哈密頓光學理論在變折射率問題中的應用*

方潤根 張舒程 陳 諾(杭州學軍中學 浙江 杭州 310012)

在近兩年全國中學生物理競賽復賽試題中，36屆的階躍型光纖耦合問題以及37屆的光纖陀螺儀模型都涉及到了階躍型光纖的光路問題，而在實際光纖通信中，一般使用具有較高數值孔徑的漸變型光纖進行通信，使光具有強匯聚效果與較小的畸變.分析變折射率光纖中光傳播路徑是很有必要的.由理論力學的分析思路出發[1]，利用哈密頓原理由歐拉方程出發建立了哈密頓光學理論，最后得到哈密頓正則方程來求解光線在變折射率介質中的軌跡方程，作為現代光纖通信的基礎.但是對于高中物理競賽學生而言無疑要求過高，本文由哈密頓光學理論出發，用一種規避復雜數學運算的方式去類比粒子在勢場中的運動軌跡，并通過幾個模型更加直觀地理解并使用該方法解決變折射率光纖中的光傳輸問題.

哈密頓在早年發現理論力學的分析方法可以遷移到幾何光學中，費馬原理與哈密頓原理驚人的相似[2].哈密頓原理具有高度的概括性，作為物理學的最高原理，不論怎樣的物理系統，只要確定其拉格朗日函數，就可用哈密頓原理來推導其運動方程[3].具體的數學處理過程可參照理論力學教材及相關文獻[1,4].

1 高中階段的類比理解與解題策略

本文采用類比的方法將光線在徑向變折射率介質n(r)中的傳播軌跡看作是實物粒子在有勢場中的運動軌跡.

其中左式積分代表光傳播的路徑是光程取極值的路徑，右式是莫培督原理的表達式，通過對坐標函數的作用量采用最小作用量原理，對一個不顯含時間t的系統，通過能量守恒將作用量S進行變分處理得到，其中p為廣義動量，q為廣義坐標.

通過將費馬原理與能量守恒時的莫培督定理進行類比定義了等效實物粒子的動量p=n(r)，當我們將實物粒子的質量定為1,可以得到該粒子的速度為v=n(r)，該粒子的動能為

由能量守恒定律，我們定義總能量為零，則等效勢能場

該粒子在勢場中的受到的保守力

這里構建類比雖然缺少嚴謹的科學性分析，但是與由程函方程出發推導出來的光線方程具有一致性，由此，可以作為變折射率光學問題的一種解題手段.本文將光在介質中的傳輸問題轉化為研究該粒子在該勢場中的運動問題.

1.1 折射率在直角坐標系中沿y軸變化

光的折射定律可以看作粒子在通過兩個法向方向分布的勢場時粒子在經過折射面時的切向速度vτ不變進行推導.本文著重分析變折射率問題.

光線軌跡如圖1所示，其中初狀態光線和水平方向的夾角記為θ0，所處位置的折射率為n0，則粒子在運動過程中x方向做勻速直線運動

vx=n0cosθ0

在軌跡上任意一點的速度大小由n決定，即

v=n(y)

則在軌跡上任意一點的y方向的速度大小為

光線的軌跡方程可以用x方向的勻速直線運動與y方向的變速運動合成來進行分析，軌跡中任一點的斜率

圖1 光在沿y軸變化變折射率介質中傳播軌跡示意圖

下面我們以第32屆中學生物理競賽決賽第8題的前兩問為例進行具體分析.

圖2 激光傳播路徑示意圖

(2)假定目標A位于第一象限.當目標A的高度為ya時,求激光發射器可照射到的目標A的最大x坐標值xa-max.

vx=n0sinθ0

軌跡中高度為y處粒子的y方向的速度為

則在該點的斜率

移項積分處理

即

利用初始條件x=0時，y=0可得

代入化簡可得軌跡方程

第(2)問從力學角度思考當粒子沿x軸方向入射時達到ya高度在水平方向運動距離最遠.即θ0=90°，代入軌跡方程，由

解得

1.2 當折射率在極坐標系下沿徑向r變化

實際生活中，例如地球表面的大氣變折射率分布問題，經常會遇到折射率沿徑向變化，對于該類問題，從粒子的角度，我們采取如圖3所示的極坐標進行分析.

