別與存放于M個X級部分匹配濾波器(PMF)的本地偽碼進行相關運算，共得到M個部分匹配濾波器輸出值。M個運算結果再進行K點(K≥M)FFT運算得到K點傅里葉變換結果，K點FFT輸出最大模值超過預設門限值時捕獲成功，反之則捕獲失敗。最大譜線對應的頻點為多普勒頻偏的估計值，偽碼相位滑動所在位置為碼相位估計值。部分PMF-FFT算法結構如圖1所示。

圖1 PMF-FFT算法結構圖Fig.1 PMF-FFT algorithm structure diagram

假設接收信號的多普勒頻偏為fd，碼片周期為TC，接收信號為r(n)，本地偽碼為c(n)直接進行匹配濾波的輸出值為：

(1)

式中，φ為初始相位，假設φ為0。根據偽碼的自相關特性，捕獲成功時r(k)·c(k-n)的幅值等于1。式(1)可改為：

(2)

將長度為N的匹配濾波器拆分為M段長度為X的部分匹配濾波器，式(2)可改為:

(3)

式(2)和式(3)表明，每段長為X的部分匹配濾波器相關輸出的模值相等。當存在多普勒頻移時，第i段部分匹配濾波器輸出值有2πfdiXTs的頻差。FFT算法可實現頻差補償，進行K點FFT運算，式(3)可改為：

(4)

exp(jφ(k,fd))，

(5)

式中，φ(k,fd)為捕獲算法的相位特性歸一化頻率，即：

(6)

歸一化頻率響應GPMF-FFT(k,fd)是部分匹配濾波器頻率響應GPMF(fd)和FFT頻率響應GFFT(k,fd)的乘積，二者的幅度值|GPMF(fd)|和|GFFT(k,fd)|如下：

(7)

(8)

K點FFT輸出模值的最大值即為捕獲算法的歸一化相關增益A(fd) ：

A(fd)=max{|GPMF-FFT(k,fd)|}。

(9)

2 窗函數法與補零法

針對FFT造成的扇貝損失和PMF造成的頻域衰減問題，采用窗函數法和補零法來改進PMF-FFT算法。

2.1 改善扇貝損失

扇貝損失由柵欄效應和頻譜泄露兩個因素引起。FFT運算結果是對有限長序列的頻譜做等間隔采樣后的樣本，得到的頻譜函數不連續。當多普勒頻偏位于兩個FFT頻點之間，此頻率對應的FFT輸出值會產生衰減。若將這K個頻點視作柵欄，則任意兩個頻點對應頻率間的頻域被柵欄所遮擋，這種現象被稱為柵欄效應。有限序列的尾部補上若干個零后，進行FFT運算的點數增加，柵欄數量增加，一些被遮擋的頻率分量可以在頻譜上顯示出來。

K值確定后，求得頻偏分辨率為：

(10)

式中，Ts是采樣周期，fs是采樣頻率。

依據通信協議，偽碼周期長度N=256，碼片速率Rc=100 kHz。假設信噪比SNR=10 dB，X=16，M=16，偽碼相位偏差為0，頻偏fd范圍為0～12 000 Hz。分別假設K=16和K=32，歸一化捕獲增益輸出如圖2所示。

圖2 FFT補零前后歸一化捕獲增益Fig.2 Normalized acquisition gain before and after FFT zero padding

圖2直觀顯示了頻率不在頻點上時FFT輸出值的衰減，頻率位于兩頻點正中間時的衰減程度最大。補零后頻點數量增加，兩個相鄰FFT點輸出峰值對應的頻率間距變為之前的一半，位于此間距內頻率的捕獲增益提高。補零法可以有效改善柵欄效應引起的扇貝損失，同時提高系統頻率分辨率。但補零后的FFT運算量增加，消耗的計算資源也相應增加，因此不能過多補零。

作FFT運算的點數有限，運算時要截斷無限長的序列，相當于無限長序列與一個矩形窗函數相乘。引入矩形窗函數后，FFT運算結果會出現原信號沒有的頻率分量，這種現象稱作頻譜泄露。為了減少頻譜泄露，可以采用不同的窗函數對信號進行截斷。若窗函數兩側的旁瓣衰減較快，能量集中在主瓣內，則截斷信號的頻譜更接近于實際情況。

常用的窗函數有漢寧窗、漢明窗和布萊克曼窗等。以漢寧窗為例，分析窗函數對頻譜泄露的影響。漢寧窗也稱升余弦窗，其定義為：

(11)

式中，RX(x)為長度為K的矩形窗，幅頻響應近似為：

(12)

式中，WR(w)為長度為K的矩形窗的幅頻特性。

對進行FFT運算的K點數據加漢寧窗函數，FFT幅頻響應為：

(13)

