基于多參數耦合的圓柱滾子軸承潤滑分析*

戴銘陽 陶友瑞

(1.河北工業大學機械工程學院 天津 300401；2.河北工業大學電氣設備可靠性與智能化國家重點實驗室 天津 300401)

圓柱滾子軸承是最常見的滾動軸承類型，廣泛應用于旋轉機械系統中，其中滾子在受載區和非受載區交替運行。常見的磨損和失效是由于滾子進入加載區從而使接觸界面潤滑失效造成的。因此，了解接觸區的潤滑狀態有助于提高圓柱滾子軸承的可靠性。CHANG等[1]基于彈流潤滑理論研究了軸承穩態運行時的載荷分布和軸承的滑動特性。CAO、LI等[2-3]研究了基于彈流潤滑的圓柱滾子軸承穩態動態特性。賈志博和邱明[4]建立了高速輕載圓柱滾子軸承的動力學方程。CAO等[5]結合彈流潤滑研究了最大載荷滾子和內滾道加速過程的潤滑性能。ZHANG等[6]提出了有限線接觸條件下圓柱滾子型線的數值計算模型，分析了凸度對油膜壓力分布的影響。華同曙等[7]通過線接觸光彈流實驗對滾子軸承進行潤滑研究,實驗發現在接觸區內，呈現明顯的馬蹄形彈流特征，滾子端部出現閉合效應，因此對于滾子的凸度設計是十分必要的。

圓柱滾子的彈性流體動力潤滑研究比較成熟,一些研究人員很早就開始在彈流潤滑的基礎上研究油膜厚度。早在20世紀60年代，DOWSON和HIGGINSON[8]就提出了考慮負載、速度和材料參數對膜厚影響的最小膜厚方程(D-H方程)。該方程在實踐中得到了廣泛的應用。GELINCK和SCHIPPER[9]推導了粗糙表面接觸壓力的曲線擬合方程，然后利用MOES[10]提出的膜厚方程得到膜厚和粗糙度壓力的表達式。隨后，越來越多的研究人員關注表面粗糙度對油膜厚度的影響[11-14]。MASJEDI和KHONSARI[15]在考慮表面粗糙度和硬度的D-H方程的基礎上推導了新的膜厚方程,通過大量的仿真結果回歸分析使最小油膜厚度方程更真實地反映實際潤滑情況。

在潤滑過程中，各種因素會同時影響軸承的潤滑狀態，固體顆粒就是其中之一。而固體顆粒與潤滑劑形成了微極流體，由于流體中含有懸浮的隨機取向的固體微粒，在運動過程中呈現出許多有別于牛頓流體的特性，影響著流體潤滑性能，因而越來越引起人們的關注。XU等[16]研究了固體顆粒對等溫彈流潤滑接觸的影響，李娜娜等[17]對含固體顆粒的軸承潤滑問題進行了分析研究，分析結果表明，沿油膜厚度方向分布的固體顆粒越多，對潤滑油流動的阻礙越強，對油膜壓力和油膜流動的影響越大。上述研究中僅考慮某單一因素對潤滑的影響，這與實際工況的復雜程度差別較大。

本文作者結合軸承動力學，考慮表面粗糙度、微極流體效應及滾子修形的多尺度參數的耦合影響，探討圓柱滾子復雜潤滑模型的建立及潤滑分析。

1 軸承動力學模型

1.1 軸承運動分析

圓柱滾子軸承原理如圖1所示。軸承的外圈是固定的，內圈隨軸旋轉。圖中：Ri為內圈接觸點的圓弧半徑；Rm為滾子的圓心半徑；Ro為外圈接觸點的圓弧半徑；ω表示軸承內圈滾道角速度；ωc為保持器角速度；ωj表示滾子的轉速；徑向力W通過軸作用在軸承上。

根據圖1，可得軸承滾子與內外圈相對滑動速度為

Vij=(Rm-Rr)(ω-ωc)-Rrωj

(1)

Voj=(Rm+Rr)ωc-Rrωj

(2)

滾子與內外圈之間的卷吸速度為

(3)

(4)

式中：下標i和o表示與內圈和外圈相關的量;下標j表示滾子的位置，如圖1所示，最底下的為0號滾子，沿順時針編號依次增加。

將上述參數量綱一化可得：

(5)

1.2 滾子受力分析

根據圖2可得軸承徑向載荷平衡方程為

W=Qi0+2∑Qijcosφj

(6)

式中：Qi0為0號滾子與內滾道之間的相互作用力，即最大承載滾子所受的接觸力；Qij為j號滾子與內滾道之間的接觸力；φj表示第j號滾子的相位角。

變形協調方程如下：

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：δc為軸承間隙和接觸變形引起的中心位移；uc代表軸承徑向游隙；δij和δoj分別表示內圈和外圈的接觸變形；l為滾子的長度；m為單個滾子質量。

