基于靈敏度-有效獨立法的橋梁結(jié)構(gòu)傳感器優(yōu)化布置研究

楊志魁，楊雅勛，于海波

(1.陜西職業(yè)技術學院建筑工程學院，陜西 西安 710000；2. 長安大學 公路學院，陜西 西安 710000)

0 引言

在對橋梁健康進行監(jiān)測時，傳感器系統(tǒng)既是監(jiān)測系統(tǒng)的子系統(tǒng)，又是采集數(shù)據(jù)的重要工具。復雜橋梁的自由度多，實際測試時考慮到經(jīng)濟效益和技術實現(xiàn)等因素，不可能在橋梁的每一個自由度都布置傳感器。如何安排有限數(shù)量的傳感器來實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)狀態(tài)改變信息的最優(yōu)采集，成為了復雜橋梁健康監(jiān)測的關鍵技術之一[1]。一種好的傳感器布設方案能夠在含噪音的環(huán)境中，利用盡可能少的傳感器，獲取全面、精確的結(jié)構(gòu)參數(shù)信息[2]。

目前在基于動力性能的傳感器優(yōu)化布置理論方面，主要有靈敏度系數(shù)法、有效獨立法(EI)、模態(tài)動能法(MKE)[3-4]、奇異值分解法[5]、遺傳算法[6]等幾種方法，但是任何單一方法都存在自身的缺陷和不足。基于傳感器優(yōu)化布置理論的單一解法，楊雅勛等提出了基于能量系數(shù)-有效獨立法的傳感器優(yōu)化布置方法[7]；Castro-Triguero用基于Fisher信息矩陣和能量矩陣秩優(yōu)化的方法研究了桁架橋結(jié)構(gòu)參數(shù)對傳感器布置結(jié)果的影響[8]；LI討論了EI法和MKE法之間的內(nèi)在聯(lián)系，認為前者可以通過對后者迭代得到[9]；桂成中提出了基于模態(tài)分量加和法和差分法對傳感器布置進行優(yōu)化的方法[10]；孫曉丹等以靈敏度分析理論為基礎，進行了多類型的傳感器優(yōu)化布置[11-12]；ZHOU等將螢火蟲算法用于傳感器的優(yōu)化布置，并通過對編碼方式進行改進，得到了螢火蟲算法解決離散優(yōu)化問題的解法[13-15]；人工蜂群算法、遺傳算法等在傳感器優(yōu)化布置問題中也有所應用[16-20]；李世龍針對復雜結(jié)構(gòu)損傷識別傳感器布置問題，提出了一種多目標傳感器優(yōu)化布置方法[21]。

采用本研究提出的算法及模態(tài)數(shù)目的選取方法對某簡支桁架橋工程和斜拉橋進行傳感器優(yōu)化布置，通過最小均方差準則等評價方法來評價不同的橋梁結(jié)構(gòu)傳感器優(yōu)化布置方案。

1 傳統(tǒng)優(yōu)化算法

1.1 有效獨立法

有效獨立法[22-25]的主要思想以所有待測數(shù)據(jù)的自由度為初始數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的處理過程是將對目標模態(tài)振型向量線性無關貢獻最小的自由度消除，來得到優(yōu)化后的最大有效程度的參數(shù)信息，以保證優(yōu)化布置后的傳感器盡量保留有效的所需參數(shù)信息。根據(jù)模態(tài)疊加原理，可以將傳感器的輸出信息ys表示為：

ys=Φq+ω,

(1)

(2)

ED=ΦΨAλ-1(ΦΨA)-1=Φ[ΦTΦ]-1ΦT，

(3)

式中，ΨA為A0的標準化特征向量；λ為相應的特征值。矩陣ED的對角線元素表征了相應傳感器對模態(tài)矩陣的線性不相關的程度。以迭代算法逐漸消除ED對角線元素最小的監(jiān)測點，至所需監(jiān)測點的數(shù)目。