加窗后，新的FFT幅頻響應是原有幅頻響應與前后兩頻點幅頻響應的線性組合。仿真環境不變，對FFT輸入數據加窗，比較歸一化捕獲增益輸出如圖3所示。

圖3 FFT加窗前后歸一化捕獲增益Fig.3 Normalized acquisition gain before and after FFT windowing

如圖3所示，加窗后相鄰兩個FFT頻點交線提高，捕獲增益的衰減程度減小，頻譜泄露得到改善。窗函數法只需用復數乘法器實現，不消耗額外的硬件資源，但不能提高頻偏分辨率。窗的長度越大，改善效果越好，因此窗函數法更適合于長偽碼的處理。

2.2 改善頻域衰減

隨著多普勒頻偏的增大，PMF-FFT頻率響應會有較大的衰減，捕獲系統存在一個頻偏捕獲范圍。部分匹配濾波器并非全通，如式(7)所示，偽碼同步時，PMF頻率響應與sinc函數近似，部分匹配濾波器相當于一個長為X的矩形窗。其主瓣寬度為：

(14)

部分匹配濾波帶寬擴大為直接數字匹配濾波的M倍，BPMF的值即為頻偏搜索范圍。

若對PMF輸入加窗函數，PMF頻率響應的主瓣寬度增加，頻域衰減程度減小。加漢寧窗后PMF幅頻響應為：

(15)

仿真環境不變，對PMF輸入數據加窗，比較歸一化捕獲增益輸出，如圖4所示。

由圖4可知，PMF輸入加漢寧窗后，頻偏增大時捕獲增益曲線的下降程度減緩，系統可搜索的頻偏范圍增大。

圖4 PMF加窗前后歸一化捕獲增益Fig.4 Normalized acquisition gain before and after PMF windowing

3 頻域差分非相干積累法

除了扇貝損失和頻域衰減，捕獲算法還有低信噪比下增益不足的問題。捕獲積累方法可以提高信號的信噪比，進而提高捕獲系統的檢測概率[11]。相干積累利用偽隨機碼的自相關性，將接收信號與本地偽碼的相關結果進行累加，可抑制信號中的噪聲分量，提高信噪比。部分匹配濾波是一個相干積累過程，積累后的信噪比與相干積累時間成正比。由于偽碼長度和捕獲時間要求的限制，相干積累時間不能過長，低信噪比下相干積累后的信號還無法實現捕獲。

非相干積累是將相干積累的結果取模或平方后相加。將歸一化頻率響應GPMF-FFT(k,fd)記為GPMF-FFT(k)=I(k)+jQ(k)，取模累加操作可表示為：

(16)

式中，n是非相干積累次數。在信號平方的同時，白噪聲也進行了平方，相當于兩段時間差為0的高斯白噪聲自相關，其相關值不為0，從而產生平方損耗。

若將FFT輸出結果與后一周期結果共軛相乘，再作n次累加，得到頻域差分非相干結果為：

(17)

由傅里葉變換對性質可知，頻域相乘等于時域相卷積。再由卷積與相關的性質，信號f(t)和g(t)的相關等于f*(-t)和g(t)的卷積，可得FFT輸出結果差分相當于將FFT輸入進行相關后再作FFT運算。頻域差分，時域可視為匹配濾波后的信號進行相鄰兩周期的相關。信號時間差不為0，而高斯白噪聲沒有互相關特性，不會產生平方損耗。運算過程中噪聲與信號的互相關會產生交調噪聲，其對捕獲增益的影響小于平方損耗。因此，頻域差分后非相干積累對捕獲增益的提升程度大于傳統非相干積累，可作為一種優化方案。

4 仿真實驗

4.1 參數配置

依據通信協議，確定了偽碼周期長度N和碼片速率Rc。采樣頻率fs影響頻偏搜索范圍，考慮到硬件資源的限制，設置采樣頻率fs=400 kHz，是碼片速率的4倍，直接匹配濾波長度Ns=4N=1 024。選擇相干積分時間為2.56 ms，即一個偽碼周期持續時間。

部分匹配濾波分段數M決定了頻偏搜索范圍。在Ns=MX條件下，確定M和X的大小。M=128時，理論計算得到的頻偏搜索范圍是50 kHz，滿足算法設計目標。再對PMF輸入加窗，增大理論搜索范圍。部分匹配濾波長度X決定了每個PMF的相干積分時間。此時X=8，部分相干積分時間為20 μs。FFT點數K決定了頻偏分辨率，通常為2的整數次冪。K>M，K數值的選取將按照仿真結果而定。

4.2 仿真結果

參數配置完成后，通過仿真實驗驗證頻域差分非相干法的可行性并選擇合適的改善扇貝損失方法。設置噪聲為加性高斯白噪聲，信噪比SNR=-17 dB，碼相位偏差100 chip。

