基于響應面法的雙級串聯軸承結構優化設計

胡晶,翟九童,張心明,2,李海龍,荀博

(1.長春理工大學 機電工程學院,吉林 長春 130022;2.佛山科學技術學院 機電工程與自動化學院,廣東 佛山 528225)

0 引言

滾動軸承具有高速、耐高溫和負載大等優點,目前在航空航天領域中應用十分廣泛。由于滾動軸承的承載面積小,在高速運轉情況下極易出現嚴重的機械性損傷,根據應用場合的要求,越來越多的軸承需要在高速、高溫和交變載荷條件下工作。為了進一步提升軸承極限轉速,目前國外已出現多級串聯軸承結構,其中雙級串聯軸承作為多級軸承的一個特例,也稱為“雙層滾動軸承”。Prashad首先提出了雙級串聯軸承的結構,并在2 500 r/min轉速下對溫升、阻尼和應力進行了一系列研究,發現雙級串聯軸承的以上各項性能均優于傳統單級軸承,并且于后續的研究得出可將雙級串聯軸承等效成具有某個等效節徑和等效球徑的單級軸承,并提出了雙級串聯軸承等效剛度的概念。徐龍祥提出了用兩個滾動軸承與一個轉接環I字型嵌套組合成為一個雙級串聯軸承,并將其應用到磁懸浮軸承的保護軸承上。朱益利等通過擬動力學原理求解了雙級串聯軸承剛度,發現兩級軸承節徑關系直接影響到轉速分配關系,研究了不同結構的雙級串聯軸承在高速重載下的工作性能。俞成濤等分別根據摩擦力矩理論與純滾動理論推導出了轉速分配比的理論計算公式,并通過實驗證明摩擦力矩理論公式更為準確。金超武等基于有限元法,分析了在一定載荷作用下滾珠與套圈溝道的接觸應力以及彈性變形,驗證了有限元法求解雙級串聯軸承載荷分布的合理性。鄭衍通等基于傳熱學、滾動軸承摩擦學以及轉子動力學等理論,建立了雙級串聯軸承的熱傳遞模型,研究了雙級串聯軸承的熱學特性。Hu等基于擬靜力學理論,建立了雙級串聯軸承的擬靜力學求解的雙層算法求解模型,研究了雙級串聯軸承的數值求解問題。

由以上研究可知,相比于傳統滾動軸承,雙級串聯軸承具有極限轉速高、阻尼大、溫升低、磨損小和壽命長等優點,但因其結構導致其體積與質量的增大,無法滿足諸如小型航天器、微型渦噴發動機等輕型應用場合,目前關于雙級串聯軸承優化的研究還未見報道。

針對此問題,本文分別從靜力學仿真與穩態熱仿真兩方面分析研究改變軸承內部結構參數對軸承等效應力、接觸應力、溫度以及質量的影響,并將其最大值作為目標函數對雙級串聯軸承進行結構優化設計,在保證軸承疲勞壽命和溫升性能的前提下,最大限度地降低雙級串聯軸承的質量,使其能夠應用于更多輕質的場合,為雙級串聯軸承優化設計提供理論依據。

1 有限元分析

1.1 雙級串聯軸承型號選取

圖1所示為雙級串聯軸承結構示意圖,其中兩軸承內、外套圈與轉接環通過過盈裝配相互連接,進而組成軸承中圈,內圈安裝在軸上,外圈安裝在軸承座內。由圖1可以看出,在各軸承型號確定即中圈厚度確定的情況下,軸承內部幾何參數和轉接環的材料密度對于雙級串聯軸承質量的大小起到主要的影響。

本文建立的雙級串聯軸承有限元模型使用的第1級軸承型號為61901,第2級軸承型號為61905,轉接環厚度0.5 mm。雙級串聯軸承的幾何尺寸參數如表1所示。

表1 雙級串聯軸承幾何尺寸參數Tab.1 Geometry parameters of double-decker ball bearings

表1中各級軸承皆采用混合陶瓷球軸承,即球為陶瓷(氮化硅)材料,各套圈為軸承鋼的滾動軸承。球采用陶瓷材質比鋼制材質能提高軸承的壽命,同時能減輕質量,轉接環分別選用軸承鋼、鋁合金和鈦合金材料進行對比分析。上述各材料的材料屬性如表2所示。