由于其勢能場

故其為一個有心勢場，可以利用角動量守恒來求解，在運動軌跡上任一點有

rpsinφ=r0p0sinφ0

其中r0,p0,φ0是初狀態的動量以及速度與位矢間的夾角，即

rn(r)sinφ=r0n0sinφ0

又

可得極坐標中軌跡的斜率與r的關系

仍然可以利用力學方法處理光線模型，下面我們看一個實際例子作為分析.

【例2】(高中物理奧賽指導P377例4)某行星上大氣的折射率隨著行星表面的高度h按照n=n0-αh的規律而減小，行星的半徑為R，行星表面某一高度h0處有光波道，它始終在恒定高度，光線沿光波道環繞行星傳播，試求高度h0.

移項后可解得

2 在變介質光纖傳播中的應用

第36和37屆復賽的光學題都考到了階躍型光纖，可見光纖模型的重要性.階躍型光纖在傳輸過程中不同入射角進入的光線在均勻介質中傳輸的路徑不同，易得入射角越大，光程越大，因此對于固定周期的脈沖信號，由于入射角的差異使得光纖中的傳輸時間不同，產生的時間差會導致光脈沖信號出現展寬.所以該類光纖會導致高色散，傳輸頻帶寬度受限，在長距離信號傳輸中已經被淘汰，取而代之的是漸變型的光纖[5].

因此，對漸變型光纖的光路進行定量分析是必要的.相較于階躍型的光纖，特殊的徑向折射率分布使其具有自聚焦特性，具體可分為拋物線型和雙曲割線兩種類型的折射率分布[6].其中拋物線型的折射率介質問題在高中競賽中也有出現.本文用哈密頓光學模型從力學角度分析拋物線型折射率光纖的軌跡，從而說明其自聚焦性.

圖4 圓柱形光纖傳輸示意圖

vx=n0cosφ0

軌跡上某點r方向的速度為

在r方向運動的能量關系式滿足

即

則粒子在r方向做簡諧振動，振動的角頻率ω為

當vr=0時

則振幅A為

則r方向的運動學方程為

光線方程為

表明光線是正弦曲線，O點出射后，光線與x軸的第k個交點的坐標為

式中φ0為小角度時，cosφ0=1，則

圖5 拋物線型折射率光纖自聚焦光線圖像

通過該例我們也可以發現對于自聚焦性的光纖，入射角不僅要滿足內外纖層的全反射條件，還需要滿足小角度以實現在不同角度入射的光線與x軸的交點近似一致，最終獲得良好的聚焦特性，減小由于傳輸時間不同導致的色散，避免了光信號的畸變，其光線圖像如圖5所示.

3 光纖傳輸過程中的擴展分析

上例我們通過力學方法分析了拋物線型折射率分布的光纖模型，其折射率分布函數滿足

通過分析發現其需要滿足小角度入射才能保證所有的子午射線都具有相同的周期.其小角度的限制條件仍然是一個缺點.由此，引入雙曲正割型折射率分布的介質，其折射率分布函數滿足

通過級數展開可以得到

式中En為n級歐拉數，當小角度入射時r為小量，雙曲正割型與拋物線型相同.

通過嚴格的數學運算，在雙曲正割媒質中，從一點發出的子午光線無論其孔徑角的大小，其在一個周期中走過的光程是嚴格相等的[6]，所以在這種媒質中，一軸外點發出的子午光線又可以聚焦于一點.

4 總結

本文用哈密頓光學的方法通過將光線的傳播類比于粒子在特殊勢場中的運動來解決漸變型折射率中光線傳輸的問題，對最為典型的折射率沿直角坐標系y軸變化以及極坐標系極軸r軸結合實際例題進行了分析.在此基礎上，對于最重要的光纖傳輸模型進行了深入分析，用該思路分析了折射率呈現拋物線型的自聚焦模型.在此基礎上，筆者為了讓學生更好地理解光纖傳輸的研究思路，深入介紹了在不滿足小入射角時引起的時間延遲效應從而導致的信號的畸變，并且通過雙曲割線型折射率分布來得以解決.哈密頓光學法在解決變折射率光的傳播路徑等問題中擁有簡單快速的優點，且對于今后學生在從事光纖傳輸等方向的研究以及對光線光學理論的學習時，具有事半功倍的引導作用.