概率問題中的誤區警示

■黃林平

概率問題中有許多概念看似相似,實則不同,非常容易混淆,初學時,不少同學由于對一些事件不能正確判斷而造成解題錯誤,現就同學們易犯的錯誤類型進行歸納總結。

誤區1:混淆“非等可能”與“等可能”

錯解:至少有1 個白球與都是紅球是互斥但不對立的兩個事件。應選D。

正解:“至少有1 個白球”包含“1 個白球,1個紅球”和“都是白球”,A 錯誤。“至少有1個紅球”包含“1個白球,1個紅球”和“都是紅球”,B 錯誤。C 中的兩事件互斥,但不對立,D 中的兩個事件互斥且對立。應選C。

感悟:正確理解“互斥”與“對立”事件的聯系和區別是避免出錯的關鍵。兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發生,即至多只能發生其中一個,但可以都不發生,而兩個對立事件則表示它們有且只有一個發生。

誤區3:混淆“有放回”“無放回”或“有序”“無序”

例3 把大小和形狀完全相同的五個小球編號為1,2,3,4,5,放在一個箱子中混合搖勻,有放回地抽取兩次,求取出小球的編號是2和4的概率。

錯解:有放回地連續抽取兩次,所有可能結果為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,4),(4,5),(5,5),共15種情況。

正解:有放回地連續抽取兩次,必須考慮抽取順序,所有可能結果為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共5×5=25(種)可能結果。

感悟:構建有序實數對的基本事件空間,可使“無序”轉化為“有序”。有放回抽樣和無放回抽樣是兩種不同的基本題型,有放回抽樣必須考慮抽取順序;無放回抽樣可以考慮抽取順序,也可以不考慮抽取順序,當作一次性抽取。