流體動壓力表達式[18]為

(11)

(12)

當軸承運轉時，滾子由滾子與滾道之間的摩擦力驅動。量綱一摩擦力(或牽引力)[19]為

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

1.3 動力學模型

在空載區，由于離心力滾子壓在外滾道上，可以認為滾子相對于外滾道的滑動速度為0，則空載區滾子的旋轉速度為

(19)

式中：下標u表示與無載荷區相關的量。

空載區各滾子在滾動方向上的力平衡方程為

(20)

(21)

在滾子受載區，假設保持架對每個滾子的力都相等，則軸承勻速轉動時，根據受力平衡可得：

(22)

式中：nu為空載區的滾子個數；Z為滾子總個數。

對于受載最大的滾子，由圖2可得滾子在滾動方向上的力平衡方程:

(23)

為了簡化計算，可以忽略保持架與滾子之間的摩擦力，可得滾子的力矩平衡方程為

(24)

將求解載荷分布得到的最大接觸力代入式(11)、(12)、(13)和(14)。最后結合公式(19)—(24)整理得到式(25)和式(26)。

(25)

(26)

2 考慮粗糙度和微極流體的彈流潤滑模型

2.1 滾子幾何模型

由于滾子和滾道表面不是絕對光滑的，同時粗糙度與油膜厚度處在同一數量級上，因此在彈流潤滑計算時應考慮表面粗糙度的影響。粗糙表面的滾子與粗糙表面的滾道之間的潤滑可等效成一個滾子與粗糙平面之間的潤滑，如圖3所示為滾子的幾何模型平面圖。Rx為滾動方向上的最大曲率半徑，Rc是滾子邊倒圓中心到y軸的距離，yc是滾子邊倒圓的中心到x軸的距離，Ry為滾子凸度半徑，lc為滾子邊倒圓的長度，r為滾子邊倒圓半徑，δ為滾子凸度。

因此，滾子與平面之間的初始間隙為

(27)

2.2 彈流潤滑模型

研究有限長滾子的彈流潤滑問題，這里需要考慮到滾子與滾道接觸面水平方向上x和y2個方向。假設不考慮y方向上的速度，且x方向上的速度不發生變化。由此可得二維穩態彈流潤滑的雷諾方程[19-20]為

(28)

式中：ρ為潤滑油的密度(kg/m3)；η為潤滑油黏度(Pa·s)；p為油膜壓力(Pa)；us為卷吸速度(m/s)；h為潤滑油的膜厚(m)；N是量綱一參數，稱為耦合數，因為它描述了線性動量方程和角動量方程的耦合，當N等于0時，線性動量方程與角動量方程解耦，線性動量方程退化為經典的Navier-Stokes方程；lf為特征長度，因為它描述了微極流體和油膜間隙之間的相互作用，它等價于修正雷諾數方程的黏性項。

(29)

膜厚方程表達式[21]如下：

(30)

黏度與密度是與壓力p相關的函數，其計算公式如下：

(31)

(32)

式中：η0為潤滑油初始黏度；ρ0為潤滑油初始密度。

中心油膜厚度由載荷平衡方程控制，方程為

(33)

3 數值方法

在對滾子潤滑可靠性的研究中，應考慮滾子承載最嚴重的區域。因此，接下來的研究重點是在最大受載下滾子的潤滑問題。在軸承運行過程中，軸承的載荷必然會影響軸承的轉速。因此，通過軸承動力學計算，可以求出載荷和相應的轉速。

1.2.4 裸鼠移植瘤模型構建 取對照組、陰性組、干擾組CaSki細胞，用0.25%胰蛋白酶消化液將細胞消化，1000 g離心10 min，把上清溶液吸棄，添加PBS，將細胞配制成每毫升含有4×107細胞的單細胞懸浮液，吸取300 μL注射至裸鼠右側后腿皮下，裸鼠均出現移植瘤。分別在接種CaSki細胞后7、12、17、22、27 d測量腫瘤體積，腫瘤體積=（長徑×短徑2）÷2。在最后1次測量腫瘤體積后，脫臼法將裸鼠處死，取腫瘤組織，稱取腫瘤質量。

根據圖4左邊的框圖求解載荷分布的非線性方程的自變量為軸承間隙δc和內圈接觸載荷Qij。首先將軸承間隙δc和接觸載荷Qij的初值代入式(7)—(10)中，然后用牛頓法迭代求解。通過調整軸承間隙δc大小，當式(6)左右兩側差小于10-10時，判定為收斂。通過與仿真軟件進行結果對比，檢驗計算結果的合理性。式(25)和式(26)的變量為保持架的轉速ωc和滾子的轉速ωj。采用Levenberg-Marquardt方法求解該非線性方程，直到最小誤差小于10-10。

