2021 年高考“古典概型與幾何概型”問題聚焦

■何 煒 劉大鳴(特級教師)

古典概型與幾何概型是高中數學的重要內容之一,也是新高考的必考內容。古典概型的基本事件都是有限的,其概率等于事件所包含的基本事件個數除以總的基本事件個數。幾何概型的基本事件通常不可計數,只能通過一定的測度,如長度,面積,體積的比值來表示。下面聚焦2021年高考“古典概型與幾何概型”問題,希望對同學們的學習有所幫助。

一、利用枚舉法計數,構建古典概型求概率

例1 (2021年高考全國卷) 將3個1和2個0隨機排成一行,則2個0不相鄰的概率為( )。

A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8

解:用枚舉法排列計數,用古典概型公式計算概率。

素養:求古典概型概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數和事件A包含的基本事件的個數,這就需要正確列出基本事件,基本事件的主要表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法。解答本題的關鍵是正確計數,注意3個1和2個0分別為相同元素,不要誤用排列計數。

二、復雜事件的概率借助“互斥事件合理分類,相互獨立事件分步”求解

例2 (2021年新高考全國卷)有6個相同的球,分別標有數字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機取兩次,每次取1個球,甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”,則( )。

A.甲與丙相互獨立

B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立

D.丙與丁相互獨立

解:弄清甲、乙、丙、丁事件的意義,再分別計算概率進行判斷。

素養:本題涉及相互獨立事件的判斷。“獨立”與“互斥”的區別:兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發生,兩事件相互獨立是指一個事件發生與否對另一事件發生的概率沒有影響(如有放回抽取模型)。兩事件相互獨立通常不互斥,兩事件互斥通常不獨立。若事件A,B互斥,則P(A+B)=P(A)+P(B),若事件A,B不互斥,則P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),若事件A,B相互獨立,則P(AB)=P(A)P(B)。對于復雜概率的計算:一般要先設出事件,準確地確定事件的性質,把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨立事件、獨立重復試驗四類事件中的某一種;然后判斷事件是A+B還是AB事件,確定事件至少有一個發生,還是同時發生,分別運用相加或相乘事件公式;最后選用相應的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨立事件、n次獨立重復試驗的概率公式求解。

三、一元變量的幾何概型構建長度或角度比求解

素養:幾何概型的特點是無限性和等可能性。基本事件可以抽象為點,盡管這些點是無限的,但它們所占據的區域都是有限的,因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率。當試驗的結果等可能且構成的區域為長度或面積或體積時,考慮使用幾何概型求解。

四、二元變量的幾何概型構建面積比求解

解:二元變量的幾何概型構建面積比,根據幾何概型的概率公式求解。

設在區間(0,1)與(1,2)上隨機取出的數分別為x,y,則試驗的所有結果構成的區域Ω={(x,y)|0

圖1

素養:求解二元變量幾何概型的關鍵是把所取的兩個數視作x,y,然后把點(x,y)看作點集區域,再利用面積測度求概率。解題時,弄清某事件對應的面積與全部試驗結果構成的平面圖形,以便求解。