暫定K=M，先設頻偏fd=30 078 Hz，通過計算求得該頻率位于FFT頻點上。分別用相干積累、非相干積累和頻域差分非相干積累處理信號，觀察實驗結果并加以比較。圖5為相干積累法的仿真結果，可見信號完全淹沒于噪聲中，沒有捕獲峰值的出現。

圖6為非相干積累法和頻域差分非相干積累法的仿真結果，非相干積累次數n=4。碼相位以4N周期依次出現多個顯著捕獲峰值，捕獲峰值的頻點坐標78對應的頻偏值與理論值相符。

(b)PMF-FFT頻域差分非相干積累捕獲增益圖6 PMF-FFT兩種非相干積累捕獲增益Fig.6 PMF-FFT two incoherent accumulation acquisition gains

再設頻偏fd=29 883 Hz，該頻率位于兩個FFT頻點正中間，用非相干積累處理信號，非相干積累次數n=4。圖7是仿真結果，對比圖6(a)，捕獲峰值受到扇貝損失影響，有明顯衰減。

圖7 扇貝損失對PMF-FFT非相干積累捕獲增益的影響Fig.7 Influence of scallop loss on PMF-FFT incoherent accumulation acquisition gain

比較FFT補零法和加窗函數法的捕獲增益，分別設置K=2M，K=M且FFT輸入加窗。圖8為兩種改善扇貝損失法的仿真結果，FFT輸入加窗后底噪和干擾峰值都高于FFT補零。因此，選擇FFT點數K=2M，此時位于兩個FFT頻點正中間的頻偏fd=29 981 Hz。

(a)FFT輸入加窗后PMF-FFT非相干積累法捕獲增益

(b)FFT補零后PMF-FFT非相干積累法捕獲增益圖8 FFT加窗函數和補零后非相干積累法捕獲增益Fig.8 Non-coherent accumulation method acquisition gain after FFT windowing and zero padding

選取8個周期捕獲時的輸出增益，取其中最大值和最小值，信噪比SNR=-17∶1∶10 dB，觀察兩個增益值隨信噪比變化的波動曲線。圖9 為PMF-FFT非相干積累法和頻域差分非相干積累法的信噪比增益變化曲線，隨著信噪比的降低，最大值和最小值的差距逐漸增大。為提高捕獲算法的可靠性，采用多次確認的方法，即捕獲到超過門限的峰值后的數個偽碼周期多次確認是否仍超過門限，減少誤捕的可能。

(a)PMF-FFT非相干積累法捕獲增益變化曲線

(b)PMF-FFT頻域差分非相干法積累捕獲增益變化曲線圖9 捕獲增益與信噪比關系曲線圖Fig.9 Relationship between acquisition gain and signal-to-noise ratio

比較PMF-FFT非相干積累法和頻域差分非相干積累法的檢測概率，評估兩種算法的性能。取最小值與門限對比，計算檢測概率。FFT單點檢測概率為：

(18)

式中，Q是MarkumQ函數，SNRin是輸入信噪比，c是歸一化門限值，|G′PMF-FFT(k,fd)|是8個偽碼周期中FFT第k點的最小模值。

整個系統的檢測概率可以表示為：

(19)

設頻偏fd=29 981 Hz，非相干積累次數n=4，信噪比SNR=-25∶1∶10 dB。圖10為兩種算法模型檢測概率曲線圖，相同的信噪比下PMF-FFT頻域差分非相干積累算法檢測概率更高。

圖10 捕獲算法檢測概率曲線圖Fig.10 Acquisition algorithm detection probability curve

由式(15)和式(16)可知，在相同的積累次數下，PMF-FFT頻域差分非相干積累法計算所需的周期點數比傳統PMF-FFT非相干積累法多一個。考慮到節省計算資源的因素，將頻域差分非相干積累法進行細微改進：

(20)

式中，首周期和末周期的FFT輸出值做了共軛相乘。

設頻偏fd=29 981 Hz，非相干積累次數n=5，改進算法非相干積累次數n=4，信噪比SNR=-25:1:10 dB。圖11為改進PMF-FFT頻域差分非相干積累算法的檢測概率曲線圖，結果顯示，相同信噪比且消耗相同計算資源的情況下，改進算法的檢測概率高于非相干積累法。

(a)3種捕獲算法檢測概率

(b) 捕獲算法檢測概率比較圖11 改進捕獲算法檢測概率曲線圖Fig.11 Improved acquisition algorithm detection probability curve

5 結論

本文根據智能電表信號擴頻序列較短的特點，為實現算法目標，引入了一種基于頻域差分非相干積累的PMF-FFT捕獲算法并加以改進。給出了算法的原理，基于現有研究和實驗結果選擇了合適的改善扇貝損失和頻域衰減的方案，通過仿真實驗得到檢測概率曲線圖，驗證了算法的有效性。仿真結果表明，改進算法可以實現智能電表擴頻信號的捕獲，在信噪比相同的情況下，計算周期點數為5時，其檢測概率高于傳統非相干積累算法3%。