傅科擺運動規律的研究*

姜付錦 李 都 劉 穎(武漢市黃陂區第一中學 湖北 武漢 430300)

傅科擺是法國物理學家傅科1851年在巴黎首先制成，擺線長大約是67 m，通過這個實驗證明地球在自轉.由于科氏力的存在，傅科擺在來回擺動的同時又在繞豎直軸緩慢的轉動，類似水星近日點的進動現象.大學教材[1]在分析傅科擺時，認為擺球在豎直方向上沒有運動，擺線的拉力近似等于擺球的重力，得到擺球的振動規律，這樣處理可以讓小球的運動有解析解.若忽略地球的自轉，按照以上分析發現傅科擺的運動軌跡可能是橢圓，但實際上小球的運動軌跡不可能是橢圓.

1 傅科擺的動力學微分方程

如圖1和圖2所示，傅科擺所處緯度為λ，擺線長為R，擺球質量為m，重力加速度為g，則

(1)

擺球的限制方程為

x2(t)+y2(t)+[R-z(t)]2=R2

(2)

式(1)沒有解析解，可以這樣近似處理

(3)

圖1 傅科擺在地球上的坐標系

圖2 傅科擺受力分析

式(1)中最后一式變為

(4)

則式(1)前兩項可變為

(5)

進一步分析，可得傅科擺的運動規律[1～5]，

(6)

式(6)中A，B是兩個積分常數，其值由擺球的初始條件決定.

以上處理可等效為：一根原長為零的彈簧(ZLS)振子在勻強磁場中的運動[6]，帶電粒子所受洛倫茲力與科氏力可以等效[3]；若傅科擺在赤道處擺球不受科氏力，傅科擺的運動是球面擺，其運動軌跡不可能是橢圓，其運動軌跡類似水星近日點進動現象[7]；參考文獻[1]之所以認為傅科擺在赤道處時運動軌跡可能是橢圓，是因為它沒有考慮擺球在豎直方向上的運動.

2 傅科擺在地球兩極處運動規律

設傅科擺所處緯度為λ，從圖3可以看出地球自轉的角速度ω0在xOz平面內，并與-x方向的夾角為λ，由圖3可知角速度為

ω0=-iω0cosλ+kω0sinλ

(7)

其中ω0的模為一個定值，即為地球自轉的角速度.

圖3 角速度的方向

對于傅科擺而言，因為地球的自轉，擺球所受的科氏力為

F科=-2mω0×v′

(8)

(1)當ω0沿z方向時，vθ對應的F科沿vφ方向，大小為2mvθω0cosθ，vφ對應的F科過z軸，如圖4所示，對z軸應用角動量定理有

2mvθω0Rcosθsinθdt=d(mvφRsinθ)

(9)

d(mvφRsinθ+mω0R2cos2θ)=0

(10)

得

mvφRsinθ+mω0R2cos2θ=C

(11)

所以，傅科擺此時正則動量守恒.

圖4 傅科擺正則動量研究

(2)若還存在ω0x，則2mvφ×ω0x與z軸平行，對z軸不產生力矩,如圖5所示，有

v∥=vθcosθvz=-vθsinθ

(12)

圖5 傅科擺的經向速度

由于2mv∥×ω0x與z軸平行，不產生力矩，2mvz×ω0x沿-j方向，它對z軸的沖量矩為

(Rsinθcosφi+Rsinθsinφj)×

(-2mvθω0cosλsinθj)dt=

Mdt=-2Rmω0vθsin2θcosφcosλdt=

-2mR2ω0sin2θcosφcosλdθ

(13)

因為φ也是變量，所以式(13)不能寫成全微分的形式，對z軸用角動量定理

-2mR2ω0sin2θcosφcosλdθ=

d(mvφRsinθ+mφ0R2sinλcos2θ)

(14)

參考文獻[2]之所以認為“傅科擺在水平面內正則動量守恒”，是因為它沒有考慮擺球在豎直方向的振動，故擺球在豎直方向運動引起的科氏力為零；若考慮擺球在豎直方向上運動，則傅科擺只在地球兩極處正則動量守恒.

2.1 傅科擺運動的兩個速度

如圖6所示，在球坐標系中，由機械能守恒和正則動量守恒，有[8]

(15)

mvφRsinθ+mω0R2cos2θ=mω0R2cos2θ0

(16)

聯立式(15)、(16)得

圖6 傅科擺速度與角度關系

2.2 傅科擺運動的周期

(18)

在一個周期內，沿緯線方向轉過的角度Δφ，由于

(19)

所以

(20)

軌跡閉合性的條件

n1Δφ=2πn2

(21)

式中，n1,n2為正整數.

3 傅科擺運動的數值模擬解

傅科擺的實際運動非常復雜，沒有解析解，可以進行數值模擬分析和近似分析.

3.1 傅科擺運動的數值模擬圖

圖8 z與t關系

圖9 傅科擺進動軌跡1

圖10 z′與z相圖

圖11 x′與x相圖

圖12 y′與y相圖

圖13 x和y與t關系

圖14 z與t關系

圖15 傅科擺進動軌跡2

圖16 z′與z相圖

圖17 x′與x相圖

圖18 y′與y相圖

圖19 x和y與t關系

圖20 z與t關系

圖21 傅科擺進動軌跡3

圖22 z′與z相圖

圖23 x′與x相圖

圖24 y′與y相圖

圖25 x和y與t關系

圖26 z與t關系

圖27 傅科擺進動軌跡4

3.2 傅科擺運動的近似解

筆者結合上面的數值模擬解猜想傅科擺在x軸、y軸和z軸方向上運動近似解分別為

(22)

3.3 傅科擺運動近似解與數值模擬解對比

圖28 傅科擺進動圖

圖29 傅科擺進動近似解

圖30 擺長近似解的相對誤差

圖31 近似解能量的相對誤差

圖32 x近似解與數值模擬解對比圖

圖33 y近似解與數值模擬解對比圖

通過以上6幅圖的對比，可以發現傅科擺運動的近似解與數值模擬解的相對誤差很小，尤其是x與y的兩種解幾乎重合，充分說明在誤差允許范圍內傅科擺運動近似解的合理性.

3.4 傅科擺在赤道處進動現象

若將傅科擺放在赤道處，則其所受科氏力為零.先讓擺球在某一水平內做勻速圓周運動，再讓小球的角速度有一個微擾，則擺球一種可能運動軌跡的三視圖如圖34～36所示.

圖34 x與y關系圖

圖35 z與x關系圖

圖36 z與y關系圖

可以發現，擺球的運動軌跡是一種閉合周期解，其在水平面上的投影類似“水星近日點進動”現象；最外側與最內側分別對應小球運動的最高點和最低點，兩幅側視圖完全相同；若小球在緯線方向和在經線方向上運動周期之比是有理數，則小球在三維空間的運動軌跡有閉合周期解[9]；若擺球初始角速度滿足特定條件時，其運動軌跡側視圖可能是李薩如圖形[7].

4 結束語