表2 各材料屬性Tab.2 Material properties

滾動軸承中球與滾道接觸屬于點接觸問題,接觸區域非常小,接觸應力高,應力變化大且集中于接觸區域附近,滾動軸承的倒角和過渡圓角等部分對內部應力、形變和各滾道間的發熱幾乎沒有影響。保持架相對于靜力條件下的球與滾道形變相關性不大,且尼龍保持架的熱傳導率遠不及軸承鋼,因此為了減少計算規模,在幾何建模時將它們忽略。為了縮短計算周期且更直觀地觀察和獲取接觸點附近應力場與應變情況,根據軸承對稱性及承載情況建立了1/2軸承模型,建模結果如圖2所示。

圖2 雙級串聯軸承1/2模型圖Fig.2 Half model of double-decker ball bearing

1.2 雙級串聯軸承靜力學分析

文獻[19]提出對滾動軸承的疲勞壽命進行優化時,降低軸承內部最大應力可有效地提高軸承疲勞壽命。因此通過對軸承進行靜力學有限元分析,得到軸承內部球與滾道間的接觸應力以及等效應力分布情況,并選取雙級串聯軸承靜載狀態下的最大接觸應力以及最大等效應力作為目標函數對軸承疲勞壽命進行優化分析。

將構建好的模型導入有限元分析軟件ANSYS Workbench中,同時在模型截面處建立參考平面,對整體模型施加對稱約束。分別對各級軸承球與內外滾道建立接觸對,接觸類型為摩擦接觸,設置摩擦因數為0.03。由于軸承中圈是由轉接環與各套圈之間過盈裝配連接,將第1級軸承的外圈、第2級軸承的內圈通過命令合并為一整體,在劃分網格時將共享網格節點,以減小計算誤差,共計建立了60個接觸對。為了方便后續優化迭代、減少計算時長,只將球與滾道接觸部分網格局部細化,共建立了615 693個節點、365 262個單元。其施加的邊界條件與載荷示意圖如圖3所示。

圖3 雙級串聯軸承施加邊界條件與載荷的示意圖Fig.3 Schematic diagram of boundary conditions and loads of double-decker ball bearing

施加的約束條件如下:

1)在軸承內圈內表面上施加500 N的徑向力;

2)約束軸承內、中圈軸向自由度;

3)約束兩級滾動體軸向及繞圓周方向自由度;4)在所有截面上施加無摩擦約束;

5)在軸承外圈外表面所有節點上施加固定約束。

求解后得到雙級串聯軸承各圈的最大等效應力、最大接觸應力云圖如圖4、圖5所示。由圖4可知,雙級串聯軸承等效應力呈橢圓狀分布,最大等效應力出現在承載方向上球與各套圈滾道接觸處,轉接環處未看到顯著應力集中現象,由此可知靜力分析中的轉接環材料對于雙級串聯軸承中圈形變影響不大。由圖5可知,軸承滾道接觸處最大接觸應力為3 269.1 MPa位于徑向承載方向上第1級軸承球與內圈滾道接觸處。

圖4 雙級串聯軸承等效應力云圖Fig.4 Equivalent stress nephogram of double-decker ball bearing

圖5 雙級串聯軸承接觸應力云圖Fig.5 Contact stress nephogram of double-decker ball bearing

根據Hertz彈性接觸理論,球與滾道之間的接觸應力與變形可由以下公式求得:

式中:為接觸應力;、、n由文獻[19]表2～表4查得;為主曲率和函數;為接觸面兩種材料的綜合彈性常數;為球和滾道之間的法向載荷。由于球與滾道之間存在間隙,仿真分析中最大位移云圖并不能準確地反映出球與滾道之間產生的最大變形。因此以最大接觸應力作為參考,對比赫茲接觸理論計算結果分析誤差。經赫茲理論計算結果得到最大接觸應力為3 219.1 MPa,誤差為1.5,驗證了仿真結果的正確性。

