用作圖法巧解動(dòng)態(tài)平衡問題

祁宜純(靜寧縣界石鋪中學(xué) 甘肅 平?jīng)?743421)

動(dòng)態(tài)平衡是指通過控制某些物理量，使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢的變化，但變化過程中的每一個(gè)狀態(tài)均可視為平衡狀態(tài).解決動(dòng)態(tài)平衡問題常用的方法有解析法和作圖法，解析法一般適用于物體受3個(gè)或3個(gè)以上力的作用而平衡的問題，作圖法適用于物體受3個(gè)力作用而平衡的問題，其原理是當(dāng)物體受3個(gè)力作用而處于平衡狀態(tài)時(shí)，其合力為零，3個(gè)力首尾相連可構(gòu)成閉合的矢量三角形，通過分析矢量三角形，各力的大小及方向一目了然.本文結(jié)合例題，對(duì)用作圖法解決動(dòng)態(tài)平衡問題的方法進(jìn)行梳理.

1 矢量三角形法則

題型特點(diǎn)：

(1)物體受3個(gè)力的作用而處于平衡狀態(tài).

(2)3個(gè)力中有一力的大小、方向均不變(通常為重力，也可以是其他力)，另一個(gè)力的方向不變，第3個(gè)力的大小、方向均發(fā)生變化.

解題思路：

(1)明確研究對(duì)象.

(2)分析物體所受的力并根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件作出矢量三角形.

(3)在矢量三角形中找到變化的角，畫出變化后的三角形.

(4)根據(jù)有向線段的長度變化判斷各個(gè)力的變化情況.

【例1】如圖1所示，一小球放置在木板與豎直墻面之間.設(shè)墻面對(duì)球的壓力大小為FN1，球?qū)δ景宓膲毫Υ笮镕N2.以木板與墻連接點(diǎn)所形成的水平直線為軸，將木板從圖示位置開始緩慢地轉(zhuǎn)到水平位置.不計(jì)摩擦，在此過程中( )

圖1 例1題圖

A．FN1始終減小，F(xiàn)N2始終增大

B．FN1始終減小，F(xiàn)N2始終減小

C．FN1先增大后減小，F(xiàn)N2始終減小

D．FN1先增大后減小，F(xiàn)N2先減小后增大

解析:對(duì)小球受力分析如圖2所示，由平衡條件可知，3個(gè)力可構(gòu)成閉合的矢量三角形，其中重力mg大小、方向均不變，F(xiàn)N1的方向始終不變，F(xiàn)N2與重力的夾角逐漸變小，通過作圖可以看出，在此過程中FN1和FN2一直在減小，則選項(xiàng)B正確.

圖2 小球受力分析

素養(yǎng)拓展1：水平地面上有一木箱，木箱與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ(0<μ<1).現(xiàn)對(duì)木箱施加一拉力F，使木箱做勻速直線運(yùn)動(dòng).設(shè)F的方向與水平地面的夾角為θ，如圖3所示，在θ從零逐漸增大到90°的過程中，木箱的速度保持不變，則( )

圖3 木箱受力方向分析

A．F先減小后增大 B．F一直增大

C．F一直減小 D．F先增大后減小

解析：對(duì)木箱受力分析如圖4所示，木箱受4個(gè)力：重力、支持力、滑動(dòng)摩擦力和拉力F，將支持力FN和滑動(dòng)摩擦力Ff合成為一個(gè)力F合.其中重力mg大小、分向均不變，F(xiàn)合的方向保持不變，變化的力是F，作出矢量三角形，由圖4可知，當(dāng)θ從零逐漸增大到90°的過程中，F(xiàn)先減小后增大，選項(xiàng)A正確.

圖4 木箱受力構(gòu)成的矢量三角形

2 等腰三角形法則

題型特點(diǎn)：

(1)物體受3個(gè)力的作用而處于平衡狀態(tài).

(2)3個(gè)力中有一個(gè)力的大小、方向均不變，另兩個(gè)力方向改變但大小始終相等.

解題思路：

(1)明確研究對(duì)象.