圖5所示為求解有限長圓柱滾子軸承彈流潤滑的流程。將通過求解軸承動力學得到的軸承最大載荷和滾子轉速代入彈流潤滑方程，利用中心和向前差分格式離散量綱一化雷諾方程、膜厚方程和載荷方程，得到各節點壓力、中心膜厚度和油膜厚度的非線性代數方程，然后用牛頓法得到壓力分布和膜厚分布。

從上述求解得到的壓力分布和油膜厚度分布中，可以得到軸承運行中最危險的點，即最小油膜厚度處。然后，通過合理的實驗設計獲得需要被擬合的數據，采用差分進化算法擬合得到最小膜厚顯式方程。最后采用一階二階矩中心點法進行可靠性分析。可靠性分析的極限狀態方程如式(34)[22-23]所示。

g(X)=Hmin-3σ

(34)

式中：Hmin為擬合得到的最小膜厚；σ表示等效粗糙度均方根偏差。

一次二階矩可靠度計算公式[24]為

(35)

式中：μXi為輸入參數的期望值；σXi為輸入參數的方差。

4 算例與結果分析

選取SKF公司的N210EC軸承，軸承參數及工況見表1。

表1 軸承參數及工況

4.1 軸承動力學

根據表1中的參數，通過求解式(6)—(10)可得到軸承各滾子的加載情況。

軸承各個滾子上的受載情況分布如圖6所示。

根據計算結果，滾子的最大載荷為6 056.9 N。

先在Romax DESIGNER軟件中創建箱體，添加軸部件，隨后依據軸承參數創建圓柱滾子軸承，將軸承安裝于軸上，然后添加15 kN的點載荷，在軸的兩端添加功率載荷。建立的圓柱滾子軸承動力學模型如圖7所示。

靜力學分析后可得載荷分布雷達圖，如圖8所示。可以看出，滾道最大載荷為5 969.2 N，計算值與仿真值之間的誤差僅為1.45%。

將滾子所受的最大載荷和表1中的參數代入軸承動力學方程求解，可得滾子的自轉速度為6 286 r/min，滾子的公轉速度為837 r/min。

4.2 有限長滾子彈流潤滑

圖9顯示了微極流體參數對潤滑油膜厚度分布的影響。X為滾子徑向的接觸寬度，與滾子長度不在一個數量級上，且要小得多，因此這里就選擇量綱一化形式來表示，Y為滾子長度。從圖中可以看出，微極性流體的油膜厚度大于普通流體，但“邊緣效應”無法消除。圖10顯示了微極流體參數對膜壓分布的影響。圖10(a)所示為普通流體的壓力分布，圖10(b)所示為微極流體下的壓力分布，對比兩圖可得出，求解域中的微極流體的油膜壓力略低于普通流體，“邊緣效應”仍然存在。

粗糙表面具有許多表面特征，常用的粗糙度模型由高度分布參數和自相關函數描述。WHITEHOUSE和ARCHARD在1970年實驗中發現粗糙度服從高斯分布，因此，文中采用粗糙表面數字仿真來生成服從高斯分布的軸承表面粗糙度，從而使得潤滑計算的結果更能反映真實的潤滑狀態。如圖11所示，橫截面粗糙度沿各坐標軸為高斯分布，最大粗糙度幅值為0.5 μm，兩表面粗糙度的算術平均值為0.312 5 μm。

根據圖11所示的粗糙度分布，計算了圓柱滾子的彈流潤滑結果，并與光滑解進行了比較。

圖12顯示了凸度變化對油膜厚度和壓力分布的影響。當δ=0時，最小膜厚出現在滾子兩側的端部。隨著凸度的增加，滾子端部的潤滑狀況逐漸改善，油膜分布將沿滾子軸向向中部集中。結果表明，滾子凸度的增加使得滾子端部的膜厚增加，壓力減小，避免出現邊緣應力集中,且形成了完整的潤滑油膜可更好地平衡外載荷，保護接觸副表面，可以改善滾動軸承的“邊緣效應”，避免潤滑失效。

由圖12(b)和圖12(d)可知，沿X軸正方向，壓力值先增大后減小，最大值靠近出油口處。當δ=0時，滾子兩側會有較高的油膜壓力。但隨著凸度的增大，“邊緣效應”逐漸改善，壓力分布沿滾子軸向向中間集中，輥中間出現較高壓力。