1.2 靈敏度系數(shù)法

靈敏度系數(shù)法[26-28]通常應用于小阻尼結(jié)構(gòu)中，認為發(fā)生損傷時，結(jié)構(gòu)參數(shù)中僅剛度特性發(fā)生變化，而阻尼和質(zhì)量特性均不變。n個自由度的動力系統(tǒng)剛度發(fā)生微小變化時，若不考慮阻尼特性的變化，振動控制方程為：

[(K+ΔK)-(λi+Δλi)M](Φi+ΔΦi)=0， (4)

式中，K為結(jié)構(gòu)剛度；M為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；λi和Φi表示振動方程的特征值和振型向量。可以將振型向量變化ΔΦi表示為待優(yōu)化監(jiān)測點模態(tài)的線性組合：

(5)

式中，dij是權重系數(shù)。考慮振型向量的垂直特性，聯(lián)立式(4)、(5)可以得到：模態(tài)階數(shù)為r時，當i≠r有:

(6)

(7)

QS=STS。

(8)

QS反映了結(jié)構(gòu)各單位對結(jié)構(gòu)損傷的靈敏度。上述方法(即靈敏度系數(shù)法)以有限的模態(tài)數(shù)目解決了損傷結(jié)構(gòu)下選擇傳感器布置測點的問題，其局限性是要求測試模態(tài)對結(jié)構(gòu)損傷具有足夠的靈敏度。

2 評價準則

(1)模態(tài)置信準則[29-30](MAC準則)

在進行傳感器優(yōu)化布置時要盡量選擇那些擁有較大的空間夾角的測點以盡量保存模態(tài)信息。評價各階振型在其自由度上形成的MAC陣的非對角元素值的幅值，即可評價其對應模態(tài)矢量的空間相位，其公式為：

(9)

式中,Φi、Φj分別表示第i階和第j階振型矢量。2個向量之間的耦合程度越高，MAC陣中對應的非對角元素越趨近于1，反之越趨近于0。通常可以認為此評價值大于0.9時2個模態(tài)線性相關；評價值小于0.25時2個模態(tài)相互垂直。

(2)最小均方差準則[31-32]

用有限元模型分析得到的自由度位移值和優(yōu)化后傳感器擴展自由度所得的位移值做差，求出誤差的總均方差，然后按總均方差的大小評價傳感器優(yōu)化布置方案，其公式為:

(10)

3 基于模態(tài)貼近度選取模態(tài)數(shù)目

結(jié)構(gòu)共有n階模態(tài)振型向量Φi(1≤i≤n)，其二范數(shù)為‖Φ‖2，定義2個相鄰模態(tài)振型向量二范數(shù)差的絕對值為模態(tài)貼近度，即:

Δ?i=|‖Φi+1‖2-‖Φi‖2|, 1≤i≤n-1。

(11)

因為可以用范數(shù)來度量矩陣之間的距離，所以認為Δ?小到一定程度時2種模態(tài)優(yōu)化后的結(jié)果是相似的，那么只需保留其中一個模態(tài)作為傳感器優(yōu)化的參與振型，并將其繼續(xù)與下一個模態(tài)進行對比，直到達到優(yōu)化要求。

4 基于靈敏度-有效獨立法的傳感器優(yōu)化布置算法

根據(jù)模態(tài)疊加原理，含有損傷信息的傳感器輸出信息yd可以表示如下：

yd=(Φ+ΔΦ)q+ω,

(12)

式中,Φ為有限元模態(tài)振型按測點縮減后的模態(tài)矩陣；ΔΦ為結(jié)構(gòu)損傷引起的振型變化，可以用靈敏度系數(shù)法中的剛度變化表征振型變化，即ΔΦi=δiSi；ω是方差為σ2的靜態(tài)高斯白噪聲，即式(10)寫為:

yd=(Φ+δS)q+ω，

(13)

矩陣形式：yd=(ΦS)(qβq)T+ω，

式中，β=diag(δ1,δ1,…,δ1)，令Λ=(ΦS)，p=(qβq)T，則式(12)可以寫成:

yd=Λp+ω。

(14)