(2)分析物體所受的力并根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件作出等腰三角形.

(3)判斷等腰三角形中頂角的變化情況，并畫出變化后的三角形.

(4)根據(jù)有向線段的長度變化判斷各個(gè)力的變化情況.

【例2】如圖5所示．用鋼筋彎成的支架，水平虛線MN的上端是半圓形，MN的下端筆直豎立．一不可伸長的輕繩通過動(dòng)滑輪懸掛一重物G．現(xiàn)將輕繩的一端固定于支架上的A點(diǎn)，另一端從C點(diǎn)處沿支架緩慢地向最高點(diǎn)B靠近(C點(diǎn)與A點(diǎn)等高)，則繩中拉力( )

圖5 例2題圖

A．先變大后不變 B．先不變后變大

C．先不變后變小 D．保持不變

解析：滑輪受力如圖6所示，將3個(gè)力首尾相接構(gòu)成等腰三角形.由實(shí)際過程可知，等腰三角形的頂角先保持不變，然后減小，則繩中張力先保持不變，后逐漸減小，則選項(xiàng)C正確.

(a) (b)

素養(yǎng)拓展2：目前，我市每個(gè)社區(qū)均已配備了公共體育健身器材．如圖7所示器材為一秋千，用兩根等長輕繩將一座椅懸掛在豎直支架上等高的兩點(diǎn)．由于長期使用，導(dǎo)致兩根支架向內(nèi)發(fā)生了稍小傾斜，如圖中虛線所示，但兩懸掛點(diǎn)仍等高．座椅靜止時(shí)用F表示所受合力的大小，F(xiàn)1表示單根輕繩對(duì)座椅拉力的大小，與傾斜前相比( )

A．F不變，F(xiàn)1變小 B．F不變，F(xiàn)1變大

C.F變小，F(xiàn)1變小 D．F變大，F(xiàn)1變大

(a) (b)

解析：座椅受力如圖8所示，將3個(gè)力首尾相接構(gòu)成等腰三角形.兩根支架向內(nèi)發(fā)生了稍小傾斜，則等腰三角形的頂角變小，繩中張力F1變小，由于座椅仍靜止則所受合力F始終為零，選項(xiàng)A正確.

(a) (b)

3 相似三角形法則

題型特點(diǎn)：

(1)物體受3個(gè)力的作用而處于平衡狀態(tài).

(2)3個(gè)力中有一個(gè)力的大小、方向均不變，另兩個(gè)力方向都在改變.

解題思路：

(1)明確研究對(duì)象.

(2)分析物體所受的力并根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件作出矢量三角形.

(3)在圖中找到與矢量三角形相似的幾何三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，建立比例關(guān)系，進(jìn)行討論.

【例3】半徑為R的光滑球形物體固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑輪，滑輪到球面B的距離為h，輕繩的一端系一小球，靠放在半球上的A點(diǎn)，另一端繞過定滑輪后用力拉住，使小球靜止，如圖9所示，現(xiàn)緩慢地拉繩，在使小球由A到B的過程中，半球?qū)π∏虻闹С至N和繩對(duì)小球的拉力FT的大小變化的情況是( )

圖9 例3題圖

A.變大，變小 B.變小，變大

C.變小，先變小后變大 D.不變，變小

(a) (b)

素養(yǎng)拓展3：如圖11所示，AC是上端帶定滑輪的固定豎直桿，質(zhì)量不計(jì)的輕桿BC一端通過鉸鏈固定在C點(diǎn)，另一端B懸掛一重為G的重物，且B端系有一根輕繩并繞過定滑輪A，用力F拉繩，開始時(shí)∠BCA>90°，現(xiàn)使∠BCA緩慢變小，直到桿BC接近豎直桿AC.此過程中，桿BC所受的力N和拉力F的變化情況是( )

圖11 拓展用圖

A.大小不變 B.逐漸增大

C.逐漸減小 D.先增大后減小

解析：以B點(diǎn)為研究對(duì)象，受力分析并作出矢量三角形，可以看出矢量三角形與幾何三角形ABC相似，則有

又T=G，使∠BCA緩慢變小時(shí)，邊AC和BC保持不變，AB變小，則力N保持不變，F(xiàn)變?。?/p>

4 圓周圖解法則

題型特點(diǎn)：

(1)物體受3個(gè)力的作用而處于平衡狀態(tài).

