剖析幾何概型問題的常見易錯點

■姜典術

在一次試驗中,古典概型中等可能事件只有有限個,幾何概型中等可能事件有無限個。幾何概型的概率公式中的“測度”只與大小有關,而與形狀和位置無關。在解這類問題時,稍有疏忽就會出錯,下面列舉兩種常見的易錯點,供同學們學習與參考。

一、幾何度量計算出錯

例1 在0～1 之間隨機選擇兩個數,這兩個數對應的點把0～1 之間的線段分成了三條,試求這三條線段能構成三角形的概率。

錯解:設事件A為“三條線段能構成三角形”,設三條線段的長度分別為x,y,1-x-y。

剖析:錯解把長度型幾何度量當成計算概率的幾何度量。其實,對三條線段的長度加以分析,對應圍成的幾何圖形的面積才是滿足條件的幾何度量。

正解:設事件A為“三條線段能構成三角形”,設其中兩段的長度分別為x,y,則第三段的長度為1-x-y。

圖1

二、幾何度量選擇出錯

例2 在等腰直角三角形ABC中,直角頂點為C,在∠ACB的內部任作一條射線CM,與線段AB交于點M,求線段AM

錯解:在線段AB上取AC1=AC(如圖2)。

圖2

剖析:上述解法不滿足幾何概型的等可能性。在線段AC1上任取一點M是等可能的,但不滿足在∠ACB內任作一條射線CM是等可能的,因此不能把等可能取點看作等可能作射線。

正解:在∠ACB內作射線CM是均勻分布的,所以射線CM所在任何位置都是等可能的。