1.3 雙級串聯軸承穩態熱分析

軸承在工作時其內部元件之間相互摩擦生熱,使軸承內部溫度升高,從而出現軸承工作表面變形等問題,致使軸承使用性能下降與損壞。因此通過對軸承進行穩態熱分析,得到軸承穩定運行下的溫度場分布情況,并選取軸承最大溫度作為目標函數對軸承溫升情況進行優化分析。

由各種摩擦因素構成的對軸承旋轉的阻力矩稱為滾動軸承的摩擦力矩,軸承的摩擦力矩具有多因素和隨機性等特征,本文考慮了負荷引起的摩擦和潤滑劑引起的黏性摩擦,具體計算方法參考文獻[20]。將求得的軸承生熱量與各表面對流換熱系數添加至Workbench軟件中,接觸設置與網格尺寸采用1.2節所述進行設定,網格類型采用六面體網格。為了便于計算分析,需要對邊界條件做出適當的簡化,對于優化目標而言,不同尺寸之間軸承的最大溫度對比為相對值,因此將接觸表面之間的摩擦系數、材料的熱傳導率、對流換熱系數等參數在整個分析過程中設為恒定值。在徑向載荷500 N、內圈轉速10 000 r/min以及室溫22℃的條件下,采用軸承鋼轉接環的雙級串聯軸承溫度分析結果如圖6所示,最大溫度為115.2℃,主要位于球與滾道接觸處。

通過分析對比圖6中溫度分布情況可知,雙級串聯軸承結構中的生熱熱源集中在第1級軸承球與滾道接觸摩擦處,并且溫度遠大于第2級軸承。轉接環與各套圈為過盈裝配,不發生相對位移因而無熱源產生,溫升主要依賴熱傳遞,因此轉接環材料的物性將影響到第1級軸承向外散熱的性能。

圖6 雙級串聯軸承溫度云圖Fig.6 Temperature nephogram of double-decker ball bearing

在500 N的徑向載荷下,采用不同材料轉接環對軸承中圈溫度的影響情況如圖7所示。由圖7可見,由于鋁合金的熱導率與對流換熱系數均大于另兩種材料,在散熱性能上有著顯著的優勢,因而采用鋁合金轉接環的軸承中圈最大溫度得到了有效降低,質量也得到了有效降低。

圖7 使用不同材料轉接環的中圈溫升情況Fig.7 Temperature rise of the middle ring of different materials-made adapter rings

2 多目標優化

2.1 設計變量的選取

雙級串聯軸承的質量主要取決于各級軸承內部幾何參數和轉接環的材料密度,因此本文選取各軸承球徑、球數、內外圈溝曲率半徑系數、作為設計變量,轉接環材料根據仿真結果選取鋁合金轉接環,將設計變量表示成

式中:、分別為第1級和第2級軸承的球徑;、分別為第1級和第2級軸承的球數;、分別為第1級軸承內外溝曲率半徑系數;、分別為第2級軸承內外溝曲率半徑系數。

2.2 目標函數的確定

雙級串聯軸承的優化設計類似單級軸承,根據實際工況,本文選取軸承質量、變形以及溫度作為優化目標,通過有限元模型進行靜力分析,得到各軸承套圈變形、等效應力及接觸應力分布云圖,以各項最大值對變形進行衡量;溫度可通過對有限元模型進行穩態熱分析得到。以軸承整體最大溫度作為目標函數,則目標函數可表示為

式中:()為目標函數;為軸承質量(kg);為軸承最大溫度(℃);為最大等效應力(MPa);為最大接觸應力(MPa)。

2.3 約束條件的定義

為使雙級串聯軸承在結構優化后不降低其各項性能指標,需要對各目標函數定義以下約束:

式中:()、()、()分別為溫度、變形和應力的約束條件;為溫度;為變形;為應力。

根據文獻[20,22]中的軸承應用設計標準,對高速深溝球軸承的內部幾何參數取值范圍進行了約束,表3給出了各設計變量的邊界約束條件。

表3 設計變量邊界約束條件Tab.3 Boundary constraints of design variables

2.4 優化流程

多目標優化問題不同于單目標優化,其各個目標之間存在相互沖突,即各個目標函數不能同時達到最優解,需要對目標之間進行均衡處理,最終得到一個均衡解。對于雙級串聯軸承的結構而言,在球徑不變的情況下,內外溝曲率半徑系數與內外溝曲率半徑呈正比,溝曲率半徑越大,套圈與球的接觸面積就越小,套圈與球的接觸應力就越大。當增大球數時,軸承質量相應增大,但每個球承受滾道處的載荷就越小,接觸應力也越小。為了求解多目標優化問題,本文采用Workbench軟件中的響應面優化法,其優化流程如圖8所示。