(2)其中一個(gè)力的大小、方向均不變，另一個(gè)力的大小不變、方向改變，第3個(gè)力的大小、方向都改變.

解題思路：

(1)明確研究對(duì)象.

(2)分析物體的受力并作矢量三角形.

(3)以已知恒力的始端為圓心，以已知大小的變力為半徑作圓，根據(jù)變化過程作出不同狀態(tài)下力的矢量圖，再根據(jù)有向線段的長度判斷各個(gè)力的變化情況.

【例4】如圖12所示，在做“驗(yàn)證力的平行四邊形定則”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，用M和N兩個(gè)測力計(jì)通過細(xì)線拉橡皮條的端點(diǎn)，使其到達(dá)O點(diǎn)，此時(shí)α+β=90°，然后保持M的示數(shù)不變，而使α角減小，為保持端點(diǎn)位置不變，可采用的辦法是( )

圖12 例4題圖

A．減小N的示數(shù)同時(shí)減小β角

B．減小N的示數(shù)同時(shí)增大β角

C．增大N的示數(shù)同時(shí)增大β角

D．增大N的示數(shù)同時(shí)減小β角

解析：以結(jié)點(diǎn)O為研究對(duì)象，受到3個(gè)拉力，如圖13所示分別為FM，F(xiàn)N，F(xiàn)合，將3個(gè)力構(gòu)成矢量三角形(如圖所示的實(shí)線三角形)，以O(shè)為圓心，F(xiàn)M為半徑作圓，需滿足力F合大小、方向不變，角α減小，則動(dòng)態(tài)矢量三角形如圖中畫出的一系列虛線表示的三角形.由此可知FN的示數(shù)減小同時(shí)β角減小，選項(xiàng)A正確.

圖13 結(jié)點(diǎn)受力分析

5 巧用圓周角法則

題型特點(diǎn)：

(1)物體受3個(gè)力的作用而處于平衡狀態(tài).

(2)其中一個(gè)力的大小、方向均不變，另兩個(gè)力之間的夾角保持不變.

解題思路：

(1)明確研究對(duì)象.

(2)分析物體的受力并作矢量三角形.

(3)作該矢量三角形的外接圓，根據(jù)變化過程作出不同狀態(tài)下的力的矢量圖，根據(jù)有向線段的長度判斷各個(gè)力的變化情況.

【例5】如圖14所示，物體G用兩根繩子懸掛，開始時(shí)繩OA水平，現(xiàn)將兩繩同時(shí)沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過90°，且保持兩繩之間的夾角α不變(α>90°)，物體保持靜止?fàn)顟B(tài).在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)繩OA的拉力為T1，繩OB的拉力為T2，則( )

圖14 例5題圖

A.T1先減小后增大 B.T1先增大后減小

C.T2逐漸減小 D.T2最終變?yōu)榱?/p>

解析：如圖15所示，以繩子結(jié)點(diǎn)O為研究對(duì)象，受到3根繩子的拉力，分別為T1，T2，T3，3個(gè)力構(gòu)成矢量三角形CDE，作該矢量三角形CDE的外接圓，其中T1矢量箭頭將始終落在圓周上.初始時(shí)刻，T2恰好為其外接圓的直徑，當(dāng)繩轉(zhuǎn)過90°時(shí)，T2=0，故T2逐漸減小，T1先增大后減小.

(a) (b)

總之，巧解動(dòng)態(tài)平衡問題的方法，就是將共點(diǎn)力的平衡條件、矢量運(yùn)算法則以及數(shù)學(xué)中的幾何圖形知識(shí)相結(jié)合，使求解過程簡潔明快、形象直觀的方法，這種方法體現(xiàn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的能力.