從圖12(c)、(d)中可以清楚地看到，粗糙表面的油膜厚度小于1.0 μm的區域明顯大于光滑表面的區域；同時，粗糙表面的油膜壓力大于3.0 MPa的區域也略大于光滑表面的區域并且壓力分布會有所波動。這是由于粗糙峰使得兩接觸面的初始間隙變小，并且在一定的流量條件下，流速增大，導致油膜壓力增大。同時相較于光滑表面，滾動軸承所承受的載荷由潤滑油膜所承擔轉變為由潤滑油膜和表面粗糙峰共同承擔，為了使得油膜厚度形狀平滑，油膜壓力將在粗糙峰處增大，將粗糙峰“壓平”。因此，在軸承潤滑過程中，滾子與滾道接觸區域的潤滑狀況比理想狀態下的潤滑狀況差很多。

4.3 改進的最小膜厚方程

為了評價軸承的潤滑性能，必須進行可靠性分析，可靠性分析需要顯式的最小油膜厚度表達式。因此，為擬合最小膜厚方程而選擇的輸入參數范圍如表2所示。根據軸承的實際工作情況，選擇載荷、轉速和材料參數的范圍。粗糙度的選定范圍為0.1～0.45 μm。量綱一微極流體參數的選擇范圍為0.1～0.7。

表2 參數范圍

對于膜厚，在不考慮表面粗糙度的情況下，假設方程的形式為c1Wc2Uc3Gc4，這種形式被許多文獻所采用，可以通過簡單的計算獲取最小膜厚的信息。文中在上述形式基礎之上，乘上一個考慮表面粗糙度和微極性流體的影響因子，得到最小膜厚的形式為

表3 最小膜厚方程擬合數據

改進后的薄膜厚度方程為

Hmin=2.013W-1.030U0.686G-0.5379×(1-

(36)

在實際工作條件下，采用簡單隨機抽樣選取的12組數據檢驗膜厚方程的準確性，結果如表4所示。最大誤差為7.14%，最小誤差為0.65%，平均誤差是3.43%。由于公式擬合過程中，參數過多，參數的取值與范圍都會對擬合公式的準確性產生一定影響，這是不可避免的。因此確保擬合公式最大誤差在可接受范圍內即可。顯然，除采樣點外，最小膜厚的擬合方程仍然能夠保證一定準確性。

表4 改進后的最小膜厚公式擬合數據

表5給出了改進的膜厚方程與未考慮表面粗糙度和微極流體的彈流潤滑數值分析結果的比較。研究的工況為：W=5 000 N,U=0.2 m/s,G=5 160,σ=0.312 5 μm,l=0.5,N=0.5,δ=0.01 mm。

表5 方法計算對比

在相同工況下，彈流潤滑計算結果為1.02 μm，改進的油膜厚度方程計算結果為1.21 μm，誤差為15.70%。微極流體中固體顆粒的作用等同于增加了潤滑油的等量黏度，因此使得整體的潤滑油膜增大，最小膜厚也會相應增加。當粗糙度存在時，兩接觸表面若出現波谷與波谷相對時，該區域的潤滑油膜則會有一定程度的增加。當兩者的影響疊加時，最小膜厚會趨于增大。結果與NADUVINAMANI和KASHINATH[25]的結果一致。因此，該擬合方程可以很好地替代考慮表面粗糙度和微極流體的圓柱滾子軸承彈流潤滑計算，并可代替復雜的彈流潤滑計算進行可靠性分析，大大簡化了計算過程。

圖13顯示了在上述工況下，載荷和轉速的標準差變化對軸承潤滑可靠性的影響。當載荷和速度的標準差較小時，標準差的波動對潤滑可靠性影響不大。隨著載荷和速度標準差的不斷增大，潤滑可靠度也呈線性下降。因此，保證軸承工作狀態的穩定性是保證可靠潤滑的首要目標。

5 結論

基于軸承動力學、軸承結構參數及微極流潤滑理論，建立了有限長圓柱滾子軸承潤滑可靠性模型。得到如下結論：

(1)相比于無限長微極流潤滑模型，在滾子兩端出現“邊緣效應”。此處油膜厚度最小，油膜壓力最大，因此在軸承滾子兩端的潤滑情況最為惡劣。同時由于表面粗糙度的存在，油膜厚度及壓力分布會有所波動，滾子與滾道接觸區域的潤滑狀況比理想狀態下的潤滑狀況差很多。

(2)增加滾子凸度，可以改善滾動軸承的“邊緣效應”。隨著凸度的增加，滾子端部的潤滑狀況逐漸改善，油膜分布將沿滾子軸向向中部集中，壓力分布也沿滾子軸向向中間集中，同時滾子中間出現較高壓力。

(3)改進的最小膜厚方程可用于軸承潤滑可靠性的研究。同時，通過數值計算驗證了改進方程的準確性。改進的最小膜厚方程考慮了表面粗糙度和微極性流體的影響，能更準確地反映實際潤滑情況。