圖8 響應面法多目標優化流程Fig.8 Multi-objective optimization process of response surface method

3 優化結果分析

3.1 局部靈敏度分析

為了更好地評估軸承設計,需要進行各參數相關性分析,本文根據表3中的各設計變量參數取值范圍關聯建立了300個試驗設計點,圖9所示為求解得到的設計變量與目標函數之間的局部靈敏度系數,其中球數為離散點不計入在內。由圖9可知:第2級軸承的內外溝曲率半徑系數對軸承質量影響最大;第1級軸承內溝曲率半徑系數對最大接觸應力與最大等效應力影響最大,之后則是第1級軸承球徑;第1級軸承球徑與溝曲率半徑對軸承最大溫度影響最大,其余參數對其影響不明顯,因此在進行優化設計時可將第2級球徑與第1級外溝曲率半徑系數排除求解范圍,并根據實際軸承幾何尺寸選取質量較低值。

圖9 各參數局部靈敏度系數Fig.9 Local sensitivity coefficient of each parameter

3.2 求解響應面函數表達式

響應面法的基本思想是通過一系列樣本點確定近似函數中的待定系數,以求得近似隱式的實際響應函數多項式表達式,將各設計點結果代入Kriging模型,可求解得到各個設計變量與目標函數的響應面曲線,如圖10所示。

由圖10(a)可知:隨著第1級軸承球徑的增大,軸承最大接觸應力減小;隨著第1級內溝曲率半徑(圖10中坐標實為溝曲率直徑)增大,軸承最大接觸應力增大。由圖10(b)可知:隨著第1級軸承球徑的增大,軸承最大等效應力增大;隨著第1級內溝曲率半徑增大,軸承最大等效應力減小。由圖10(c)可知,隨著第2級軸承內外圈溝曲率半徑系數的增大,軸承質量減小。由圖10(d)可知:隨著第1級軸承球徑的增大,軸承溫升減小;隨著第1級軸承內圈溝曲率半徑系數的增大,軸承溫升增大。

圖10 設計變量—目標函數響應面Fig.10 Design variable-objective function response surface

3.3 多目標驅動優化

響應面求解完畢,可以獲取響應面中的近似響應點并運用MOGA進行多目標優化,MOGA是通過響應面搜索全局的最優設計方法。基于設計變量與目標函數數量,指定初始樣本個數為500,每次迭代樣本個數為100,為了防止求解過早收斂,最大允許的Pareto解個數為70%,最大可能迭代次數20次。其中軸承球徑在初始球徑鄰域內根據國家滾動軸承鋼球標準GB/T 308—2002取標準值,其中第1級軸承球徑取2.778 mm、3.000 mm、3.175 mm,第2級軸承球徑取3.969 mm、4.000 mm、4.366 mm、4.500 mm、4.762 mm,并根據實際軸承幾何尺寸選取第2級軸承球徑4.50 mm和4.762 mm、第1級外溝曲率半徑系數按實際廠家生產尺寸取0.52～0.57作為邊界條件,經求解計算后得到3組候選解,優化結果如表4所示。

表4 優化結果候選解Tab.4 Candidate solutions of optimized results

根據軸承的實際需求選取第3組優化候選解作為雙級串聯軸承優化設計結果,優化后的最大接觸應力為2 971.2 MPa,相比優化前減小9.11%;最大等效應力為1 889.9 MPa,減小6.45%;最大溫度為117.39℃,增大1.9%;軸承質量為0.504 1 kg,對比優化前減小10.47%,軸承質量和應力得到有效降低,溫度增長較小,在考慮靜力及熱力條件下的雙級串聯軸承結構優化結果滿足設計目標。