(15)

于是可以得到基于靈敏度-有效獨立法的傳感器布置優(yōu)化流程，如圖1所示。

圖1 靈敏度-有效獨立法的優(yōu)化布置流程Fig.1 Flowchart of optimal arrangement of sensitivity and effective independent method

5 簡支桁架橋工程實例

某鐵路簡支桁架橋節(jié)點示意圖如圖2所示，上弦桿截面積為107.4 cm2，腹桿截面積為84.64 cm2，下弦桿截面面積為119.4 cm2，上下弦桿及5 m，直腹桿長7 m，水平連接桿長9 m。彈性模量2.06×108kN/m2，桿件重度為7 850 kg/m3，共由24個連接點和54個桿件組成。以該工程為實例，比較本研究提出的算法與有效獨立法和靈敏度系數(shù)法，驗證算法有效性。

圖2 桁架橋節(jié)點示意圖Fig.2 Schematic diagram of nodes on truss beam bridge

5.1 模態(tài)分析及振型選取

提取有限元模型前40階模態(tài)振型向量，采用MATLAB軟件計算各階模態(tài)振型矩陣的模態(tài)貼近度，結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，模態(tài)貼近度在第8次做差之后差值即趨于0，因此選取前8階作為傳感器優(yōu)化布置的計算模態(tài)數(shù)。前8階模態(tài)的頻率和振型如圖4所示。

圖3 模態(tài)貼近度統(tǒng)計圖Fig.3 Curves of modal closeness summary

圖4 前8階模態(tài)振型和頻率Fig.4 First 8-order mode shapes and frequencies

5.2 傳感器優(yōu)化布置方案

選取前8階振型作為優(yōu)化模態(tài)，將有效獨立法、靈敏度系數(shù)法和本研究提出的靈敏度-有效獨立法優(yōu)化后的測點布置傳感器優(yōu)先順序部分結(jié)果總結(jié)在表1。

表1 各方法測點布置傳感器優(yōu)先順序Tab.1 Priority of sensor arrangement at measuring points by different methods

比較上述3種監(jiān)測點自由度的優(yōu)選順序結(jié)果可知，本研究提出的靈敏度-有效獨立法最多地將監(jiān)測點布置于跨中節(jié)點，與動力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的實際情況更為接近。假設傳感器數(shù)量為10個時，優(yōu)化后的測點布置如圖5所示。

圖5 傳感器布置圖Fig.5 Layout of sensors

5.3 結(jié)果評價

對上述3種傳感器優(yōu)化布置算法采用常用2種評價準則(MAC和最小均方差準則)對其優(yōu)化結(jié)果進行評價。

(1)模態(tài)保證準則(MAC)

通過計算可以得到MAC均值。其中本研究算法得到的MAC均值為0.072 13，有效獨立法為0.083 55，靈敏度系數(shù)法為0.173 59，結(jié)果如圖6所示。

圖6 MAC均值比較Fig.6 Comparison of MAC mean values

由上述結(jié)果可知，采用本研究提出的算法得到的MAC均值相比于其他兩種方法更小，說明本研究方法能夠較好地保留動力結(jié)構(gòu)的模態(tài)信息。

(2)最小均方差準則

對3種優(yōu)化布置的自由度進行3次樣條插值，然后與有限元素的模態(tài)振型進行對比，得出相互之間的均方差。3種算法擴階后的均方差見圖7，總均方差比較見圖8。易知，本研究提出的優(yōu)化布置算法得出單個模態(tài)振型還或整體模態(tài)振型的均方差，都比其他2種算法的傳感器擴階后的小。

圖7 振型均方差比較Fig.7 Comparison of modal mean square errors

圖8 總均方差比較Fig.8 Comparison of total mean square errors

5.4 模態(tài)數(shù)目選取方法評價

目前在動力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)傳感器布置研究時，依據(jù)經(jīng)驗選取前5階模態(tài)振型進行優(yōu)化布置。為了與傳統(tǒng)算法進行比較，本研究提出的靈敏度-有效獨立法分別選取5階、8階、10階、20階模態(tài)振型進行優(yōu)化布置，并采用MAC和最小均方差準則對選取監(jiān)測模態(tài)點進行評價。

