分層抽樣
———統計中的一朵“玫瑰花”

■冉亞利

分層抽樣是歷年高考的重要考點之一,高考常把分層抽樣與頻率分布、分層抽樣與概率結合起來進行考查,也反映了高考的命題方向。這類問題,難度不大,但考查的知識面較廣,值得同學們重視。

一、分層隨機抽樣的概念

例1 下列問題中,最適合用分層隨機抽樣抽取樣本的是( )。

A.從20名同學中抽取5人參加座談會

B.某社區有500 個家庭,其中高收入的家庭125戶,中等收入的家庭280戶,低收入的家庭95 戶,為了解生活購買力的某項指標,要從中抽取一個容量為100的樣本

C.從1000名工人中,抽取100人調查上班途中所用時間

D.從生產流水線上,抽取樣本檢查產品質量

A 中總體所含個體無差異,且個數較少,適合用簡單隨機抽樣。C和D中總體所含個體無差異,但個數較多,不適合用分層隨機抽樣。B中總體所含個體差異明顯,適合用分層隨機抽樣。應選B。

評注:分層抽樣的特點:適用于總體由差異明顯的幾部分組成的情況;分層后,在每一層抽樣時,可采用簡單隨機抽樣或系統抽樣。分層抽樣中分層的原則是層內樣本的差異要小,兩層之間的樣本差異要大,且互不重疊;所有層中每個個體被抽到的可能性相同。

二、求樣本容量

例2 某中學有高中生3500人,初中生1500人,為了解學生的學習情況,用分層隨機抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本,已知從高中生中抽取70人,則n=( )。

A.80 B.100

C.120 D.140

那時哥們兒朝洛蒙祖墳還沒有冒白煙，還沒有提升為銷售助理，還和我們擠在十平米大小的“煙箱子”里。媳婦來了，租不起賓館，倆人就在“煙箱子”眉來眼去地膩歪著，害得我們哥幾個晚上有“家”不能歸，只在街上瞎逛。羊肉串吃得沒滋味，就去火車站胡同里的小旅店看港臺的武打劇或毛片。但還是出了事。哥們兒朝洛蒙和媳婦在“煙箱子”里時，被廠里管后勤的經理撞到了，當成賣淫嫖娼的把他們揪到保安室。幾個保安輪流審訊，好在他媳婦還算是有心人，來時把結婚證揣在兜里。媳婦掏了結婚證，給保安看了，保安才放過他們。這事在廠里傳揚開來。媳婦臊得要死，咬牙切齒跟哥們兒朝洛蒙說，再也不來這座沒有人性的狗屁城市了！

三、求總體容量

例3 交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規的知曉情況,對甲,乙,丙,丁四個社區做分層抽樣調查。假設四個社區駕駛員的總人數為N,其中甲社區有駕駛員96人。若在甲,乙,丙,丁四個社區抽取駕駛員的人數分別為12,21,25,43,則這四個社區駕駛員的總人數N為( )。

A.101 B.808

C.1212 D.2012

評注:解決分層抽樣問題,關鍵是求出抽樣比。求解此類問題的難點為注意分析是否需要剔除個體。

四、求層中樣本容量

例4 某校做了一次關于“感恩父母”的問卷 調 查,從8～10 歲,11～12 歲,13～14歲,15～16歲四個年齡段回收的問卷依次為120份,180份,240份,x份。因調查需要,從回收的問卷中按年齡段分層抽取容量為300的樣本,其中在11～12歲學生問卷中抽取60份,則在15～16歲學生中抽取的問卷份數為( )。

A.60 B.80

C.120 D.180

五、分層抽樣的設計

因為疾病與地理位置和水土均有關系,所以不同鄉鎮的發病情況差異明顯,因而采用分層隨機抽樣的方法。

具體抽取過程如下:第1步,將3萬人分為5層,一個鄉鎮為一層。第2步,按照抽樣比求得各鄉鎮應抽取的人數分別為60,40,100,40,60。第3步,采用簡單隨機抽樣的方法,按照各層抽取的人數抽取各鄉鎮的樣本。第4步,將300人合到一起,即得所需樣本。

評注:分層抽樣法也叫類型抽樣法。它是從一個可以分成不同子總體(或稱為層)的總體中,按規定的比例從不同層中隨機抽取樣本(個體)的方法。這種方法的優點是樣本的代表性比較好,抽樣誤差比較小;缺點是抽樣手續較簡單隨機抽樣還要繁雜些。

六、分層隨機抽樣的均值

例6 某學校高一年級在校人數為600,其中男生320人,女生280人,為了解學生的身高信息,按分層隨機抽樣的方法抽取50名男生身高為一個樣本,其樣本平均數為170.2cm,抽取50 名女生身高為一個樣本,其樣本平均數為162cm,則該校高一學生的平均身高的估計值為____。