4 試驗驗證

為驗證優化結果的正確性,分別加工軸承鋼和鋁合金材料的轉接環并根據優化后的參數選購了兩種混合陶瓷球軸承,其中球徑和球數與優化結果相同,溝曲率半徑系數根據廠家產品尺寸選取近似零件,并根據設計目標搭建了試驗裝置,同時滿足了靜態加載試驗與動態測溫試驗。

4.1 靜態加載試驗

靜態加載試驗裝置結構如圖11所示,采用螺栓進行徑向加載,通過拉力計讀出載荷大小,并根據力矩平衡公式進行換算后得到待測軸承所承擔的載荷。在待測軸承附近的轉軸下方安裝米朗科技有限公司生產的ML33型電渦流傳感器,量程為1 mm,通過電渦流傳感器測量轉軸的徑向位移,并使用計算機采集實時位移曲線。由于轉軸的剛度遠大于軸承剛度,可將其撓曲變形忽略,即可近似地將測量得到的徑向位移視為軸承徑向變形量,并根據赫茲理論中求解得到的徑向變形加以驗證。

圖11 靜態加載試驗裝置圖Fig.11 Static loading test device

為防止軸承游隙對試驗結果造成影響,試驗前對軸承進行預緊,預緊后的軸承在50～500 N載荷的情況下優化前后兩組徑向變形量與理論計算對比如圖12所示。從圖12中可知,有限元分析和Hertz理論計算結果相近,理論計算結果與試驗結果曲線接近,整體數值小于試驗結果。這是因為試驗中忽略了轉軸的實際變形量,且Hertz理論是基于軸承套圈為剛體的假設,并未考慮其變形造成的影響。在50～500 N載荷下優化后的雙級串聯軸承徑向變形量小于優化前,驗證優化方法正確性。

圖12 優化前后雙級串聯軸承徑向變形量對比Fig.12 Comparison of radial deformations of double-decker ball bearings before and after optimization

4.2 動態測溫試驗

動態測溫試驗結構如圖13所示,電機選取英國ABL公司生產的H930AL1型空氣軸承電機,額定轉速為300 000 r/min,可通過變頻器調節主軸轉速。在待測軸承右側安裝SZ-515A型紅外線測溫儀,測量精度為±1℃,將光路對準軸承內圈,以測量雙級串聯軸承內圈實時溫度。

圖13 動態測溫試驗裝置圖Fig.13 Dynamic temperature measuring device

在徑向載荷為500 N情況下分別對優化前后的兩組軸承在內圈轉速為500～10 000 r/min的工況下進行試驗,并與有限元結果進行分析對比,結果如圖14所示。

圖14 優化前后的雙級串聯軸承內圈溫升對比Fig.14 Comparison of temperature rises of inner ring of double-decker ball bearing before and after optimization

從圖14中可知,試驗結果與有限元法分析結果接近,誤差主要來源于在實際試驗時環境溫度與有限元分析設定相差較大,導致材料熱導率及換熱對流系數發生相應改變,優化后的雙級串聯軸承在10 000 r/min以內的工況下內圈溫升對比優化前增大不明顯,驗證了優化方法的可行性。

5 結論

本文針對雙級串聯軸承質量較大問題,基于Workbench有限元分析軟件對軸承進行靜力分析和穩態熱分析,結合Hertz理論計算結果驗證了有限元分析的正確性。以雙級串聯軸承的球徑、球數和內外溝曲率半徑系數作為設計變量,以質量、最大等效應力、最大接觸應力與最大溫度作為目標函數,以響應面法求解得出各軸承設計變量與目標函數之間的局部靈敏度系數,通過篩選靈敏度較低參數來獲取更具有針對性的雙級串聯軸承結構優化設計參數。基于MOGA,在保證軸承各目標函數滿足約束條件的前提下,對雙級串聯軸承進行了多目標優化。根據優化結果進行了靜態加載與動態測溫試驗,分析對比了雙級串聯軸承優化前后的有限元結果與試驗結果,驗證了該優化方法的合理性。優化結果表明,在各目標函數滿足設計要求的前提下,雙級串聯軸承減重幅度為10.47%;最大接觸應力減小9.11%;最大等效應力減小6.45%;最大溫度增大1.9%。本文優化方法為雙級串聯軸承結構優化設計提供了理論參考依據。