選取不同階數(shù)的模態(tài)進行傳感器優(yōu)化布置，部分結(jié)果見表2，由于前20階結(jié)果與前10階結(jié)果一致，因此未列出20階模態(tài)傳感器布置結(jié)果。從表2易知，采用前5階模態(tài)與前8階模態(tài)進行優(yōu)化布置，結(jié)果差異性較大，而采用前8階模態(tài)與采用前10階模態(tài)進行傳感器布置，結(jié)果基本相同。這說明基于模態(tài)貼進度選取模態(tài)數(shù)目的方法基本不會丟失模態(tài)信息，并且能夠以盡量少的模態(tài)數(shù)目達到與較多模態(tài)數(shù)目同樣的結(jié)果。

表2 不同模態(tài)階數(shù)布置傳感器優(yōu)先順序Tab.2 Priority of sensor arrangement by different modal orders

由圖9及圖10結(jié)果可知，隨著選取模態(tài)階數(shù)的增加，MAC均值呈現(xiàn)不斷下降的趨勢，但是幅度并不明顯；前8階優(yōu)化結(jié)果的總均方差明顯小于前5階總均方差，而前10階和前20階總均方差相對于前8階總均方差下降變化速率基本為0，即相對下降不明顯。

圖9 MAC均值比較Fig.9 Comparison of MAC mean values

圖10 總均方差比較Fig.10 Comparison of total mean square errors

因此可以認為本研究提出的基于模態(tài)貼近度選取模態(tài)數(shù)目的方法能夠較好地保存模態(tài)信息，完成傳感器的優(yōu)化布置。

5.5 傳感器數(shù)目影響分析

為研究傳感器數(shù)目對本研究方法精度的影響，以上述鐵路鋼桁架為例，分別以傳感器數(shù)目為6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20為控制值，進行傳感器優(yōu)化布置。分析不同傳感器數(shù)目下的MAC矩陣中的最大的非對角元素值，統(tǒng)計值見圖11。

圖11 MAC矩陣的最大非對角元變化曲線Fig.11 Curve of maximum non-diagonal element of MAC matrix

從圖11可以看出，對于不同數(shù)目的傳感器，MAC矩陣的最大值不同，總體表現(xiàn)出隨著傳感器數(shù)目增多，最大值不斷下降，后面隨傳感器數(shù)目增多，但最大值沒有太大變化。在傳感器數(shù)目為10與12左右出現(xiàn)最小值。從經(jīng)濟性角度來看，雖然布置足夠多的傳感器，可以獲得更多的信息，但經(jīng)濟性不強。故本研究綜合以上，選擇布置10個傳感器。

6 矮塔斜拉橋工程實例

某矮塔斜拉橋示意圖如圖12所示。主橋為非對稱獨塔斜拉橋結(jié)構(gòu)，采用半漂浮體系。全橋含牛腿共長244.4 m，跨徑布置為(151.1+91.1)m，邊主跨比0.6。主跨為鋼梁-UHPC薄層輕型組合梁，邊跨為混凝土箱梁。橋塔為鋼結(jié)構(gòu)，左塔高105.12 m，右塔高120.12 m，距離塔底90.12 m設置鋼橫梁。主塔設置牛腿，主梁通過支座支承在橋塔牛腿上。主橋梁段也設置牛腿，利用現(xiàn)澆板梁重量進行壓重處理。

圖12 矮塔斜拉橋模型Fig.12 Model of a low-pylon cable-stayed bridge

6.1 模態(tài)分析及振型選取

參考工程實例1的鐵路桁架橋，提取有限元模型前40階的模態(tài)振型向量，計算各階模態(tài)振型矩陣的模態(tài)貼近度，結(jié)果如圖13所示。模態(tài)貼近度在第10次之后差值即趨于0，選取前10階模態(tài)作為傳感器優(yōu)化布置的計算模態(tài)數(shù)。此矮塔斜拉橋的前10階頻率和振型如圖13所示。

圖13 前10階模態(tài)振型和頻率Fig.13 First 10-order mode shapes and frequencies

6.2 傳感器優(yōu)化布置方案

選取前10階振型作為優(yōu)化模態(tài)，全橋主梁共248個候選布置節(jié)點，節(jié)點號縱橋向方向從小到大排列。將有效獨立法、靈敏度系數(shù)法和本研究提出的靈敏度-有效獨立法優(yōu)化后的測點布置傳感器優(yōu)先順序部分結(jié)果總結(jié)在表3。需要說明的是，由于縱橋向是相比于橫橋向和豎橋向變形更重要的方向，因此為作簡化僅采用縱橋向布置單一方向傳感器。

表3 不同算法的布置方案Tab.3 Arrangement schemes by different algorithms

本研究算法優(yōu)化傳感器布置方案見圖14所示。

圖14 傳感器布置示意圖Fig.14 Schematic diagram of sensor layout

6.3 結(jié)果評價

使用MAC準則和最小均方差準則對不同算法的布置方案效果進行評價。

(1)模態(tài)保證準則(MAC)

通過計算可以得到MAC均值。其中本研究算法得到的MAC均值為0.103 55，有效獨立法為0.072 3，靈敏度系數(shù)法為0.072 13，結(jié)果見圖15所示。

圖15 MAC均值比較Fig.15 Comparison of MAC mean values

(2)最小均方差準則

按照同樣的均方差計算方法對3種優(yōu)化布置方案的自由度進行三次樣條插值，然后與有限元素的模態(tài)振型進行對比，得出相互之間的均方差。

3種算法擴階后的均方差見圖16，總均方差比較見圖17。易知，本研究提出的優(yōu)化布置算法得出單個模態(tài)振型還或整體模態(tài)振型的均方差，都比其他2種算法的傳感器擴階后的小。

圖16 振型均方差比較Fig.16 Comparison of mean square errors of mode shapes

圖17 總均方差比較Fig.17 Comparison of total mean square errors

可知本研究優(yōu)化算法得到的均方差相比其他2種方法更小，說明本研究方法與該有限元模型結(jié)果擬合更好，并且傳感器得到的模態(tài)信息能夠客觀反映結(jié)構(gòu)參數(shù)信息。通過2種準則對傳感器優(yōu)化布置方案的評價，驗證了本研究提出的方法可以滿足使用較少傳感器預測未知的模態(tài)參數(shù)信息。

7 結(jié)論

本研究提出了一種兼顧模態(tài)可觀測性和損傷可識別性的傳感器優(yōu)化算法，同時進行了實例數(shù)值驗證。本研究的主要結(jié)論如下：

(1)在傳統(tǒng)傳感器優(yōu)化布置方法的基礎上，提出了靈敏度-有效獨立法的傳感器優(yōu)化布置算法，即通過用結(jié)構(gòu)損傷變化的靈敏度系數(shù)來校正有效獨立法。此方法既考慮了模態(tài)的可觀測性，又應用到損傷的可識別性，通過矢量運算將兩者結(jié)合，進一步優(yōu)化了橋梁結(jié)構(gòu)傳感器布置方案。

(2)探討了橋梁動力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)目選取問題，提出了基于模態(tài)貼近度的方法，規(guī)避了以往依賴經(jīng)驗解決的問題，更加直觀和簡便。

(3)通過MAC和最小均方差準則對不同方法進行評估，本研究算法優(yōu)于其他2種，該方法優(yōu)化后的結(jié)果既能保證振型矢量的垂直，又具有良好的延展性能。

(4)本研究只是針對原有方法的改進，重點分析了該方法的適用性，與其他方法對比說明該方法的優(yōu)點，不足之處是沒有考慮測量誤差對優(yōu)化算法的影響。